حرکت یک توپ تتربال توسط دو نیرو انجام میشه. این دو نیرو با هم ترکیب میشن تا نیروی خالص یعنی نیروی مرکزگرا را ایجاد کنن خوب اگه توپ با سرعت بیشتری حرکت کنه به نیروی مرکزگرای بیشتری نیاز داره که معلومه به نیروی کششی بیشتری نیاز داره توپ در یک حرکت دایره‌ای حرکت میکنه که به دلیل نیروی مرکزگرا و سیم اتصاله که توپ را به قطب متصل نگه می‌داره و به مرکز میکشه. برای نیروی مرکزگرا سیم اتصال ممکنه یک جسم واقعی باشه مانند یک زنجیره یا ممکنه نیرویی مثل گرانش که مانند یک سیم اتصال عمل می کنه.نیرویی که باعث حرکت مرکزگرا در تتربال میشه کشش طنابه همانطور که توپ در اطراف قطب حرکت میکنه کشش در طناب دائماً آن را به سمت مرکز دایره میکشه.
یک تتربال را در نظر بگیرین (قطعه چسبیده به زمین با نخی که بین آن و یک توپ آزادانه در حال حرکته) بدون گرانش. یعنی رشته عمود بر قطب کشیده شده و توپ در انتهای آن قرار داره مثلاً در فاصله اولیه $R_0$ از مرکز قطب و حالا به توپ یک سرعت مماسی اولیه $v_0$بدم
به طوری که شروع به چرخیدن در اطراف قطب میکنه(بدون هیچ z حرکت محور چون گرانش وجود نداره الان همانطور که توپ در اطراف قطب میچرخه رشته به دور قطب میپیچه پس فاصله توپ از مرکز کاهش میادش - اگر قطر قطب d باشه به راحتی می تونم$R(\theta)<R_0$ را حدس بزنم پس از اینکه توپ در یک زاویه کلی $θ $چرخید بینین جزئیاتش مهم نیست مهم چیزیه که من سعی کردم بفهمم) سرعت مماسی بعدی توپ v هستش به عنوان تابعی از θچون$I=mR(\theta)^2$است
کاهش میاد در حالی که $Iω $ احتمالا حفظ شده است. اما این داشت نتایج اشتباهی میداد. چیزی که من در نهایت حدس زدم اینه که به عنوان $R(θ)$
کاهش میابه مقداری $\frac{mv^2}{R(\theta)}\Delta R$ وجود داره کار روی توپ انجام شده دیگه و این باید از$\frac12I\omega_0^2=\frac12mv_0^2$ اولیه توپ باشه
، که من حساب نکرده بودم.درسته برای من کمی مبهمه زیرا هر دو $\frac{mv^2}{R(\theta)}$ و $ΔR$ در جهت شعاعی هستند هر چندکار=نقطه_محصول آنها یک اسکالره پس حرکت مماسی مسلماً مستقله. اما پس ازش اون کار شعاعی از کجا میادش پس کدومه و اگر کار از انرژی توپ میاد پس چگونه نیروی شعاعی از حرکت مماسی بدست میاد و اگر از انرژی توپ نمیاد پس از کجا اومده
به توپ سرعت مماسی اولیه $v_0$ بدم در فاصله اولیه $R_0$ از مرکز قطب خوب اولش ممان اینرسی توپ فقط$I_0=mR_0^2$ هستش و سرعت زاویه ای $\omega_0=v_0/R_0$. الانه با حفظ تکانه زاویه ای حدس میزنم $I\omega=I_0\omega_0$ در هر نقطه پس از اینکه توپ به اندازه کافی به اطراف چرخید تا فاصله آن از قطب $R<R_0$ باشه
، من باید داشته باشم$\omega = I_0\omega_0/I = (mR_0^2\frac{v_0}{R_0})/(mR^2)=\frac{v_0R_0}{R^2}$و این فقط به من$$
،$\omega =\frac vR = \frac{v_0R_0}{R^2}\hspace{10pt}\mbox{whereby}
\hspace{10pt} v=v_0\frac{R_0}{R}>v_0
$ میده اما $v>v_0$ معنیش به معنای دریافت انرژی جنبشی (مماسی) توپ در حال چرخشه که احتمالاً نمیتونه باشه حدس من اینه که به $\frac{mv^2}R\Delta R$ میره
من میتونم هر زمان که بخوام رشته را قطع کنم و توپ به صورت مماس به پرواز در بیاد. بنابراین اگر بر حفظ انرژی جنبشی توپ پافشاری کنم سرعت مماسی مقدار $v=v_0
$هستش. $\omega=\frac vR=\frac{v_0}R$ باید درست باشه دیگه $\omega=\frac{v_0R_0}{R^2}$ خوب
جواب صحیح را در $\frac{R_0}R>1$ضرب میکنم میدونم ω در واقع با افزایش R کاهش میده. امانظر بعدیم حفظ حرکت زاویه ای به ω منتهی میشه
وقتی من اصرار دارم$I\omega=I_0\omega_0$ خیلی زیاد میشه همانطور که در بالا گفتم
من اونچه گفتم-- اگه انرژی جنبشی توپ در حال افزایش بود -- یک ماشین حرکت دائمیه. پس نمیشه -- یعنی من میتونم انرژی اضافی را پس از هر تعویض تخلیه کنم و منبع بی پایانی از انرژی داشته باشم
اگر انرژی جنبشی توپ با R افزایش بیاد کاهش یافته باید که روی قطب دوم با طول ریسمان کشیده $R_0$ "چفت بشه
همانطور که گفتم در مقدار $R_0$ طول قطب اول سپس شرایط اولیه برای آن قطب دوم اکنون $v>v_0$ هستش
من در ابتدا برای قطب اول عرضه کردم. و الانه فقط به مبادله ه، رفت و برگشت ادامه میدم و تمام انرژی مجانی را که ممیخوام میگیرم اشتباهه اشتباهم کجاست من تصمیم گرفتم به این مشکل با مکانیک لاگرانژی نگاه کنم
اولین چیزی بهش توجه دارم که جرم m واقعاً فقط یک درجه آزادی داره $θ.$ همانطور که گفتم موقعیت شعاعی آن به $θ$ بستگی داره
زیرا اتصال به طول L به اطراف می پیچه. فرض میکنم به دور یک قطب کوچک به شعاع a می پیچه جایی که a<<L بنابراین لازم نیستش به قطب در سیستم مختصاتم اهمیت بدم.
طول شعاعی اتصالم برای هر θ باید توسط$r = L - a\theta,$جایی که من تعریف کرده ام که r=L در θ(t)=0. سپس سرعت شعاعی جرم برابره $\dot r \hat r = \frac{dr}{dt}\hat r = -a\dot \theta \hat r.$میدونم که سرعت در مختصات قطبی $\dot{\vec{r}} = \dot{r}\hat{r} + r\dot\theta\hat\theta,$ هستش
بنابراین بردار سرعت جرم برابره $\vec{v} = -a\dot \theta \hat r + \left[(L-a\theta)\dot\theta \right]\hat\theta.$با محاسبه $\vec{v} \cdot \vec{v}$
، می تونم عبارت مورد نیاز برای محاسبه انرژی جنبشی را محاسبه کنم که در این مورد، لاگرانژیه (بدون پتانسیل) $\mathcal{L} = T = \frac{1}{2}mv^2 = \frac{1}{2}m\dot{\theta}^2\left(a^2 + L^2 + a^2\theta^2 - 2La\theta \right).$من میدونم که با عبور سرعت آن افزایش میابه بنابراین $\dot\theta$
ثابت نیستش و بنابراین لاگرانژ حفظ نمیشه. مهنیش میشه انرژی جنبشی در حال تغییره. من به راحتی می تونم نشون بدم که نیروی تعمیم یافته $\tau_\theta = \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial\theta} = \frac{1}{2}m\dot{\theta}^2 \left(2a^2\theta - 2La\right).$در اینجا نیروی تعمیم یافته یک گشتاوره .بنابراین بر این اساس استدلالم من اینه که$ Iω$
کمیت حفظ نشده زیرا یک گشتاور خارجی بر روی سیستم اثر میزاره. گشتاور خارجی اجازه میده تا انرژی جنبشی افزایش یابه منبع این گشتاور من مطمئن نیستم. این یک سیستم نسبتاً ابتداییه بنابراین بهترین ایده ای که به ذهنن رسید گشتاور نیروی عادی در تماس با میله هستش -- من معتقدم که این یک نیروی محدوده به دلیله این واقعیت که r به صراحت به θ بستگی داره که چون قطب مقداری شعاع a داره رشته دقیقاً به صورت شعاعی از آن خارج نمیشه. میشه نیروی کشش روی این جسم را به صورت تعمیم داد $F_{T} = F_{||} + F_{\perp},$جایی که$F_{||}$ و $F_{\perp}$ اجزاء موازی و عمود بر تکانه $\vec p$ هستن . نیروی مرکز به طوریهش
$F_{\perp} = \frac{mv^2}{r}.$سپس $F_{||} = F_T - \frac{mv^2}{r}$
.
