What is happening to rotational kinetic energy when moment of inertia is changed?
وقتی یک سیستم اجازه می دهد میله ای به طول L را در نظردارم و جرم m . با سرعت زاویه ای ω1 میچرخه تکانه زاویه ای اولیش $L1 = (1/12)ML^2\omega_1$است
و انرژی جنبشی اولیه آن$KE = (1/24)ML^2{\omega_1}^2$ است
خوب پس از مدتی میله به نصف تکانه زاویه ای خود میرسه یعنی تا شده یعنی بدون اعمال نیروی خارجی یا گشتاور، سرعت زاویه ای جدیدش$\omega_2 = 4\omega_1$ میشه.
و انرژی جنبشی جدید آن $KE_2 = (1/6)ML^2{\omega_1}^2$ میشه خوب .این 4 برابر انرژی جنبشی اولیش هستش وقتی هیچ نیروی خارجی کار نمی کنه از آنجایی که میله تا شده حتی مسشه بگم که ذوب شده و به یک میله کوچکتر و متراکم تبدیل شده با وچود اونکه هیچ نوع فشرده سازی / انبساط نداشته اما هنوز تغییری در آن وجود داره. انرژی جنبشی
بیشترین درکی که من می‌تونستم از این بفهمم اینه که همه ذرات در حین چرخش نیروی مرکزگرا را احساس میکردن و ذرات نیمی از میله تحت این نیرو در جهت آن حرکت میکردن به عنوان تغییر در انرژی جنبشی ظاهر میشه من بگم که این انرژی از کجا اومده کشش نیروی مرکزگرا را تامین میکرد اما هیچ کاری در برابر کشش انجام نشده زیرا میله از وسط تا شده بود و فشرده نشده بود. اگر من اشتباه فکرمی کنم پس انرژی از کجا اومده
مثال فرض کنید جرمی با جرم m وجود داره حرکت با سرعت v ناگهان جرم آن m/2 میشه سپس سرعت آن $2v$ می شود و KE آن $4KE_1$ میشه
من نمیگم توضیح بقای انرژی اما جرمش ناگهان در هوا ناپدید نمیشه با این حال ممان اینرسی را می توان تغییر داد پس سوالم مطرح میشه چرا
از آنجایی که به نظر میرسه تا کردن میله سؤالات غیرضروری در مورد راه های تا کردن ایجاد میکنن تصور کنم که اگر میله در تمام مدت چرخش سیستم و حفظ تکانه زاویه ای کم شده و به میله ای بلندتر تبدیل بشه طول جدید به 2L تبدیل میشه سرعت زاویه ای جدید ω1/4 می شود و KE جدید میشه$(1/96)ML^2{\omega_1}^2$
. این بار انرژی ${1/4}^{th}$ میشه
در ابتدا، این انرژی به کجا رفته؟ حتما حرکت در برابر نیروی مرکزگرا صورت میگیره اما انرژی را نمی توان به عنوان انرژی فنر در آن ذخیره کردش یا به نظر من.یک اسکیت باز روی یخ را در نظر بگیرید که به تازگی با دستان دراز به چرخش در آمده است. اگر کمک کند، اسکیت باز در هر مچ دستبندهای سربی می بندد. همانطور که اسکیت باز می چرخد، حرکت زاویه ای و انرژی جنبشی زاویه ای ثابته. اصطکاک با هوا و یخ را می توان از بین برد. اسکیت باز باید یک نیروی مرکزگرا به سمت داخل وارد تا آنها را در یک دایره بچرخونه اما این نیرو کار نمی کنه زیرا دستبندها شعاع چرخش خود را تغییر نمیدن
سپس اسکیت باز بازوها و دستبندها را میکشه و به محور چرخش خود نزدیک میشه.
چندین اتفاق مرتبط با هم رخ میده :چون که گشتاور خارجی وجود نداره تکانه زاویه ای سیستم ثابت میمونه
از آنجایی که جرم مختلف اسکیت باز همگی به سمت محور چرخش حرکت میکنن ممان اینرسی کل سیستم کاهش مییاد
با ترکیب 1 و 2، سرعت زاویه ای سیستم افزایش میابه. اگر ممان نصف بشه سرعت زاویه ای دو برابر میشه
با ترکیب 2 و 3، با برخی راه حاهای های کمی انرژی جنبشی زاویه ای افزایش میابه. اگر ممان نصف بشه و سرعت زاویه ای دو برابر بشه انرژی جنبشی دو برابر میشه.
اسکیت باز بازوهای او اکنون نیرویی به سمت داخل از راه دور وارد میکنن همانطور که بازوهایش دستبندها را به سمت داخل می کشند. کار انجام شده را میشه با دقت نشون داد اخه که با افزایش انرژی جنبشی یکسانه
با تغییر ممان اینرسی چه اتفاقی برای انرژی جنبشی دورانی میفته
-
rohamavation
نام: roham hesami radرهام حسامی راد
محل اقامت: 100 مایلی شمال لندن جاده آیلستون، لستر، لسترشر. LE2
عضویت : سه‌شنبه ۱۳۹۹/۸/۲۰ - ۰۸:۳۴
پست: 3288-
سپاس: 5494
- جنسیت:
تماس:
با تغییر ممان اینرسی چه اتفاقی برای انرژی جنبشی دورانی میفته
آخرین ویرایش توسط rohamavation سه‌شنبه ۱۴۰۲/۱۲/۸ - ۱۱:۱۷, ویرایش شده کلا 1 بار
-
rohamavation
نام: roham hesami radرهام حسامی راد
محل اقامت: 100 مایلی شمال لندن جاده آیلستون، لستر، لسترشر. LE2
عضویت : سه‌شنبه ۱۳۹۹/۸/۲۰ - ۰۸:۳۴
پست: 3288-
سپاس: 5494
- جنسیت:
تماس:
Re: با تغییر ممان اینرسی چه اتفاقی برای انرژی جنبشی دورانی می افتد؟
در مثالی که من گفتم وقتی ممان اینرسی تغییر میکنه، سرعت زاویه‌ای افزایش پیدا میکنه و انرژی جنبشی زاویه‌ای هم افزایش میابه. به نظر میاد این افزایش انرژی از تغییر در طول میله ناشی شده. یعنی ممان اینرسی که تغییر میکنه، باعث میشه میله بچرخه و سرعت زاویه‌ای بره بالا.
حالا اگر سواله که این انرژی از کجا اومده، میشه گفت که این انرژی از تغییر ممان اینرسی و افزایش سرعت زاویه‌ای ایجاد میشه. یعنی از تغییر در ساختار میله و حرکت به سمت یک سرعت زاویه‌ای بیشتر.
تو مورد اسکیت باز هم که گفتی، با کشیدن دستبندها به سمت محور چرخش، تغییری در ممان اینرسی ایجاد میشه که باعث افزایش سرعت زاویه‌ای و افزایش انرژی جنبشی زاویه‌ای میشه. این تغییرات باعث میشه اسکیت باز بتونه بهتر چرخیده و انرژیش رو نگه داره.
پس اگه سوال بشه این انرژی از کجا اومده؟ میشه گفت از تغییرات در ساختار سیستم، مثل تغییر ممان اینرسی و حرکت به سمت سرعت زاویه‌ای بیشتر.
در آخرین موردی که گفتم (میله که تغییر ممان اینرسی داره)، انرژی از کجا میاد؟ این انرژی از خود تغییر ممان اینرسی و افزایش سرعت زاویه‌ای به وجود میاد، و میشه گفت این اثر مستقیم از تغییر در ساختار سیستم (ممان اینرسی) ایجاد میشه.
یعنی وقتی ممان اینرسی تغییر میکنه، میله شروع به چرخش سریعتر میکنه. این تغییرات در ساختار، مثل افزایش ممان اینرسی، باعث افزایش سرعت چرخش میشه و این افزایش در سرعت زاویه‌ای، به صورت مستقیم انرژی جنبشی رو افزایش میده.
پس میشه گفت این انرژی مثل انرژی حرکت یه چیزی که داره چرخ میفته، از خود تغییر در ساختار سیستم به وجود میاد.
وقتی ممان اینرسی یک سیستم دورانی تغییر کنه، می‌تونه تغییراتی توی سرعت چرخشی و انرژی جنبشی دورانی ایجاد کنه. ممان اینرسی نشون‌دهنده توزیع جرم حول محور چرخشه. این تغییر ممکنه به تغییراتی در سرعت زاویه‌ای و انرژی جنبشی دورانی منجر بشه. الان برات توضیح میدم:
افزایش ممان اینرسی:
اگه ممان اینرسی بیشتر بشه (مثلاً مثال طول میله که گفتم بهتون قبلاً)، سرعت چرخشی سیستم کم میشه. این باعث میشه انرژی جنبشی دورانی هم کمتر بشه.
کم شدن ممان اینرسی:
اگه ممان اینرسی کم بشه، سیستم سریعتر میچرخه و انرژی جنبشی دورانی بیشتری پیدا میکنه.
تغییر ناگهانی در ممان اینرسی:
تغییرات ناگهانی در ممان اینرسی ممکنه به تغییرات ناگهانی در سرعت زاویه‌ای و انرژی جنبشی منجر بشه. ممکنه نیروها یا گشتاورهای خارجی هم دخالت داشته باشن.
حفظ تکانه زاویه‌ای:
اگه نیروها یا گشتاورهای خارجی وجود نداشته باشن، حفظ تکانه زاویه‌ای رخ میده. یعنی مجموع تکانه زاویه‌ای سیستم حین تغییرات در ممان اینرسی ثابت میمونه.
پس تغییرات در ممان اینرسی می‌تونند به تغییرات مهم در چرخش و انرژی جنبشی دورانی منجر بشن.
برای توضیح این مسئله با استفاده از لاگرانژین ابتدا باید تابع لاگرانژ برحسب متغیرها تعریف کنم براتون. ببینین مسأله ممان اینرسی یک سیستم دورانی با یک میله را در نظر می‌گیرم.
فرض کنید میله به طول L با جرم M داریم. می‌خواهیم تغییرات در زاویه میله (θ) را با استفاده از تابع لاگرانژ بررسی کنم.
تابع لاگرانژ (L) برابر با اختلاف انرژی کینتیک و پتانسیل:L=T−Uکه در اون T انرژی کینتیک وU انرژی پتانسیل.
برای میله انرژی کینتیک اینطوره$\[ T = \frac{1}{2} I \omega^2 \] $
و انرژی پتانسیل به صورت زیر محاسبه میشه$\[ U = -Mgh \cos(\theta) \] $
که:I ممان اینرسی میله (با فرض میله نازک و یکنواخت) که برابر با $\[ \frac{1}{3} ML^2 \] $
است.ω سرعت زاویه‌ای میلهℎ ارتفاع مرکز جرمه از نقطه محور چرخشش (با فرض محور چرخش در انتهای میله)g شتاب گرانش هستش حالا تابع لاگرانژ را میارم$\[ L = \frac{1}{2} I \omega^2 + MgL \cos(\theta) \] $حالا از معادلات اویلر-لاگرانژ استفاده میکنم براتون تا معادلات حرکت سیستم حساب کنم$\[ \frac{d}{dt} \left( \frac{\partial \omega}{\partial L} \right) - \frac{\partial \theta}{\partial L} = 0 \] $
این معادله حاکم بر حرکت سیستمه. با حل این معادله می‌تونم مسیر حرکت وارونه‌ی میله را حساب کنم.
حالا اگر سواله که این انرژی از کجا اومده، میشه گفت که این انرژی از تغییر ممان اینرسی و افزایش سرعت زاویه‌ای ایجاد میشه. یعنی از تغییر در ساختار میله و حرکت به سمت یک سرعت زاویه‌ای بیشتر.
تو مورد اسکیت باز هم که گفتی، با کشیدن دستبندها به سمت محور چرخش، تغییری در ممان اینرسی ایجاد میشه که باعث افزایش سرعت زاویه‌ای و افزایش انرژی جنبشی زاویه‌ای میشه. این تغییرات باعث میشه اسکیت باز بتونه بهتر چرخیده و انرژیش رو نگه داره.
پس اگه سوال بشه این انرژی از کجا اومده؟ میشه گفت از تغییرات در ساختار سیستم، مثل تغییر ممان اینرسی و حرکت به سمت سرعت زاویه‌ای بیشتر.
در آخرین موردی که گفتم (میله که تغییر ممان اینرسی داره)، انرژی از کجا میاد؟ این انرژی از خود تغییر ممان اینرسی و افزایش سرعت زاویه‌ای به وجود میاد، و میشه گفت این اثر مستقیم از تغییر در ساختار سیستم (ممان اینرسی) ایجاد میشه.
یعنی وقتی ممان اینرسی تغییر میکنه، میله شروع به چرخش سریعتر میکنه. این تغییرات در ساختار، مثل افزایش ممان اینرسی، باعث افزایش سرعت چرخش میشه و این افزایش در سرعت زاویه‌ای، به صورت مستقیم انرژی جنبشی رو افزایش میده.
پس میشه گفت این انرژی مثل انرژی حرکت یه چیزی که داره چرخ میفته، از خود تغییر در ساختار سیستم به وجود میاد.
وقتی ممان اینرسی یک سیستم دورانی تغییر کنه، می‌تونه تغییراتی توی سرعت چرخشی و انرژی جنبشی دورانی ایجاد کنه. ممان اینرسی نشون‌دهنده توزیع جرم حول محور چرخشه. این تغییر ممکنه به تغییراتی در سرعت زاویه‌ای و انرژی جنبشی دورانی منجر بشه. الان برات توضیح میدم:
افزایش ممان اینرسی:
اگه ممان اینرسی بیشتر بشه (مثلاً مثال طول میله که گفتم بهتون قبلاً)، سرعت چرخشی سیستم کم میشه. این باعث میشه انرژی جنبشی دورانی هم کمتر بشه.
کم شدن ممان اینرسی:
اگه ممان اینرسی کم بشه، سیستم سریعتر میچرخه و انرژی جنبشی دورانی بیشتری پیدا میکنه.
تغییر ناگهانی در ممان اینرسی:
تغییرات ناگهانی در ممان اینرسی ممکنه به تغییرات ناگهانی در سرعت زاویه‌ای و انرژی جنبشی منجر بشه. ممکنه نیروها یا گشتاورهای خارجی هم دخالت داشته باشن.
حفظ تکانه زاویه‌ای:
اگه نیروها یا گشتاورهای خارجی وجود نداشته باشن، حفظ تکانه زاویه‌ای رخ میده. یعنی مجموع تکانه زاویه‌ای سیستم حین تغییرات در ممان اینرسی ثابت میمونه.
پس تغییرات در ممان اینرسی می‌تونند به تغییرات مهم در چرخش و انرژی جنبشی دورانی منجر بشن.
برای توضیح این مسئله با استفاده از لاگرانژین ابتدا باید تابع لاگرانژ برحسب متغیرها تعریف کنم براتون. ببینین مسأله ممان اینرسی یک سیستم دورانی با یک میله را در نظر می‌گیرم.
فرض کنید میله به طول L با جرم M داریم. می‌خواهیم تغییرات در زاویه میله (θ) را با استفاده از تابع لاگرانژ بررسی کنم.
تابع لاگرانژ (L) برابر با اختلاف انرژی کینتیک و پتانسیل:L=T−Uکه در اون T انرژی کینتیک وU انرژی پتانسیل.
برای میله انرژی کینتیک اینطوره$\[ T = \frac{1}{2} I \omega^2 \] $
و انرژی پتانسیل به صورت زیر محاسبه میشه$\[ U = -Mgh \cos(\theta) \] $
که:I ممان اینرسی میله (با فرض میله نازک و یکنواخت) که برابر با $\[ \frac{1}{3} ML^2 \] $
است.ω سرعت زاویه‌ای میلهℎ ارتفاع مرکز جرمه از نقطه محور چرخشش (با فرض محور چرخش در انتهای میله)g شتاب گرانش هستش حالا تابع لاگرانژ را میارم$\[ L = \frac{1}{2} I \omega^2 + MgL \cos(\theta) \] $حالا از معادلات اویلر-لاگرانژ استفاده میکنم براتون تا معادلات حرکت سیستم حساب کنم$\[ \frac{d}{dt} \left( \frac{\partial \omega}{\partial L} \right) - \frac{\partial \theta}{\partial L} = 0 \] $
این معادله حاکم بر حرکت سیستمه. با حل این معادله می‌تونم مسیر حرکت وارونه‌ی میله را حساب کنم.