اگر یه جسم در حال چرخش مرکز جرمشو تغییر بده

[rohamavation]

اگر یک جسم در حال چرخش مرکز جرم خود را تغییر دهد چه اتفاقی می افتد؟
اگه یه جسم داره دوران می‌کنه و مرکز جرمشو تغییر بده، اتفاقات مختلفی می‌افته. مثلاً سرعت چرخشش ممکنه بیشتر یا کمتر بشه، جهت حرکتش تغییر کنه، یا شکل جسم تغییر کنه. این تغییرات به نیروها و مومنتوم‌هایی که در حین تغییر وضعیت ایجاد میشن، بستگی دارن.
بهتره این موضوع رو از دید قانون حفظ مومنتوم ببینیم. قانون حفظ مومنتوم میگه که مومنتوم کل یک سیستم بسته، اگه نیروهای خارجی تاثیر نذارن، حفظ میشه. مومنتوم چرخشی یک جسم با جرم
m و سرعت زاویه‌ای ω برابر با Iω، که I ممان دینامیکی یا ممان لختی جسم نسبت به محور چرخشه.
وقتی ممان لختی یا سرعت زاویه‌ای تغییر کنه، مومنتوم چرخشی هم تغییر میکنه. این تغییر میتونه از طریق نیروها یا گشتاورهای خارجی (تورک) به وجود بیاد. اگه نیرو یا تورک خارجی نداشته باشیم، هر تغییری که در ممان لختی ایجاد بشه، باید از طریق تغییر شکل جسم باشه.
با توجه به قانون حفظ مومنتوم، این تغییرات ممکنه سرعت زاویه‌ای رو بالا ببره یا کاهش بده، حتی ممکنه جهت چرخش هم تغییر کنه، ولی مومنتوم کل (هم چرخشی و تراکمی) سیستم حفظ میمونه.
فرض کن جسمی را هل میدم برای مثال میله‌ای که دو وزنه به انتهای آن متصله. حال اگر فشار در مرکز جرم (COM) نباشه جسم به جلو حرکت می کنه اما میچرخه.
اگر شیء خودش به گونه ای تغییر کنه که COM در اواسط حرکت تغییر کنه مسیر چگونه تحت تأثیر قرار می گیره؟ مثالا اگر یک وزنه به آرامی به سمت دیگر حرکت کنه؟
من حدس می‌زنم حرکت انتقالی نباید تغییر کنه اما اگر این را درست درک کنم حرکت چرخشی همیشه حول COMهستش
اگه من در شروع به COM فشار بیاورم هیچ چرخشی ندارم. پس در اواسط حرکت هیچ چیزی تغییر نمیکنه و جسم در یک خط مستقیم بدون چرخش حرکت میکنه.
اما وقتی در شروع به COM فشار نمیارم شیء مقداری چرخش داره. و این چرخش باید تغییر کنه درسته اما پس از اون معادلات دقیق برای این حرکت چیه؟ این تغییر چرخش چگونه به نظر میرسه؟
من فرض می کنم هیچ اصطکاک در میان نیستش.
یک میله یکنواخت دو جرم دارد 1 و 2. 1 به میله (به طور سفت) وصل شده و 2 میتونه آزادانه و بدون اصطکاک در امتداد میله حرکت کنه.
الان فرض که در t=0 باشد CoM با سرعت v منتقل مشه و سیستم نوار بعلاوه جرم ها حول CoM با سرعت زاویه ای ω می چرخه خوب .چرخش اول به دلیل تغییر ناپذیری گالیله چرخش و انتقال کاملاً مستقل از یکدیگر اتفاق میفته. و بدون هیچ مانعی در انتقال v برای همیشه ثابت میمونه
با این حال هیچ نیروی مرکزگرا وجود نداره که 2 را نگه داره بنابراینM از Com اولیه دور میشه. ممان ا ینرسی میله به اضافه جرم ها نیز تغییر میکنه. در واقع افزایش میاد هیچ اصطکاک وجود نداره بنابراین انرژی جنبشی دورانی $K_r$ اون حفظ شده . در زمان t=t1 من دارم :$\frac12 I\omega^2=\frac12 I_1\omega_1^2\tag{1}$
جایی که I ممان اولیه اینرسیه برای سیستم های ساده I1 میتونه به صورت $f(I,\omega(t))$ باشه خوب با .گرفتن مشتق زمانی از (1) و با در نظر گرفتن LHS اون $\frac{\text{d}(I_1\omega_1^2)}{\text{d}t}=0$معادله حرکت نیوتنی برای بخش چرخشی حرکته
با توجه به این تصور که CoM به سمتی حرکت میکنه در جئاب بگم که IMO متوقف میشه. پس از راه اندازی سیستم دیگر هیچ نیروی خارجی روی آن وارد نمیشه. در یک حرکت خطی و یکنواخت باقی بماند.
ابتدا شرایطی را در نظر بگیرم که جسم بدون چرخش در حال حرکته و با مکانیزم داخلی یکی از وزنه ها حرکت می کنه.
برای یک ناظر اینرسی با حفظ تکانه وزنه دیگر (به همراه میله ای که هر دو وزنه را به هم متصل می کنه) باید حرکت کنه و COM را در همان خط مستقیم قبلی نگه داره.
اگر همین اتفاق برای یک جسم در حال چرخش بیفته هر دو وزن نیز حرکت می کنن تا COM در یک خط مستقیم باقی بمونه
در مورد چرخش در کلی ترین حالت برای یک جسم صلب فقط میشه گفت که تکانه زاویه ای ثابته اما مقدار و جهت چرخش ممکنه تغییر کنه
معادله جسم : $\mathbf L = I\omega$که L تکانه زاویه ایه،$ ω$ بردار سرعت زاویه ای $(ωx ، ωy ,ωz)$ و$I = \int_v \rho M dv$
ماتریس اون
$\begin{Bmatrix}
(y^2 + z^2) & -xy & -xz \\
–yx & (z^2 + x^2) & -yz \\
-zx & –zy & (x^2 + y^2)
\end{Bmatrix}
$اما اگر یکی از توپ ها آزاد باشه که در امتداد میله به جلو و عقب حرکت کنه دیگر یک بدنه صلب نیستش.
حالا داریم در مورد یه جسمی صحبت می‌کنیم که داره دور خودش می‌چرخه، درسته؟ حالا فرض کن که این جسم داره چرخشش رو عوض می‌کنه، یعنی مرکز جرمش که مثلاً یه نقطه مشخصه، مسیر جدیدی رو طی می‌کنه. اینجا باید در مورد اثراتی که این تغییرات ممکنه ایجاد کنه، صحبت کنیم.
اولاً، وقتی مرکز جرم تغییر مسیر می‌ده، سرعت چرخشی جسم هم تغییر می‌کنه. یعنی اگه قبلاً سریع می‌چرخید، ممکنه حالا آروم‌تر بشید یا برعکس. این تغییر سرعت ممکنه از طریق نیروها یا لحظه گشتاورها ایجاد بشه.
تغییر ممان لختی یا سرعت زاویه‌ای هم تأثیر مهمی داره. ممان لختی، یعنی میزان تمایل یک جسم به چرخش حول یک محور. اگه این ممان تغییر کنه، ممکنه شکل جسم هم تغییر بکنه.
ما این اتفاقات رو می‌تونیم از طریق قوانین فیزیک بفهمیم، به ویژه از قانون حفظ مومنتوم. این قانون میگه که مومنتوم یک سیستم بسته حفظ می‌شه، مگر اینکه نیروهای خارجی بیفتند. یعنی ما می‌تونیم ببینیم چطور تغییرات ممان لختی یا سرعت زاویه‌ای باعث تغییرات دینامیک جسم میشه، ولی مومنتوم کل همون‌جوری باقی می‌مونه.
این تغییرات ممکنه توسط نیروها یا لحظه گشتاورها ایجاد بشن.
کلیشو بگم برات
ناظر اینرسی:
وقتی از ناظر اینرسی صحبت ممیکنم منظورم اینه که یک فرد یا یک سیستم نظارتی وجود داره که تکانه (مقدار حرکت) را حفظ می‌کنه. اینجا ببینید هوپاییهای عزیز این ناظر به وزنه دیگر متصل به میله اشاره داره که باید حرکت کنه تا مرکز جرم (COM) در خط مستقیم قبلی باقی بمونه
حرکت چرخشی و انتقالی:
در جسمی که در حال چرخشیه اگر هر دو وزنه به همراه میله به گونه‌ای حرکت کنن که مرکز جرم آنها در یک خط مستقیم باقی بمونه حرکت انتقالی (حرکت جلو و عقب) تغییر نمی‌کنه. اما حرکت چرخشی همیشه حول مرکز جرم اتفاق میفته
تکانه زاویه‌ای و معادله جسم:
تکانه زاویه‌ای (L) برابر با محصول ممان اینرسی (I) و سرعت زاویه‌ای (ω) هستش L=Iω . معادله جسم برای جسم صلب در حال چرخش این معادله هستش
ماتریس ممان اینرسی:
ممان اینرسی (I) یک ماتریس است که وابسته به توزیع جرم در جسم است. با این ماتریس می‌تونیم تکانه زاویه‌ای را محاسبه کنیم$\[
\begin{bmatrix}
(y^2 + z^2) & -yx & -zx \\
-yx & (z^2 + x^2) & -zy \\
-zx & -zy & (x^2 + y^2)
\end{bmatrix}
\]$
آزادی یک توپ:
اگر یکی از توپ‌ها آزاد باشه و در امتداد میله به جلو و عقب حرکت کنه دیگر سیستم به عنوان یک بدنه صلب در نظر گرفته نمی‌شه چونکه این تغییرات ممکنه باعث بشه مرکز جرم در خط مستقیم باقی نممونه و چرخش تغییر کنه

[rohamavation]

بیا حالا، فرض کن یکی تو چرخنده نشسته داره دور می‌چرخه. حالا این که این چرخنده دلش بیاد و مرکز جرمش رو عوض کنه، یعنی بخواد از جا بلند شه یا بچرخه دیگه. حالا چی میشه؟
اولاً، اگه دستاشو ببره چپ، یعنی مرکز جرمش به سمت چپ حرکت کنه، ممکنه دورش کمرنگ بشه. یعنی این چرخنده کمتر می‌چرخه. حالا ببین چطور می‌گم؛ افت کنه چیزیش، آروم بشه.
دوماً، اگه دستاشو ببره راست، ممکنه حالا دیگه چرخشش سریع‌تر بشه. یعنی دورش زیاد بشه. میشه گفت، زود بزنه چرخشش.
سوماً، اگه با پاهاش به جلو بره، ممکنه اثرات دیگه‌ای هم داشته باشه. شاید صندلیشون یه جاهایی خم بشه یا شکل عوض کنه.
در کل، این تغییرات ممکنه از طریق نیروها یا لحظه گشتاورها ایجاد بشن. حالا اگه خواستی بیشتر در موردش بدونی یا سوال دیگه‌ای داری، بگو برات توضیح بدم.
اگر فشار در مرکز جرم (COM) نباشه یعنی نیروی خارجی به صورت متمرکز در COM اعمال نشده باشه جسم از راه اندازی به جلو حرکت می‌کنه و به همراهش می‌چرخه. اگر شیء خودش را به گونه‌ای تغییر بذه که COM در اواسط حرکت تغییر کنه ( مثالا اگر یک وزنه به آرامی به سمت دیگر حرکت کنه)، می‌تونه تأثیرات متفاوتی داشته باشه.
درست است که حرکت انتقالی نبایستی تحت تأثیر قراربگیره چون هیچ نیروی خارجی به جلو یا عقب اعمال نشده . اما حرکت چرخشی (دوران) همیشه حول COM اتفاق می‌فته زیرا تغییرات در نیروها یا مومنتومهای چرخشی می‌تونن باعث تغییر در چرخش باشن.
اگر در شروع به COM فشار بیارین و هیچ چرخشی نداشته باشین یعنی که حرکت انتقالی دارین اما چرخشی ندارین. دلیلش اینه که متمرکز نکردن فشار در COM باعث می‌شه جسم به جلو حرکت کنه اما بدون هیچ چرخشی.
اگر در شروع به COM فشار نیاوری ابتدا شیء چرخشی داری. پس از آن، با تغییر نیروها یا مومنتوم‌های چرخشی می‌تونی چرخش را تغییر بدی. اما باید بدونی که در طول حرکت حفظ مومنتوم و قوانین حفظ انرژی باید رعایت بشن
"بفرض یهویی یه جسم داریم که به یه میله چسبوندن و دوتا وزنه هم به انتهاش وصله. حالا اگه توسط دستات بهش فشار ندی (یعنی فشاری تو COM نداشته باشی)، جسم به جلو حرکت می‌کنه و همزمانم دور میچرخه. حالا اگه خودش رو به گونه‌ای تغییر بدی که مرکز جرمش توی مسیر حرکتش تغییر کنه، این تغییرات چطور توی حرکتش تأثیر میذاره؟ مثلا اگه یه وزنه آروم آروم به سمت دیگه حرکت کنه؟
فکر می‌کنم حرکت مستقیمی که به جلو می‌کنه تغییر نمی‌کنه، اما اگه درست فهمیده باشم، حرکت چرخشی همیشه حول مرکز جرمش رخ می‌ده. اگه از ابتدا به COM فشار بیاری هیچ چرخشی نداری، پس توی مسیر حرکتش تغییری ایجاد نمیشه و جلو می‌ره بدون هیچ چرخشی.
ولی اگه از اول به COM فشار نیاری یه مقدار چرخش داره. حالا بعد از اون معادلات دقیق برای این چرخش چیه؟ این تغییر چرخش چجوری به نظر میاد؟
من فرض می‌کنم هیچ اصطکاکی نداریم. یه میله یکنواخت دو تا جرم داره، یکی (۱) سفت به میله وصله و دیگری (۲) میتونه آزادانه بدون هیچ اصطکاکی توی امتداد میله حرکت کنه.
حالا فرض کن که وقتی t=۰ باشه، COM با یه سرعت v حرکت کنه و سیستم نوار به همراه جرم‌ها حول COM با سرعت زاویه‌ای ω دور بچرخه. حالا، چرخش اولیه به دلیل تغییرناپذیری گالیله و چرخش و انتقال کاملاً مستقل از هم اتفاق می‌افته. و بدون هیچ مانعی در انتقال، v همیشه ثابت می‌مونه.
اما هیچ نیروی مرکزگرا وارد نمیشه که جرم ۲ رو نگه داره، بنابراین M از مرکز اولیه دور می‌شه. همچنین، ممان اینرسی میله به اضافه جرم‌ها هم تغییر می‌کنه. افزایش میاد، چون اصطکاکی نیست، بنابراین انرژی جنبشی دورانی K_r حفظ می‌شه. در زمان t=t1، من دارم:$\[ \frac{1}{2} I \omega^2 = \frac{1}{2} I_1 \omega_1^2 \] $
جایی که I ممان اولیه اینرسی برای سیستم های ساده است و I1 می‌تواند به صورت $f(I,\omega(t))$ باشه. خوب با گرفتن مشتق زمانی از این معادله و با در نظر گرفتن LHS اون، معادله حرکت نیوتنی برای بخش چرخشی به دست میاد دیگه