لاگرانژی برای سیستمی از ذرات

[rohamavation]

می‌خواهم بدونم آیا به‌طور کلی آیا درسته که لاگرانژی که انرژی‌های مرکز جرم یک سیستم از ذرات را توصیف می‌کنه با لاگرانژی که برای انرژی‌های مربوط به هر ذره در سیستم نوشته شده یکسانه مشکل خاصی که من سعی در حل آن دارم مشکل دو ذره با جرم m است محدود به حرکت در داخل کره ای به شعاع b با این محدودیت که دو ذره همیشه یک فاصله 2a هستند
جدا از یکدیگر (مثلاً به دلیل یک میله صلب بدون جرم)
حالا که لاگرانژی را برای سیستم ذرات تعریف کردم می‌تونم اینجا بگم
تابع لاگرانژی \(L\): .. در این تابع، متغیرهای \(q_i\) مختصات مکانی ذرات هستند و \(\dot{q}_i\) سرعت‌های متناظر با اون مختصات.
انرژی کینتی \(T\): نمایانگر انرژی حرکت ذراته. این انرژی به صورت \(\frac{1}{2} m \dot{q}_i^2\) محاسبه می‌شود، که \(m\) جرم ذره و \(\dot{q}_i\) سرعت ذره هستش
انرژی پتانسیل \(U\): نمایانگر انرژی موقعیت ذرات است. این انرژی بر اساس مختصات مکانی ذرات به صورت \(U(q_i)\) محاسبه می‌شه
معادلات حرکت (معادلات اویلر-لاگرانژی): اصل عمل لاگرانژی میگه که حرکت یک سیستم بر اساس تفاضل بین انرژی کینتی و پتانسیل کمینه می‌شه. این اصل باعث می‌شه که معادلات حرکت سیستم در قالب معادلات اویلر-لاگرانژی به دست بیاد
\[\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial \dot{q}_i}\right) - \frac{\partial L}{\partial q_i} = 0\]
این معادلات هم با اصل عمل لاگرانژی، مسیر حرکت سیستم ذرات را توصیف می‌کنن. این مسیر می‌تونه به عنوان مسیری کمینه برای یک عمل خاص (لاگرانژی) در نظر گرفته بشه
وقتی انرژی جنبشی را برای مرکز جرم سیستم می نویس، همان عبارت مربوط به دو ذره منفرد را دریافت نمی کنم:
$T_{CM}=\frac{1}{2}(2m)R^{2}(\dot{\phi}^{2}\sin^{2}\theta+\dot{\theta}^{2}) \qquad \text{where}\qquad \theta=\frac{\theta_2+\theta_1}{2}, \quad R^2=b^{2}-a^{2}$
$T_{\text{individual}}=\frac{1}{2}mb^{2}(\dot{\phi}_{1}^{2}\sin^{2}\theta_1+\dot{\phi}_{2}^{2}\sin^{2}\theta_{2}+\dot{\theta}_{1}^{2}+\dot{\theta}_{2}^{2})$
پاسخ به سوال کلی خیرهستش . L=T−V این برای هیچکدام از T درست نیستش
یا V، اگرچه در این مشکل خاص انرژی پتانسیل وجود نداره. انرژی جنبشی کل (مجموع برای هر ذره) برابر با انرژی CM به اضافه انرژی جنبشی "نسبت به CM" برای هر ذره است.
در این مشکل خاص، $T_{individual}$ من درسته اما شما محدودیت را اجرا نکردم. تنها 3 درجه آزادی به جای 4 وجود دارد. $T_{CM}$ من نادرسته حتی اگر به عنوان انرژی CM در نظر گرفته شود. محدودیت به درستی مدل سازی نشده است.
درسته که لاگرانژی که انرژی‌های مرکز جرم یک سیستم را توصیف می‌کنه با لاگرانژی که برای انرژی‌های مربوط به هر ذره در سیستم نوشته شده است یکسان نیستن. در واقع، لاگرانژی مرکز جرم به عنوان یک متغیر کلی برای سیستم استفاده می‌شود که انرژی کل سیستم را در نظر می‌گیره در حالی که لاگرانژی ذرات به طور جداگانه به انرژی هر ذره می‌پردازه.
در مورد مشکل خاصی که من توضیح دادم اگرچه جزئیات دقیق مسئله کاملاً مشخص نشده است اما مشکل اساسی اینه که محدودیت‌های سیستم به درستی در لاگرانژی ترکیب نشده‌اند. شما برای محدود کردن حرکت دو ذره در داخل یک کره به شعاع b با فاصله ثابت 2a از یکدیگر محدودیت‌های کواترنیونی به درستی در نظر گرفته نشدن.
به عبارت دیگر، شما باید محدودیت‌های هندسی که از این فاصله ثابت بین دو ذره ناشی میشه را به درستی مدل کنید و به لاگرانژی اضافه کنم. این محدودیت‌ها باید به عنوان توابعی از متغیرهای general که حرکت ذرات را توصیف می‌کنن، اضافه کنم
لاگرانژی میدونم معمولاً به عنوان میزان تغییرات یک سیستم در طول زمان توسط یک متغیر خاص (معمولاً انرژی) تعریف مشه خوب . این مفهوم می‌تونه برای سیستم‌های مختلف اعمال بشه، از جمله سیستم‌های ذرات.
در مورد سیستم ذرات اگر من فرض کنم که لحظه‌های مختلف زمانی را با متغیر \(t\) نمایش دهیم، لاگرانژی برای سیستم ذرات
\[L(q_i, \dot{q}_i, t) = T - U\]
در اینجا:
\item \(L\) لاگرانژی است.
\item \(q_i\) مختصات سیستم (مثل موقعیت ذرات) هستند.
\item \(\dot{q}_i\) نمایانگر مشتق زمانی این مختصات است.
\item \(T\) نمایانگر انرژی کینتی سیستم (انرژی حرکت) و \(U\) نمایانگر انرژی پتانسیل سیستم (انرژی موقعیت) است.
از رابطه اصل عمل لاگرانژی می‌توان معادلات حرکت (معادلات اویلر-لاگرانژی) برای سیستم ذرات استخراج کرد که توصیف دقیقی از حرکت ذرات در فضا ارائه می‌ده
پس از اضافه کردن محدودیت‌های مناسب، لاگرانژی به درستی حاکم بر حرکت سیستم خواهد بود و معادلات حرکت می‌توانند به درستی از روی لاگرانژی حاصل شن
در مکانیک کلاسیک، تابع لاگرانژی (\(L\)) برای یک سیستم با \(N\) ذره به صورت زیر تعریف میکنم
\[L = T - U\]
با این تعریف، معادلات حرکت
\[\frac{d}{dt} \left(\frac{\partial L}{\partial \dot{q}_i}\right) - \frac{\partial L}{\partial q_i} = 0\]
که درش \(q_i\) مختصات مکانی ذرات هستن و \(\dot{q}_i\) سرعت‌های متناظر با آن مختصات.
اگر سیستم مورد نظرم دو ذره دارد که با یک میله صلب بدون جرم متصل هستند و به دور هم می‌چرخند من می‌تتونم تابع لاگرانژی را بر اساس انرژی کل سیستم تعریف کنم

[rohamavation]

لاگرانژی که انرژی‌های مرکز جرم رو توصیف می‌کنه با لاگرانژی که برای انرژی‌های مربوط به هر ذره نوشته می‌شه متفاوته. لاگرانژی مرکز جرم یه متغیر کلی برای کل سیستمه که انرژی کل سیستم رو در نظر می‌گیره. اما لاگرانژی ذرات به صورت جداگانه به انرژی هر ذره می‌پردازه.
مشکل اصلی اینه که محدودیت‌های سیستم به درستی تو لاگرانژی ترکیب نشده. برای محدود کردن حرکت دو ذره داخل یک کره به شعاع b با فاصله ثابت 2a از یکدیگر، باید محدودیت‌های کواترنیونی رو به درستی مدل کنید و تو لاگرانژی اضافه کنید.
یعنی محدودیت‌های هندسی که از این فاصله ثابت بین دو ذره ناشی می‌شه رو به درستی توضیح بدید و به لاگرانژی اضافه کنید. این محدودیت‌ها باید به عنوان توابعی از متغیرهای جنرالی که حرکت ذرات رو توصیف می‌کنن، اضافه بشن.
بعد از اینکه محدودیت‌های مناسب رو اضافه کنید، لاگرانژی به درستی حاکم بر حرکت سیستم می‌شه و می‌تونید معادلات حرکت رو به درستی از روی لاگرانژی حاصل میکنمش
تابع لاگرانژی برای سیستم ذرات به معنای یک تفاضل کمترین عمل (اصل عمل لاگرانژی) بین این انرژی‌ها است. اصل عمل لاگرانژی می‌گوید که مسیری که یک سیستم از آن عبور می‌کند، طوری انتخاب می‌شود که اختلاف میانگین انرژی کینتی و پتانسیل کمینه شود.
از رابطه اصل عمل لاگرانژی می‌توان معادلات حرکت (معادلات اویلر-لاگرانژی) برای سیستم ذرات استخراج کرد، که توصیف دقیقی از حرکت ذرات در فضا ارائه می‌دهد.
پس از اضافه کردن محدودیت‌های مناسب، لاگرانژی به درستی حاکم بر حرکت سیستم خواهد بود و معادلات حرکت می‌توانند به درستی از روی لاگرانژی حاصل شوند.
لاگرانژی که انرژی‌های مرکز جرم رو توصیف می‌کنه با لاگرانژی که برای انرژی‌های مربوط به هر ذره نوشته می‌شه متفاوته. لاگرانژی مرکز جرم یه متغیر کلی برای کل سیستمه که انرژی کل سیستم رو در نظر می‌گیره. اما لاگرانژی ذرات به صورت جداگانه به انرژی هر ذره می‌پردازه.
مشکل اصلی اینه که محدودیت‌های سیستم به درستی تو لاگرانژی ترکیب نشده. برای محدود کردن حرکت دو ذره داخل یک کره به شعاع
$b$
با فاصله ثابت
$2a$
از یکدیگر، باید محدودیت‌های کواترنیونی رو به درستی مدل کنید و تو لاگرانژی اضافه کنید.
یعنی محدودیت‌های هندسی که از این فاصله ثابت بین دو ذره ناشی می‌شه رو به درستی توضیح بدید و به لاگرانژی اضافه بشن. این محدودیت‌ها باید به عنوان توابعی از متغیرهای جنرالی که حرکت ذرات رو توصیف می‌کنن، اضافه بشن.
حتما! دوستان، برای موضوع مکانیک کلاسیک و اینکه چطور لاگرانژی می‌تونه توصیف حرکت دو تا ذره که به هم متصلند و دور هم می‌چرخند رو بکنه، یه سری چیزا رو می‌خوام بهتون بگم.

اولاً، لاگرانژی یه کلمه مکنده توی مکانیکه. با این لاگرانژی می‌تونیم حرکت یه سیستم رو با تفاوت انرژی کینتی و پتانسیلش بیان کنیم. برای مسئله دو ذره که به هم وصلند و دور هم می‌چرخند، می‌شه لاگرانژی رو به شکل
L=T−U نوشت. T انرژی کینتیه و U انرژی پتانسیل.
حالا با استفاده از اصل عمل ایولر-لاگرانژ، معادلات حرکت رو به دست میاریم. این معادلات حرکت چیزایی رو نشون می‌ده که بازیگران حرکت سیستم هستن. یعنی می‌تونیم بفهمیم چطور حرکت می‌کنن و از یکدیگر تاثیر می‌پذیرن.
حالا این مسئله رو می‌شه حل کرد. با حل این معادلات حرکت، می‌تونیم مسیر حرکت و تغییرات زاویه‌ها و موقعیت ذرات رو در زمان پیدا کنیم. از روش‌های مختلفی استفاده می‌شه، که هرکدوم نتیجه ممکنه جواب‌های مختلف بدن.
در نهایت، با توجه به محدودیت‌های مسئله مثل وجود میله صلب بدون جرم، باید این محدودیت‌ها رو هم توی حل معادلات در نظر بگیریم.