بعضی اجسام تمایل به تغییر محور چرخش خودشون دارن

[rohamavation]

اینجا درباره‌ی این حرف میزنم که بعضی اجسام تمایل به تغییر محور چرخش خودشون دارن. این حالت به اصطلاح "تکانه چرخشیspin angular momentum معروفه. این اتفاق از اونجاست که توزیع جرم اون اجسام ناهمگنه و این باعث میشه تکانه چرخشی هم ناهمگن بشه. به همین خاطر اگر هیچ نیروی جانبی خارجی اعمال نشه جسم دل به تغییر محور چرخش خودش می‌ده.
قضیه نوتر در فیزیک مربوط به حرکت دورانی یک جسم در فضای دو بعدیه که متصل به محور چرخش خودش هستش. این قضیه اصولاً حفظیت یک کمیت خاص را در این نوع حرکت‌ها تضمین می‌کنه. این کمیت که به عنوان حرکت زاویه‌ای" شناخته می‌شه معمولاً با علامت $Q$ نشان داده میشه
به طور کلی قضیه نوتر میگه که حاصلضرب بین مقدار متعادل ضربی و فاصله‌ی جسم از محور چرخش (یا به عبارت دیگر مومنتوم زاویه‌ای در طول حرکت در طول چرخش جسم ثابته. به این صورت که:
\[ Q = p_x h_x + p_y h_y = m(y \dot{x} - x \dot{y}) \]

که در آن $p_x$ و $p_y$ متعادل‌های متعلق به مومنتوم خطی در جهات $x$ و $y$ هستند و $h_x$ و $h_y$ نشانگر مومنتوم زاویه‌ای در هر جهت هستن.
در اصطلاحات ساده‌تر قضیه نوتر به ما می‌گه که مومنتوم خطی و زاویه‌ای یک جسم در حالتی که به دور محور خودش می‌چرخد حفظ میشه خوب یعنی که مجموع مومنتوم خطی و زاویه‌ایهاش ثابته
ارتباط قضیه نوتر با تکانه چرخشی اینه که وقتی یه جسم ناهمگن در حال چرخشه تکانه چرخشیش هم ناهمگن میشه. قضیه نوتر به ما میگه که این تکانه چرخشی حتی وقتی که هیچ نیروی جانبی خارجی اعمال نمیشه ثابت میمونه. به عبارت دیگه حاصلضرب بین فاصله‌ی جسم از محور چرخش و مقدار مومنتوم زاویه‌ای جسم (یا همون تکانه چرخشی) همیشه ثابته.
دقایقی پیش تو ذهنم این موضوع پیش اومد داشتم روی میزی که یه گلابی روش بودم بهش خیلی سریع حرکت دادم و اونو چرخوندم. اون گلابی چند ثانیه به اطرافش چرخید و بعد ناگهان جهتش رو تغییر داد و محور چرخشش از افقی به عمودی تغییر کرد و تا وقتی که چرخش متوقف شد عمودی موند. این اتفاق هر بار که گلابی رو چرخوندم تکرار میشد. اما به طرز عجیبی وقتی نیروی اولیه‌ای که من اعمال می‌کردم خیلی کوچیک بود این اتفاق نمی‌افتاد. آیا این اتفاق برای همه اشیاء میوفته؟ و چرا اجسام تمایل به تغییر محور چرخش خودشون رو دارن؟
$p_x=m \frac{dx}{dt}$
ببین در محور y سیستم تحت تأثیر یک گرانش میدان خارجی g
که گلابی را به سمت پایین می کشه. این امر تقارن را از محور عمودی حذف می کنه و به این معنی است که تکانه عمودی حفظ نمیشه
ممان اینرسی m اینطوره
$I=mr^2$
جایی که r
شعاع است. در اینجا خود گلابی نیز شعاع توزیع یکنواختی نداره. مرکز جرم آن در هر 3 بعد اینطور اوردم
$x_{cm}\frac{1}{M}\int{x dm}$
$y_{cm}\frac{1}{M}\int{y dm}$
اما ما قبلاً می دانیم که $p_y=m \frac{dy}{dt}$
حفظ نشده است. وقتی گلابی را شروع به چرخیدن می کنم کجا محور چرخش دارم زیرا گلابی دارای تکانه ایه که در جهت عمودی حفظ نمیه این گلابی را به سمت پایین می کشه.

[rohamavation]

بله دیگه این پدیده رو ما میگیم "تغییر محور"! وقتی یه جسم داره بهره از سرعت زاویه‌ای خودش می‌کنه و بعد نیروهایی از بیرون بهش وارد میشه می‌تونه باعث بشه محور چرخشش تغییر کنه. این پدیده تو زندگی روزمره‌مون هم دیده میشه مثلاً وقتی یه بازیکن گلف توپ رو زده اگه توپ با یه مانع برخورد کنه ممکنه مسیرش تغییر کنه و انتظارات بازیکن رو دچار تغییر کنه. تو فیزیک هم این موضوع مهمه مثلاً وقتی یه جسم در فضا حرکت می‌کنه ممکنه به دلیل نیروهای مختلفی که بهش وارد میشه محور چرخشش تغییر کنه.خوب درسته که برای برخی اجسام تکانه چرخشی یا "spin angular momentum" مهمه. وقتی توزیع جرم اون اجسام ناهمگنه باشه تکانه چرخشی هم ناهمگن میشه. به همین خاطر اگه بدون هیچ نیروی جانبی خارجی اجسام این تکانه‌ی چرخشی رو تغییر ندهند می‌تونند محور چرخششون رو تغییر بدن. این مفهوم توی فیزیک به عنوان "تکانه چرخشی" مطرح میشه و در برخی اجسام ناهمگن مشاهده میشه. برای توضیح قانون حفظ تکانه چرخشی باید بگم که اگه یه سیستم بدون هیچ نیروی جانبی بهش عمل نکنه تکانه چرخشیش ثابت می‌مونه. یعنی وقتی تو یه سیستم ناهمگن مثل یه جسمی که توزیع جرمش ناهمونه هیچ نیرویی براش وارد نشه تکانه چرخشیش تغییر نمی‌کنه. به این معنا که اگه بدون هیچ نیرویی جسم دل به تغییر محور چرخشش می‌ده اون فقط به دنبال تعادل تکانه چرخشیشه.
یک مثال ساده می‌تونه در مورد یک شیء دوار مثل یک دیسک باشه. فرض کنید که یک دیسک روی سطحی صاف قرار داره و هیچ نیروی خارجیبهش اعمال نمی‌شه اگر من بخواهم رفتار چرخشی این دیسک را بررسی کنم می‌تونم از قانون لاگرانژ استفاده کنم تا معادلات حرکت چرخشی دیسک را بیابم. با استفاده از قانون دوم نیوتن برای چرخش می‌تونم بررسی کنم که آیا تغییرات سرعت زاویه‌ای آن در طول زمان صفره یا خیر.
اگر هیچ نیروی خارجی به دیسک اعمال نشه می‌تونم از قانون لاگرانژ استفاده کنم تا ببینم که تکانه چرخشی آن حفظ می‌شه. ایعنی که محور چرخش دیسک ثابت می‌مونه و سرعت زاویه‌ ای اون تغییر نمی‌کنه
فرض کنید یک دیسک با جرم $m$ و شعاع $r$ داریم که روی یک سطح افقی صاف قرار دارد. در اینجا ما قصد داریم تا بررسی کنیم که اگر هیچ نیروی خارجی به دیسک اعمال نشه آیا تکانه چرخشی آن حفظ می‌شه یا نه.
از قانون دوم نیوتن برای چرخشش می‌تونم بنویسم:
\[
\tau = I \alpha
\]
که $\tau$ مقدار گشتاور (نیروی چرخش) $I$ مین moment of inertia (جرم معادل) و $\alpha$ شتاب زاویه‌ای است.
برای دیسک هم moment of inertia به صورت $I = \frac{1}{2} m r^2$ است.
حالا اگر هیچ نیروی خارجی اعمال نشه ($\tau = 0$) یعنی که $\alpha = 0$ است یعنی شتاب زاویه‌ای دیسک صفره و سرعت زاویه‌ای آن ثابته
از طرف دیگر با استفاده از قانون لاگرانژی اگر فرض کنی $L$ تکانه چرخشیه من می‌تونم به صورت زیر بنویسمش
\[
L = I \omega
\]
که $\omega$ سرعت زاویه‌ای است.
اگر $I \omega = \text{ثابت}$ باشد و $I$ ثابت باقی موند این به معنای حفظ تکانه چرخشیه.
بنابراین به طور خلاصه در صورتی که هیچ نیروی خارجی اعمال نشه تکانه چرخشی دیسک حفظ می‌شه و سرعت زاویه‌ای آن ثابت می‌مونه
بیا ببینیم مثالی میزنیم. فرض کن یه استوانه داریم جرمش $۴ \, \text{کیلوگرم}$ شعاعش $۰.۶ \, \text{متر}$ و ارتفاعش $۱ \, \text{متر}$ روی یه سطح صاف افقی قرار گرفته. حالا فرض کن هیچ نیرویی به اون اعمال نشده آیا تکانه چرخشیش حفظ میشه یا نه؟
از قانون دوم نیوتن برای چرخش میشه نوشت:
\[
\tau = I \alpha
\]
که $\tau$ مقدار گشتاور (نیروی چرخش) $I$ جرم معادل (moment of inertia) و $\alpha$ شتاب زاویه‌ایه.
برای استوانه جرم معادل به صورت $I = \frac{1}{2} m r^2$ است.
حالا اگه هیچ نیرویی اعمال نشده باشه ($\tau = ۰$) این به معناست که $\alpha = ۰$ هست یعنی شتاب زاویه‌ای استوانه صفره و سرعت زاویه‌ایش ثابت می‌مونه.
از طرفی با استفاده از قانون لاگرانژی اگه $L$ تکانه چرخشی رو تعریف کنیم میشه نوشت:
\[
L = I \omega
\]
که $\omega$ سرعت زاویه‌ایه.
اگه $I \omega = \text{ثابت}$ باشه و $I$ ثابت باقی بمونه این به معناست که تکانه چرخشی حفظه.
پس برای این مثال اگه هیچ نیرویی اعمال نشده باشه تکانه چرخشی استوانه حفظ می‌شه و سرعت زاویه‌ایش ثابت می‌مونه.فرض کنید که یک سیب را به سمت بالا پرتاب می‌کنیم. در هنگام پرتاب، سیب یک حرکت چرخشی داره به دلیل نیروهای اعمالی در زمان پرتابش. سپس سیب به زمین میفته و نیروی گرانشی بر روی آن اثر میکنه
با توجه به قانون حفظ تکانه چرخشی اگه هیچ نیروی خارجی به سیب اعمال نشه تکانه چرخشی آن حفظ می‌شه. خوب رحته دیگه که حتی در حال افتادن سرعت چرخش سیب تغییر نمی‌کنه و به اندازه‌ی مشخصی چرخش داره
خب دوسان هوپایی من بیان براتون مثالی بزنم. فرض کن که داری یه توپ فوتبال رو به هوا پرتاب می‌کنی. وقتی توپ رو پرتاب می‌کنی. این توپ همزمان هم حرکت می‌کنه و هم دور می‌چرخه، این چرخشش معمولاً از اونجاست که هوا بهش فشار میاره.
حالا وقتی که اون توپ تو هوا پرتاب می‌شه یه سری نیروهای هوایی بهش اثر میزنن که می‌تونن محور چرخشش رو عوض کنن. یعنی از افقی به عمودی یا حتی به هر جهت دیگه‌ای. این ممکنه به خاطر این باشه که ممکنه باد یا نیروهای دیگه‌ای بهش اثر بزنن که محور چرخش رو تغییر بدن.
حالا قضیه نوتر یا همون قانون حفظ تکانه، چیزیه که میگه اگه هیچ نیروی جانبی به سیستمی که در حال حرکته اعمال نشه تکانه‌ی اون سیستم حفظ می‌مونه. به عبارت ساده‌تر تغییراتی که در توپ روی میده، باید با تغییرات معادلی در هوا هماهنگ باشه که تکانه‌ی کلی سیستم حفظ بمونه.