آیا می‌تونیم حرکت زاویه‌ای حول محور متحرک را حفظ کنیم؟

[rohamavation]

مسئله اینه که تو دو حالت متفاوت به دوتا نقطه مختلف اهمیت می‌دیم. تو حالت اول به یه نقطه‌ای که روی محور وسط میله قرار داره اهمیت می‌دیم و تو حالت دوم به قاب مرکز جرم میله اهمیت می‌دیم.
تو هر دو حالت تکانه زاویه‌ای حفظ می‌شه اما اینجا مهمه که به کدوم نقطه اهمیت می‌دیم و چجوری تثبیت می‌کنیمش. تو حالت اول نقطه ثابت روی محور وسط میله رو مثل نقطه مرجع برای تکانه زاویه‌ای در نظر می‌گیریم و تو حالت دوم فریم مرکز جرم میله رو به عنوان نقطه مرجع می‌گیرم.
این تفاوت از تفاوت توی نیروها و گشتاورها به دلیل این تفاوت در موقعیت مرجع مختلف ایجاد می‌شه. در حالت اول تغییرات تکانه زاویه‌ای با تغییرات گشتاورها در نقطه مرجع مرتبطه در حالی که تو حالت دوم موقعیت مرجع متحرکه و تغییرات تکانه زاویه‌ای با تغییرات گشتاورها در مرجع متحرک در ارتباطه.
بنابراین معادلات بقای تکانه زاویه‌ای تو این دو حالت متفاوته چون نقطه مرجع و شرایط مرتبط با آن‌ها متفاوته.
خوب تو این موقعیت اگه بخوایم در مورد حرکت یه جسم حول یه محور حرکت کنیم باید به یک مفهوم مهم توجه کنیم که "تکانه" نام داره. تکانه‌ای که به حرکت چرخشی یه جسم مربوطه. حالا توی این سوال داریم می‌پرسیم می‌تونیم تکانه زاویه‌ای رو در مورد یه نقطه ثابتی که روی یه محور حرکت می‌کنه حفظ کنیم یا نه.
توی فیزیک تکانه زاویه‌ای مرتبط با سرعت زاویه‌ای و اینرسی جسمه. اینرسی همون جاذبه‌ایه که جسم مقاومت می‌کنه وقتی می‌خواد حرکت یا تغییر جهت بده. پس مثلا وقتی تو یه مسابقه دوچرخه سواری یه دور خیابون می‌زنی اون حسابی دوچرخه رو زیاد می‌کنی و این احتیاج به تکانه‌ی زاویه‌ای داره.
خب حالا اگه یه جسمی رو به اینرسی متفاوتی به راحتی بچینیم تکانه زاویه‌ایش هم متفاوت میشه. اینرسی اونوقت برابر میشه با جاذبه‌ای که جسم داره. حالا به نظرت می‌تونیم بگیم تکانه زاویه‌ای رو در مورد نقطه‌ای که روی محور حرکت می‌کنه حفظ کنیم؟
حتما می‌دونیم که تکانه‌ها حفظ می‌شن. این یعنی تکانه زاویه‌ای اولیه یه جسم حفظ می‌مونه. اما وقتی به نقطه‌ای میرسیم که جسم به اونجا نزدیک شده تکانه زاویه‌ای نهایی دیگه مثل اولیه نیست. چون اینرسی نقطه‌ای که براش حرکت می‌کنه متفاوته.
خلاصه که می‌شه گفت: تکانه زاویه‌ای اولیه همیشه باقی می‌مونه. اما تکانه زاویه‌ای نهایی درباره یه نقطه‌ی ثابت معین مثلاً مرکز جرم متفاوت می‌شه.
می‌تونیم تکانه زاویه‌ای رو درباره یه نقطه‌ی ثابت که روی محور حرکته حفظ کنیم. ترجیح می‌دم بهش محور متحرک بگم چون محور به نظر من نشون می‌ده که مرکز چرخش همه چیز تو فضاست. اما مرکز چرخش یه جسم آزاد یک‌بعدی به نام "میله" در بی‌نهایته - یعنی حرکتش تو خط مستقیمه و همیشه یکیه. اگه بخوایم بهش حرکت دورانی بدیم باید یه جورایی از محور یه‌باره پیچش بدیم.
خلاصه می‌شه گفت: تکانه زاویه‌ای اولیه همیشه باقی می‌مونه. اما تکانه زاویه‌ای نهایی برای ذره باید در هر دو حالت متفاوت باشه مخصوصاً تو حالت دوم که تو قاب مرکز جرم سرعت نسبی ذره متفاوته.
لاگرانژی یک جرم که در شعاع واحد می چرخه
$L=\frac{1}{2} m (\dot{x}^2 + \dot{y}^2 )$
جایی که
$x=\sin(\omega t)$
و$x=\sin(\omega t)$
.$L=\frac{1}{2} m ((\frac{{d\cos(\omega t)}}{dt})^2 + \frac{{d\sin(\omega t)}}{dt})^2 )=\frac{1}{2} m ((-\omega \sin(\omega t))^2 + (\omega \cos(\omega t))^2 )$
⟹
$L=m\omega^2$
تحت چرخش های بی نهایت کوچیکه به طوری که $\delta\theta$
خیلی کوچیکه
$x'=x+y\delta\theta \text{ and } y'=y-x\delta\theta$
چرخش یکسانه از هر نقطه در امتداد محور y با نشان داده خواهد شد
$x'=x+y\delta\theta \text{ and } y=y'-x\delta\theta+C$ من می تونم نشون بدم که به ترتیب اول لاگرانژی تحت آن تبدیل ثابته. یعنی همینطور باقی میمونه
قضیه نوتر این را می گوید
عدم تغییر تحت
$\delta x= h_{x}\delta\theta = y \delta\theta$
$\delta x= h_{x}\delta\theta = y \delta\theta$
با حرکت متعارف
$p_x = \frac{\partial L}{\partial \dot{x}}$
$p_y = \frac{\partial L}{\partial \dot{y}}$
دلالت بر Q یک کمیت حفظ شده است که در آن
$Q=p_x h_x + p_y h_y = m(y \dot{x} - x \dot{y})$
و این حرکت زاویه ای است.ه توضیحاتم به خوبی به قضیه نوتر و حرکت زاویه‌ای در سیستم جسم دو بعدی متصل به محور چرخش خود اشاره داره. در این مدل با فرض کمی حرکت زاویه‌ای (تغییرات بسیار کوچک در زاویه) از تابع لاگرانژ برای توصیف حرکت جسم استفاده مشه
"بابت توضیحات من رو درباره‌ی لاگرانژی یک جسم که تو یک شعاع واحد می‌چرخه و تغییراتی که به صورت چرخشی روی اون اعمال می‌شه دادم. اولاً لاگرانژ جسمی رو در حالتی که تو یک شعاع واحد می‌چرخه محاسبه کردم. این لاگرانژ برابر با نیروی کینتیکی (انرژی جنبشی) جسمه و تابعی از سرعت جسم در جهت‌های
x و y. بعد به بررسی تغییرات چرخشی در این مدل پرداختم. این تغییرات نشون میدن که چطور مختصات
x و y به صورت چرخشی تغییر می‌کنن و چطور لاگرانژ ثابت می‌مونه تحت این تغییرات. در نهایت به قضیه نوتر اشاره کردم که حفظیت یک کمیت خاص (معمولاً نامیده می‌شه
Q) در حالت‌هایی که تو چرخش می‌باشه رو تضمین می‌کنه. این کمیت به عنوان حرکت زاویه‌ای شناخته می‌شه و نشون دهنده‌ی مقداریه که تو طول چرخش ثابت می‌مونه.
این توضیحات به خوبی نشون میدن که چطور تئوری لاگرانژ می‌تونه استفاده شه تا حرکت جسم تو فضای دو بعدی متصل به محور چرخش خودش رو مدل کنه و چطور مفاهیمی مثل حرکت زاویه‌ای و حفظیت کمیت‌ها توسط این تئوری توضیح داده می‌شن."






′

[rohamavation]

بله می‌تونی دایره‌یه حرکت دورانی دور یه محور متحرک رو حفظ کنی اما باید دقت کنی که اینجا دوتا نکته‌ی مهمه: نقطه‌ی مرجع و تکانه زاویه‌ای.
نقطه‌ی مرجع یعنی جایی که محور حرکت روش تحلیل می‌کنی. مثلاً وقتی نقطه مرجع ثابت باشه مثل محور وسط میله معادلات ساده‌تره و معمولاً ازش استفاده می‌شه.
اما وقتی نقطه مرجع متحرک باشه باید معادلات رو به‌طوری تغییر بدی که تکانه زاویه‌ای حول نقطه مرجع متحرک حفظ بشه.
مثلاً تو مورد اول وقتی نقطه مرجع ثابته می‌تونی از معادلات نسبت به نقطه مرجع ثابت استفاده کنی و تکانه زاویه‌ای حول محور متحرک رو حفظ کنی.
تو مورد دوم باید معادلات رو به‌طوری تغییر بدی که نقطه مرجع متحرک در نظر گرفته بشه. از معادلات نسبت به نقطه مرجع متحرک استفاده می‌شه که با توجه به مکانیک تحلیلی و گشتاورها حرکت میله حفظ بشه.
به طور خلاصه برای حفظ تکانه زاویه‌ای حول محور متحرک باید موقعیت مرجع رو به درستی انتخاب کنی و از معادلات متناسب با آن استفاده کنی.
فرض کنید یه میله‌ای دارید که به دور محوری متحرک می‌چرخه. حالا دو حالت مختلف داریم:
در حالت اول نقطه مرجع روی محور متحرک میله (مثلاً وسط میله) ثابته.
در حالت دوم نقطه مرجع میله متحرکه (مثلاً مرکز جرم میله).
تو هر دو حالت ما به تکانه زاویه‌ای میله توجه می‌کنیم. این تکانه زاویه‌ای به این معناست که میله چقدر سریع حول محورش متحرک می‌چرخه.
در حالت اول ما می‌تونیم از معادلات معروف اطلاق بدم که نقطه مرجع ثابته مثلاً معادلات اویلر و این باعث میشه که تکانه زاویه‌ای حفظ بشه. اینجا نقطه مرجع مثل نقطه‌ایه که ما می‌نشینیم و حرکت رو از اون دیده می‌شه.
اما تو حالت دوم وقتی نقطه مرجع متحرکه معادلات باید به‌طور متناسب با اون تغییر کنن. ما باید از معادلاتی استفاده کنیم که موقعیت مرجع رو به‌طور متحرک در نظر بگیره. این باعث میشه که تکانه زاویه‌ای حول محور متحرک مثلاً مرکز جرم میله حفظ بشه.
پس در نهایت برای هر حالت باید به معادلات مربوطه توجه کنیم و موقعیت مرجع رو به درستی انتخاب کنیم تا تکانه زاویه‌ای رو حفظ کنیم.
البته الگوی کلی معادلات تکانه زاویه‌ای حول محور متحرک بستگی به سیستم مورد بررسی دارد. اما برای سادگی یک مثال ساده را در نظر بگیرم. فرض کنید یک میله با جرم $ m $ و طول $ L $ را در نظر بگیرم که دور یک محور متحرک در حال چرخش است. می‌خواهیم تکانه زاویه‌ای حول محور را حفظ کنم.
۱. حالت اول: نقطه مرجع ثابت است (مانند محور وسط میله).
حرکت میله با معادله زیر مدل می‌شود:
\[ I \frac{d^2\theta}{dt^2} = \tau \]
که در آن $ I $ مومنت اینرسی میله نسبت به محور چرخش $ \theta $ زاویه میله نسبت به محور و $ \tau $ گشتاور اعمال شده به میله هستش
۲. حالت دوم: نقطه مرجع متحرک است (مانند مرکز جرم میله).
متوجه شوید که در این حالت مقدار مومنت اینرسی $ I $ نسبت به محور متحرک تغییر می‌کند. بنابراین معادله تکانه زاویه‌ای اینطوره
\[ I_{\text{relative roham}} \frac{d^2\theta}{dt^2} = \tau_{\text{relative}} \]
که در آن $ I_{\text{ roham relative}} $ مومنت اینرسی میله نسبت به محور چرخش متحرک $ \theta $ زاویه میله نسبت به محور متحرک و $ \tau_{\text{relative roham}} $ گشتاور اعمال شده به میله نسبت به محور متحرک است.
در کلش معادلات متفاوتی برای حالت‌های مختلف مرجع و نقطه مرجع داریم که باید با توجه به شرایط مسئله اعمال بشه
حالت اول (نقطه مرجع ثابت):
در این حالت نقطه مرجع روی محور متحرک میله یعنی محور میانی میله قرار داره. $I \frac{d^2\theta}{dt^2} = \tau
\]$

در اینجا:
$I$ تعیین‌کننده‌ی مقدار مقاومت به چرخش یا چرخانندگی میله است (ممان گشتاور).
$\theta$ تکانه زاویه‌ای (سرعت زاویه‌ای) میله است.
$\tau$ گشتاور است که در این مورد ممکنه از نیروی گرانشی برای میله تولید شده باشه.
حالت دوم (نقطه مرجع متحرک):
حالا فرض کنیم که مرجع مرکز جرم میله است و این مرکز جرم با سرعت ثابت $V$ در جهت محور $x$ حرکت می‌کنه. در این حالت از معادلات نسبت به نقطه مرجع متحرک استفاده میکنم
\[
I' \frac{d^2\theta'}{dt^2} = \tau'
\]
در اینجا:
$I'$ تعیین‌کننده‌ی مقدار مقاومت به چرخش یا چرخانندگی میله با توجه به نقطه مرجع متحرکه
$\theta'$ تکانه زاویه‌ای (سرعت زاویه‌ای) میله با توجه به نقطه مرجع متحرک است.
$\tau'$ گشتاور است که در این حالت باید با توجه به نقطه مرجع متحرک محاسبه بشه
این فرمول‌ها میتونند به عنوان ابزارهای اصلی برای تحلیل و پیش‌بینی حرکت میله در دو حالت مختلف استفاده بشن