دینامیک سیالات یک جسم در حال حرکت در یک مایع

[rohamavation]

نیروی حاصله وارد بر جسمی که در آب به صورت عمودی به سمت پایین حرکت می کنه با نیروی حاصله وارد بر جسمی که در آب به سمت بالا حرکت می کند چگونه هستش؟
ببین جزئیات نیروهای وارد بر جسمی که در یک سیال به سمت بالا/پایین حرکت می کنه. در قسمت a جسم در حال فرورفتنه بنابراین وزن بیشتر از نیروی شناوریه بنابراین نیروی خالص به سمت پایینه. با حرکت جسم به سمت پایین نیروی چسبناک به سمت بالا روی آن وارد میشه. حال اگر جسم کره باشه نیروی چسبناک وارد بر جسم نسبت مستقیم داره با سرعت اون نیروی چسبناک روی یک کره = $6\pi \eta r v $ که در آن v = سرعت $\eta$ = ضریب ویسکوزیته r = شعاع کره
خوب با افزایش سرعت جسم به سمت پایین نیروی ویسکوز نیز افزایش می‌یابه و زمانی می‌رسه که نیروی چسبناک رو به بالا برابر با نیروی خالص رو به پایین می‌شه در این لحظه نیروی خالص روی کره صفر می‌شه دیگه بنابراین شتاب خالص کره صفره. سرعت کره ثابت میشه. از آنجایی که سرعت ثابته نیروی ویسکوز نیز ثابته و جسم برای همیشه با این سرعت ثابت به حرکت خود ادامه میده. به این سرعت سرعت پایانی میگم. برای یافتنش هم نیروی چسبناک به سمت بالا = نیروی خالص رو به پایین.
$6 \pi \eta r v = mg - v' \rho g$در اینجا v' حجم و v سرعت است.جایگزینی دارم v'(volume)=$\frac43 \pi r^3$
وجرم $\frac43 \pi r^3 \sigma$در اینجا $\sigma$ چگالی جامده.با حل معادله فوق به دست اوردم
$v_{terminal}=\frac{2r^2(\sigma - \rho)g}{9 \eta}$این مفهوم سرعت پایانیه
در شکل b جسم به سمت بالا حرکت می کنه بنابراین وزن کمتر از نیروی شناوره بنابراین نیروی خالص به سمت بالا است. همانطور که جسم به سمت بالا حرکت می کنه نیروی چسبناک به سمت پایین روی آن وارد میشه. همانطور که جسم به سمت بالا شتاب میده نیروی چسبناک در جهت پایین با سرعت افزایش میابه و یک نقطه افزایش میابه. زمانی که نیروی خالص صفر شد و جسم دوباره به سرعت پایانی دست یافت به اون میرسه.
ببین با استفاده از فرمول بالا وقتی جسم در حال فرو رفتنه سرعت ترمینال مثبت میشه (سرعت ترمینال به سمت پایینه) و سرعت پایانه منفی وقتی جسم در حال افزایشه (سرعت ترمینال در حال بالا رفتنه)

[rohamavation]

خب بچه های هوپایی دینامیک سیالات یعنی یه حوزه که ما به بررسی رفتارهای مختلف سیالات و جریاناتشون در برابر نیروهای بیرونی می‌پردازیم. وقتی یه جسم توی یه مایع حرکت می‌کنه ما این رفتار رو با استفاده از قوانین فیزیکی مثل قانون نیوتن می‌سنجیم.
برای شرح حرکت یه جسم توی یه مایع معمولاً از معادلاتی استفاده می‌کنیم که کنترل جریان سیالات و دینامیک جسم رو توضیح بدن. الان چند تا مفهوم مهم رو با هم بررسی می‌کنیم:
1. معادله دوم نیوتن: این معادله به ما می‌گه که وقتی یه جرم تو یه محیط حرکت می‌کنه زیر تأثیر نیروهای بیرونی چطور حرکت می‌کنه. معمولاً این نیروها به دو دسته تقسیم می‌شن: نیروهای ثابت (مثل وزن) و نیروهایی که به خاطر جریان سیالات به وجود میان.
2. معادله نیروی جابه‌جایی: این معادله برامون نشون می‌ده که چطور نیروهای مختلف بر روی جسم تأثیر می‌گذارن و چطور سرعت جسم تغییر می‌کنه. معمولاً این معادله به صورت F=ma که F نیرو m جرم جسم و a شتابشه بیان می‌شه.
3. معادلات نیروی هیدرودینامیکی: برای توصیف نیروهایی که از جریان سیالات به وجود میان از اصول هیدرودینامیکی مثل فشار و نیروی لغزشی استفاده می‌شه. این معادلات ممکنه بسته به نوع جریان و شرایط مختلف محیط متفاوت باشن.
4. معادله نیروی آرامشی: اگه جسم در یه مایع حرکت نکنه و در حالت آرام باشه معمولاً از معادله نیروی آرامشی استفاده می‌شه. این معادله توازن بین نیروهایی که بر جسم عمل می‌کنن رو نشون می‌ده.جریان آرام : Laminar flow جریان ماده ای سیاله به طوری که اجزا آن ماده به صورت خطوط موازی نسبت به هم در حال حرکت باشن. در دینامیک سیالات جريان آرام با ذرات سیال مشخص میشه که آن ها مسیر های صاف را دنبال کرده و هر لایه به آرامی از لایه های کم یا بدون اختلاط مجاور خود حرکت میکنه.${\displaystyle \mathrm {Re} ={\frac {\rho uD_{\text{H}}}{\mu }}={\frac {uD_{\text{H}}}{\nu }}={\frac {QD_{\text{H}}}{\nu A}},}$
5. معادلات جریان سیالات: برای توصیف جریان مایع و تأثیراتش بر جسم از معادلاتی مثل ناویر-استوکس استفاده می‌شه.
همه این مفاهیم با هم ترکیب می‌شن و برای توصیف حرکت جسم در مایع استفاده می‌شن. این فرآیند معمولاً تو زمینه‌های مختلفی مثل مهندسی دریا هوا و صنایع مورد استفاده قرار می‌گیره.
بیاین یه مثال ساده از نیروی شناوری در زمینه دینامیک سیالات بزنیم. فرض کنید یه قایق کوچیک روی یه سطح آرام آب قرار داره. وقتی که قایق حرکت می‌کنه مایع (یعنی آب) بر روی آن اثر می‌گذاره و نیرویی به سمت بالا برای حمایت از وزن قایق اعمال می‌شود که به این نیرو نیروی شناوری گفته می‌شه.
این نیرو به صورتی عمل می‌کنه که قسمت زیرین قایق بیشتر از بالایی و بدنه‌ای که در آب قرار داره به آب فشرده می‌شه. این فشار باعث می‌شه که قایق بالاتر بر آب نگه داشته بشه.
حالا اگه می‌خوایم این نیروی شناوری رو محاسبه کنیم از مفهوم تراکم مایع و حجم قایق استفاده می‌کنیم. فشاری که آب بر روی قایق اعمال می‌کنه متناسب با وزن آبی است که توسط قایق فشرده می‌شه.
این می‌تونه به صورت رابطه‌ی ساده‌ای بیان بشه:
Fb=V×ρ×g
بیا ببینیم یه مثال روان بزنیم. فرض کن که یه قایق روی یه رودخونه قرار داره و ما می‌خواهیم ببینیم چطور این قایق تحت تأثیر نیروهای مختلف حرکت می‌کنه.
اولاً بیاین ببینیم که چطور نیروی قانون دوم نیوتن توی این مثال مطرح می‌شه. وقتی که قایق در آب حرکت می‌کنه قوانین نیوتن بیان می‌کنند که قایق تحت تأثیر نیروهای مختلفی قرار می‌گیره. به عنوان مثال وزن قایق و همچنین نیروهایی که بر اثر جریان آب بر روی قایق عمل می‌کنند.
حالا نیروی هیدرولیک چیه؟ ببین وقتی قایق در آب حرکت می‌کنه آب بر روی قایق فشار میاره. این فشار که بهش می‌گیم نیروی هیدرولیک ناشی از اثر جریان آب بر روی سطح قایقه. این نیرو برعکس نیروی قنون دوم نیوتن که به سمت پایینه به سمت بالا عمل می‌کنه.
حالا بیاین ببینیم چطور معادلات جریان سیالات می‌تونه در این مثال مورد استفاده قرار بگیره. معادلات جریان سیالات ما رو قادر می‌سازه تا جریان آب روی قایق رو بررسی کنیم و اثراتش رو بر حرکت قایق بفهمیم. به عنوان مثال با استفاده از معادله ناویر-استوکس می‌تونیم جریان آب روی سطح قایق رو توصیف کنیم و ببینیم چطور این جریانات تأثیر می‌ذارن.
به همین راحتی می‌تونیم با ترکیب این مفاهیم مختلف حرکت قایق رو در آب مورد بررسی قرار بدیم و عوامل مختلفی مثل نیروی قانون دوم نیوتن نیروی هیدرولیک و معادلات جریان سیالات رو در نظر بگیریم.
{قانون دوم نیوتن}
\[
F = m \times a
\]
{نیروی هیدرولیک}
\[
F_h = P \times A
\]
{معادلات جریان سیالات}
\[
P_1 + \frac{1}{2} \rho v_1^2 + \rho g h_1 = P_2 + \frac{1}{2} \rho v_2^2 + \rho g h_2
\]
خب بیا یکمون ببینیم چطوری معادلات ناویر-استوکس برای یه سیستم خاص حل می‌شه. فرض کن یه جریان لامینار مثلاً آب توی یه لوله استوانه‌ای داریم. این لوله با شعاع مشخصی داره و این جریان توش حرکت می‌کنه. حالا بیا بررسیش کنیم.
در اینجا معادلات ناویر-استوکس برای این حالت خاص به شکل زیر هستن:$\rho \left( \frac{\partial \mathbf{v}}{\partial t} + (\mathbf{v} \cdot \nabla) \mathbf{v} \right) = - \nabla P + \mu \nabla^2 \mathbf{v}
$این معادلات با استفاده از شرایط مرزی مناسب (برای مثال سرعت در مرزهای لوله برابر با صفر) قابل حل هستن. به عنوان یک مثال ساده فرض کنید که جریان درون لوله به صورت ثابت با سرعت
v حرکت می‌کنه و در مرزهای لوله سرعت صفر است. با حل این معادلات می‌تونیم سرعت و فشار سیال درون لوله رو به دست بیاریم.
این مثال نشون می‌ده که معادلات ناویر-استوکس می‌تونن برای توصیف جریان‌های مختلفی از جمله جریان‌های لامینار و توربولانسی در انواع مختلفی از سیالات استفاده بشن.
جریان ارام یا لامینار اون نوع جریان سیالیه که توش ذرات سیال به صورت لایه‌ای مرتب و موازی به هم حرکت می‌کنن و هیچ گونه تلاطم یا اختلاطی توش رخ نمی‌ده. در واقع توی جریان ارام سیال خطی و پیوسته از یه نقطه به نقطه دیگه حرکت می‌کنه و هیچ نوسانات بزرگی توی سرعت یا جهت جریان نیست.
اگه بخوایم مثال بزنیم مثلاً وقتی آب توی یه لوله بچرخه و حرکتش به خوبی مشخص و پیوسته باشه اون وقت می‌تونیم بگیم جریانش ارامه. یا مثلاً وقتی رودخونه‌ای رو تصور کنیم که آرام و با سرعت کمی جریان داره همونطور که می‌بینیم هیچ اختلاطی و تلاطمی توش نیست.
جریان ارام معمولاً وقتی اتفاق می‌افته که سرعت جریان نسبتاً کم باشه و از اون دسته مایعات نیوتنی که ویسکوزیته‌شون بالاست استفاده کنم. این نوع جریان در بسیاری از موارد مثل جریان آب در لوله‌ها رودخونه‌هایی با سرعت کم و ... رخ می‌ده.
خب بیایید یک مثال ساده از جریان ارام یا لامینار را بررسی کنم. فرض کنید می‌خواهیم جریان آب در یک لوله را مورد بررسی قرار بدم. اگر فشار مایع در دو سر لوله یکسان باشه و جریان به صورت پایدار و بی‌تلاطم در طول لوله حرکت کنه می‌تونم بگم که جریان اینجا ارام یا لامیناره
یکی از معادلات مهم برای توصیف جریان ارام معادله حفظ جرمه
\[
\frac{\partial \rho}{\partial t} + \nabla \cdot (\rho \mathbf{v}) = 0
\]
در اینجا:
- \(\rho\) چگالی جرمی سیال است.
- \(\mathbf{v}\) بردار سرعت جریان است.
- \(\nabla \cdot\) عملگر دیورژانس است.
اگر در یک لوله می‌توانیم معادله حفظ جرم را برآورده کنم و جریان به صورت پایدار و بی‌تلاطم باشه آنجا جریان ارام یا لامیناره
خب بیایید یک مثال از استفاده از معادلات ناویر-استوکس را بررسی کنیم. فرض کنید یک جریان لامینار سیال با چگالی ثابت \(\rho\) و ویسکوزیته \(\mu\) در یک لوله رویایی به شکل استوانه‌ای با شعاع \(R\) در حال جریان است. اگر فرض کنیم که این جریان بی‌نهایت به طول لوله استوانه‌ایه و نیروهای خارجی نادیده گرفته می‌شن معادلات ناویر-استوکس برای این موقعیت اینطور مینویسم

\[
\rho \left( \frac{\partial \mathbf{v}}{\partial t} + (\mathbf{v} \cdot \nabla) \mathbf{v} \right) = -\nabla P + \mu \nabla^2 \mathbf{v}
\]
این معادلات میتونند به شکل توأم با استفاده از شرایط مرزی مناسب (برای مثال شرط برابر بودن سرعت در مرزهای لوله) حل بشن. به عنوان یک مثال ساده فرض کنید که یک جریان استوانه‌ای با سرعت ثابت \(v\) در سراسر محور لوله حرکت می‌کنه و در مرزهای لوله سرعت صفره در این صورت می‌تونم معادلات ناویر-استوکس را برای این موقعیت خاص حل کنم و سرعت و فشار سیال درون لوله را به دست آورد.
ببینین که معادلات ناویر-استوکس می‌توانند برای توصیف جریان سیال در شرایط مختلفی مانند جریان‌های لامینار و توربولانسی در انواع مختلفی از سیالات مورد استفاده قرار میگیرن
فرض کنید یک جریان آب را در نظر بگیرید که در یک لوله مستطیلی با طول \(L\) و عرض \(W\) جریان دارد. اگر فرض کنیم که این جریان به طور یکنواخت از سمت چپ به سمت راست جریان دارد و در تمام نقاط لوله به یک سرعت ثابت \(v\) حرکت می‌کنه.
معادلات ناویر-استوکس$\rho\left(\frac{\partial \mathbf{v}}{\partial t} + (\mathbf{v} \cdot \nabla) \mathbf{v}\right) = -\nabla P + \mu \nabla^2 \mathbf{v}
\]$
در اینجا:
- \(\rho\) چگالی جرمی سیال است.
- \(\mathbf{v}\) بردار سرعت جریان است.
- \(P\) فشار سیال است.
- \(\mu\) ویسکوزیته سیال است.
- \(\nabla\) عملگر گرادیان است.
- \(\nabla^2\) عملگر لاپلاسین است.
حالا اگر فرض میکنم که جریان از یک لوله با عرض \(W\) و ارتفاع \(H\) عبور می‌کند و جریان به صورت ثابت \(v\) از سمت چپ به سمت راست هستش متونم این معادله را به صورت ساده‌تری بیارمش
\[
\frac{\partial v}{\partial t} = \nu \frac{\partial^2 v}{\partial y^2}
\]
در اینجا:
- \(y\) مختصات عمودی (ارتفاع لوله).
- \(v\) سرعت جریان.
- \(\nu = \frac{\mu}{\rho}\) نسبت ویسکوزیته به چگالی.
این معادله نشون میده که تغییر سرعت جریان نسبت به زمان در نقاط مختلف لوله با نرخی متناسب با دومین مشتق مکانی از سرعت جریانه.
در مورد جریان های توربولانسی هم معمولاً از معادلات ناویر-استوکس برای توصیف آنها استفاده میشه.
\begin{equation}
\rho\left(\frac{\partial \mathbf{v}}{\partial t} + (\mathbf{v} \cdot \nabla) \mathbf{v}\right) = -\nabla P + \mu \nabla^2 \mathbf{v} + \mathbf{f}
\end{equation}
در اینجا:
\item $\rho$ چگالی جرمی سیال (هوا) است.
\item $\mathbf{v}$ بردار سرعت جریان هوا است.
\item $P$ فشار هوا است.
\item $\mu$ ویسکوزیته هوا است.
\item $\nabla$ عملگر گرادیان است.
\item $\nabla^2$ عملگر لاپلاسین است.
\item $\mathbf{f}$ نیروهای خارجی مانند نیروهای گرمایی یا نیروهای اصطکاکی است.
این معادله ناویر-استوکس برای جریان هوای توربولانسیه که در محیط‌هایی با جریانات پیچیده و غیریکنواخت اتفاق می‌افته.
جریان توربولانسی یعنی وقتی جریان سیالی پیچیده و پرتلاطمیه. یعنی نه سرعتش ثابته و نه جهتش. وقتی سیالی مثل هوا یا آب توی محیطی جاری میشه و گره‌های پیچیده‌ای توش پیدا میشن که همون جریان توربولانسیه. این جریان‌ها عموماً تو شرایطی رخ می‌ده که نیروهای مختلفی بر روی سیال موثرن مثلاً هوا بین ساختمونا یا در دریا با جریان‌های پیچیده.
ویژگی‌های جریان توربولانسی این‌ها هستن:
پیچیده کُم‌پلک‌سیتی بودن Complexity: سرعت و جهت جریان تو هر نقطه‌ای از محیط ممکنه فرق کنه و معمولاً تغییرات سریعی داره.
غیریکنواخت بودن هتروژنیتی: جریان توربولانسی دارای گردش‌های پیچیده و غیریکنواخته که می‌تونن تو سه بعد وجود داشته باشن.
ناپیوسته بودن Discontinuity دیس‌کنتینیویتی: تو این جریان‌ها تراکمات و مناطقی با تغییرات شدید تو سرعت و فشار هستن که می‌تونه باعث ایجاد افت فشار یا گرما بشه.
انرژی بالا: جریان توربولانسی انرژی بالا و نرخ تبدیل انرژی بسیار زیادی داره که می‌تونه به عنوان منبعی برای استفاده در فرآیندهای مختلف مورد استفاده قرار بگیره.
بیایید یک مثال از جریان توربولانسی در هوافضا و ایرودینامیک هواپیما بررسی کنیم. وقتی یک هواپیما با سرعت بالا پرواز می‌کنه جریان هوا اطراف بدنه هواپیما به یک جریان توربولانسی تبدیل میشه. این جریان‌های توربولانسی ممکن است از عوامل مختلفی مانند ارتفاع پرواز شکل بدنه هواپیما و شرایط جوی تولید بشن.
یکی از تأثیرات جریان‌های توربولانسی بر روی هواپیما افزایش مقاومت هوایی یا در حالت دیگر افت فشاره. این مسئله می‌تونه منجر به افزایش مصرف سوخت کاهش کارایی و افزایش لرزش و نوسانات هواپیما شود. همچنین این جریان‌ها می‌توانند بر روی کنترل پرواز هواپیما نیز تأثیرگذار باشند و باعث افزایش پیچیدگی در کنترل و مدیریت پرواز شوند.
برای مثال در پروازهای طولانی دور هواپیما ممکنه با شرایط هواویژگی‌های مختلفی مواجه بشه که می‌توانند جریان‌های توربولانسی را ایجاد کنن. این تغییرات ممکنه منجر به نوسانات ناگهانی در هواپیما بشه که نیاز به کنترل واکنش‌های سریع از سوی سیستم‌های خودکار و پایداری هواپیما داره.