دوستان سلام
جواب سؤال شروع کننده این مبحث به طور خلاصه اینه: خیر، به هیچ وجه
چنین موشکی حتی نمیتونه به سرعت نور برسه، چه برسه به اینکه بخواد ازش فراتر بره
پیش از اینکه وارد بحث اصلی بشم میخوام بگم باعث تأسفه که کسی متوجه موضوع
میل به بینهایت نشد و اگرم شد به صراحت نگفت که موشک به این دلیل نمیتونه به سرعت نور برسه. با اینکه ریاضیاتش در دوره دبیرستان به ما آموخته شده بود. وقتی ما میگیم فلان کمیت داره به بینهایت میل میکنه، یعنی مقدارش داره به صورت بیکران افزایش میابه؛ به عبارت دیگه داریم میگیم مقدار اون کمیت میتونه از هر عدد مثبتی که اختیار میکنیم بزرگتر بشه، به شرطی که زمان یا احیاناً کمیت دیگه ای به مقدار خاصی رسیده باشه. به هر حال
میل به بینهایت لزوماً به معنای رسیدن به بینهایت نیست. یعنی ممکنه اگه تا ابد هم صبر کنیم، کمیت مورد نظر ما به بینهایت نرسه. تو این مبحث هم همینطوره. مقدار انرژی ای که به موشک داده میشه ظاهراً داره به طور بیکران افزایش میابه؛ اما هیچگاه بینهایت نمیشه. بنابراین سرعت موشک هم فقط به سرعت نور نزدیک و نزدیکتر میشه اما هیچگاه به سرعت نور نمیرسه؛ چون رسیدن به سرعت نور به انرژی بینهایت نیاز داره. این یعنی حتی اگه موشکی تمام مواد موجود در جهان رو (کره ای فرضاً به شعاع 14 میلیارد سال نوری) به انرژی جنبشی خودش تبدیل کنه، بازم سرعتش به سرعت نور نمیرسه؛ ولو جرم موشک به اندازه جرم یه الکترون باشه
حتی اگه موشک در چارچوب سکون خودش به مدت عمر کیهان (حدود 14 میلیارد سال) در هر ثانیه تمام اون موادو که گفتم به انرژی جنبشی خودش تبدیل کنه بازم پس از این مدت سرعتش کمتر از نوره و ناظر داخل موشک پس از لخت شدن با تعجب خواهد دید نور منبع خارجی (یا داخلی) که از پشت سر بهش نشانه رفته، هنگام عبور از کنار موشک با سرعت c ازش سبقت میگیره!
چون که جرم تمام این مواد و انرژی حاصل از اونا، درسته که بسیار بسیار عظیمه، اما به هر حال محدوده و نامحدود نیست. بنابراین سرعت موشک به سرعت نور نخواهد رسید.
اثبات موضوع از طریق برهان خلف: فرض کنید واقعاً این اتفاق از دید ناظر لخت S که موشک رو به حرکت درآورده، افتاد و سرعت موشک به سرعت نور (c) رسید.
- اولاً از این لحظه به بعد سرعت موشک دیگه بدون تغییر باقی میمونه و حتی اگه انرژی بینهایت هم به موشک داده بشه، بازم سرعت موشک از دید ناظر S از c تجاوز نمیکنه. زیرا با اینکه دادن انرژی بینهایت به جسم، باعث رسیدن جسم به سرعت نور میشه؛ اما فوقش این میشه که ناظری که داره با سرعت c نسبت به S و در کنار موشک [که اونم به این سرعت رسیده (
!)] حرکت میکنه میبینه که موشک دوباره شتاب گرفت و سرعتشو نسبت به ناظر به c رسوند! حالا اگه از فرمول جمع نسبیتی سرعتها هم استفاده کنیم، میبینیم که سرعت جدید موشک از دید ناظر S بازم برابر c خواهد بود. در نتیجه عبور سرعت موشک از سرعت نور امکان پذیر نیست.
- ثانیاً بدیهیه که این موشک باید پس از گذشت مدت زمان متناهی(از دید S) به این سرعت رسیده باشه. از این رو عدد طبیعی n وجود داره که n ثانیه پس از لحظه حرکت موشک، سرعت موشک برابر c شده باشه. اگه ناظر S انرژی ای رو که موشک در هر ثانیه دریافت میکنه، ثبت کنه و اونا رو با هم جمع کنه به معادله زیر دست پیدا میکنه.
E1 + E2 + E3 + ... + En = بینهایت
که مثلاً E2 (E اندیس 2) به معنی انرژی جنبشی دریافت کرده موشک در ثانیه دوم حرکته. از اونجا که جمع تعداد متناهی عدد شده بینهایت، پس حداقل یکی از اونا باید بینهایت باشه. یعنی انرژی ای که جسم در ثانیه nام حرکت دریافت کرده (En) و کار انجام شده روی موشک در این بازه زمانی باید بینهایت باشه. این یعنی لااقل نیروی وارده در لحظات قبل از رسیدن سرعت موشک به نور باید به بینهایت میل کرده باشه. یعنی سرعت تبدیل سوخت به انرژی جنبشی موشک باید به بینهایت میل کنه و هیچ موتوری توانایی انجام چنین تبدیلی نداره. از این گذشته برای رسوندن سرعت موشک به سرعت نور، موتور نیاز به مقدار نامحدودی انرژی داره که این مقدار انرژی حتی در فضای بیرونی موشک هم یافت نمیشه. اگرم یافت بشه، موتور باید توان ورودی و خروجی سوختش نامحدود باشه که مسلماً نشدنیه. زیرا برای این کار لازمه سرعت بخشهای متحرک داخل موتور به بینهایت میل کنه که اصل دوم نسبیت جلوی این کارو میگیره. گذشته از اینا چون نیرویی که موتور به موشک وارد میکنه داره به بینهایت میل میکنه، پس ویژه شتاب موشک هم باید به بینهایت میل کنه. اما میدونیم هیچ جسمی تحمل این شتابو نداره و هر جسمی پس از اینکه در معرض شتابی بیش از یه حد معینی قرار بگیره متلاشی میشه. اگرم قرار باشه موتور موشک از نیروی بینهایت استفاده نکنه، پس برای تأمین انرژی بینهایت، به زمان بینهایت نیاز داره که نتیجش این میشه که
هیچگاه سرعت موشک به سرعت نور نخواهد رسید.موشکی رو در نظر بگیرید که بازده 100 درصد داشته باشه یعنی با محیط بیرون تبادل ماده و انرژی نداشته باشه. انرژی معادل کل موشک مقداریست محدود. یعنی اگه انرژی معادل جرم (سکون) موشک رو به انرژی ذخیره شده اولیه در موشک اضافه کنیم به عددی میرسیم که بیانگر انرژی هم ارز کل موشکه. طبق
قانون پایستگی انرژی از دید یک ناظر لخت مقدار انرژی هم ارز موشک در خلال حرکت و شتابگیری موشک تغییر نمیکنه و همواره ثابت باقی میمونه. حال چطور ممکنه این انرژی محدود بتونه جسمی رو به سرعت نور برسونه؟ فقط ظاهراً یه راه باقی میمونه و اون اینه که موشک به ذرات فوتون تبدیل بشه!
یعنی بدنه خودشم مصرف کنه تا تموم بشه! میتونیم موشکی رو تصور کنیم که ذره ذره جرم خودشو از دست بده و به انرژی جنبشی خودش تبدیل کنه. این موشک خیالی مطابق زمان سنج خودش در یه مدت محدود میتونه کل جرمشو به انرژی تبدیل کنه و به سرعت نور برسه. فارغ از اینکه طراحی چنین موشکی تا چه حد عملی باشه، بعد از انجام این فرآیند دیگه چیزی از موشک باقی نمیمونه جز تعدادی فوتون؛ که این وضعیت مطلوب ما نیست.
- بیایید یک چنین موشکی رو دقیقتر بررسی کنیم. فرض کنیم موشکی به جرم m از دید ناظر S از حالت سکون شتاب بگیره؛ به گونه ای که با روند ثابت P - از دید موشک - جرم خودشو مصرف و به انرژی جنبشی خودش تبدیل کنه و این کارو تا اتمام خودش انجام بده. میخوایم حساب کنیم از دید ناظر S چقدر زمان میبره تا موشک تماماً به انرژی تبدیل بشه.
اگه مدت زمان مصرف کل جرم موشک از دید موشک رو با 'T نشون بدیم، و با توجه به اینکه P عبارته از: توان مصرفی موشک از دید وی، رابطه زیر برقراره:
که در اون E0 برابر انرژی هم ارز موشک از دید S هست و مقدارش از رابطه زیر به دست میاد:
اگه انرژی هم ارز جرم سکون موشک - جرم باقی مونده موشک از دید موشک - رو با 'E نشون بدیم و 't زمان سپری شده توسط زمان سنج موشک از لحظه شتابگیری موشک باشه (صفر این زمان سنج لحظه شتابگیری موشکه)، آنگاه 'E تابع 't خواهد بود و داریم:
انرژی معادل جسمی که از دید یه ناظر لخت دارای جرم m هست (جسم میتونه ثابت یا متحرک باشه) از دید اون ناظر برابره با
. چون تو این مسئله انرژی معادل جرم موشک از دید S همواره ثابت و برابر
هست پس جرم موشک از دید S هم همواره ثابت میمونه و برابره با m. و اما جرم سکون (ویژه جرم) موشک در لحظه ای که زمان سنج موشک عدد 't رو نشون میده عبارته از: جرم موشک (m) تقسیم بر ضریب گامای مربوط به اون لحظه. در نتیجه برای انرژی معادل جرم سکون موشک در لحظه ای که زمان سنج موشک زمان 't رو نشون میده [یعنی همون E'(t')] میشه این روابطم نوشت:
که منظور از v'(t') سرعت موشک از دید ناظر S در لحظه ثبت زمان 't توسط زمان سنج موشکه. حال با مساوی قرار دادن رابطه اخیر با رابطه پیشین به دست میاریم:
اکنون با توجه به تبدیل لورنتس برای زمان و استفاده از روابط قبلی، به روابط زیر میرسیم. با این توضیح که t زمان سپری شده از لحظه شتابگیری موشک از دید S رو نشون میده و 'x معرف جابجایی موشک از دید خودشه. همچنین d نماد دیفرانسیله.
چون موشک نسبت به خودش (دستگاه مختصات متصل به خودش) حرکتی نداره پس 'x همواره عددی ثابته و دیفرانسیلش ('dx) صفره. حال با گرفتن انتگرال از معادله بالا مقدار t بر حسب 't به دست میاد:
معادله بالا نشون میده که وقتی 't به سمت 'T میل میکنه، t به سمت بینهایت میل میکنه و متغیر T یعنی زمان تبدیل شدن کل موشک به انرژی برابره با بینهایت. این یعنی حتی چنین موشکی هم از دید ناظر S هیچگاه سرعتش به سرعت نور نمیرسه؛ دلیلشم واضحه: اتساع زمان موشک! تنها موقعی ناظر S میتونه شاهد مصرف کل جرم موشک باشه که روند تبدیل جرم موشک به انرژی جنبشی (توان مصرفی) از دید موشک به بینهایت میل کنه. بنابراین پر واضحه که موشکی که بخواد سرعتشو از دید یه ناظر لخت به سرعت نور برسونه، باید حتماً بتونه کل جرم خودشو به انرژی تبدیل کنه. تازه علاوه بر این باید توان نامحدود هم داشته باشه.
موفق باشید