چند زمین در خورشید جای می گیرد ؟
- غلامعلی نوری
عضویت : سهشنبه ۱۳۹۱/۴/۲۰ - ۰۸:۵۱
پست: 1200-
سپاس: 885
- جنسیت:
تماس:
چند زمین در خورشید جای می گیرد ؟
درود
هور را گردویی( کره ای ) سر به سر میان تهی در نگر بگیرید بگویید چند گردوی زمین را می توان در آن ریخت تا پر شود ؟
هور را گردویی( کره ای ) سر به سر میان تهی در نگر بگیرید بگویید چند گردوی زمین را می توان در آن ریخت تا پر شود ؟
آخرین ویرایش توسط غلامعلی نوری شنبه ۱۳۹۴/۶/۲۱ - ۱۷:۰۲, ویرایش شده کلا 1 بار
- Archimedes
عضویت : دوشنبه ۱۳۹۲/۵/۱۴ - ۱۰:۴۵
پست: 1233-
سپاس: 824
Re: چند زمین در خورشید جای می گیرد ؟
قطر خورشید ۱۳۹۱۰۰۰ کیلومتر (۸۶۴۵۰۰ مایل) می باشد، تقریبا ۱۰۹ برابر قطر زمین است.
می توانید تعداد ۱۳۰۰۰۰۰ زمین را درون خورشید جای دهید!!
می توانید تعداد ۱۳۰۰۰۰۰ زمین را درون خورشید جای دهید!!
کز دیو و دد ملولم و انسانم آرزوست
- غلامعلی نوری
عضویت : سهشنبه ۱۳۹۱/۴/۲۰ - ۰۸:۵۱
پست: 1200-
سپاس: 885
- جنسیت:
تماس:
Re: چند زمین در خورشید جای می گیرد ؟
Archimedes نوشته شده:قطر خورشید ۱۳۹۱۰۰۰ کیلومتر (۸۶۴۵۰۰ مایل) می باشد، تقریبا ۱۰۹ برابر قطر زمین است.
می توانید تعداد ۱۳۰۰۰۰۰ زمین را درون خورشید جای دهید!!
درود
دوست من اگر پاسخ به این سادگی بود که به خود رنج پرسیدن نمی دادم . بله اگر زمین را بگدازیم پاسخ شما درست است !!
از سوی دیگر هنگامی که زمین به همین پیکره و سختی کنونی باشد پاسخ درست نیست !
هنگامی که می خواهیم گردوی خورشید را از زمین ها پر کنیم میان زمین های ریخته شده در خورشید جاهای تهی بوجود می آید
شما اگر چند تیله را در کاسه ای بریزید همواره شمار تیله های جای گرفته در کاسه از آنچه که گمان می کردید کمتر است
هر چند گنجای ( حجم) هر دو را بدانید !
به تهی جا ( خلاء) ی میان این تیله ها نگاه کنید که دیگر با تیله ها پر نمی شود ! بلکه تهی می ماند
زمین و خورشید را تنها برای نمونه آوردم که یک پندار نادرست را گوشزد کنم
آخرین ویرایش توسط غلامعلی نوری شنبه ۱۳۹۴/۶/۲۱ - ۰۰:۲۵, ویرایش شده کلا 1 بار
Re: چند زمین در خورشید جای می گیرد ؟
-پی یک عدد گنگ و نامتمناهی ست، برای همین حجم دقیق خورشید و زمین به دست نمیآید، فیثاغورثیان که برای ریاضیات قداست خاصی قائل بودند با یافتن نخستین عدد گنگ که نشان از عدم قطعیت ریاضیات داشت ضربه روحی و ایمانی شدیدی خوردند.
“ Two things awe me most, the starry sky above me and the moral law within me“.
Immanuel Kant
Critique of Practical Reason, 1788
Immanuel Kant
Critique of Practical Reason, 1788
- غلامعلی نوری
عضویت : سهشنبه ۱۳۹۱/۴/۲۰ - ۰۸:۵۱
پست: 1200-
سپاس: 885
- جنسیت:
تماس:
Re: چند زمین در خورشید جای می گیرد ؟
آخرین ویرایش توسط غلامعلی نوری یکشنبه ۱۳۹۴/۶/۲۲ - ۱۳:۳۱, ویرایش شده کلا 2 بار
- Archimedes
عضویت : دوشنبه ۱۳۹۲/۵/۱۴ - ۱۰:۴۵
پست: 1233-
سپاس: 824
Re: چند زمین در خورشید جای می گیرد ؟
غلامعلی نوری نوشته شده:Archimedes نوشته شده:قطر خورشید ۱۳۹۱۰۰۰ کیلومتر (۸۶۴۵۰۰ مایل) می باشد، تقریبا ۱۰۹ برابر قطر زمین است.
می توانید تعداد ۱۳۰۰۰۰۰ زمین را درون خورشید جای دهید!!
درود
درود
(ممکن است جواب باشد)
برای راحتی کار گردوی زمین را داخلی مکعبی با اندازه یال برابر با قطر گردوی زمین (برابر با ۱۲۷۰۰ کیلومتر) قرار می دهیم.
حال اگر گردوی خورشید را نیز به همان صورت در مکعبی با اندازه یال برابر قطر خورشید (۱۳۹۱۰۰۰ کیلومتر) قرار دهیم.
با پر کردن مکعب خورشید با بلوک های زمین، چیزی حدود ۱۳۰۰۰۰۰ بلوک زمین درون آن جای می گیرد.
با این حال به این دلیل که تمام فضای مکعب خورشید شامل گردوی خورشید نمی شود، نمی توان این مقدار بلوک را مورد نظر دانست. (کمتر)
حال با توجه به معادله حجم کره:
[tex]V=\frac{4}{3}\times\pi\timesr^3[/tex]
و معادله حجم مکعب:
[tex]V=c^3[/tex]
با یک مثال ساده براحتی می توانید به این موضوع پی ببرید که حجم کره محصور در مکعب نصف حجم کل مکعب است.
حال بنده به این صورت در نظر گرفته ام که:
برای پر کردن بیشترین حجم ممکن کره با بلوک های زمین، ابتدا یک مکعب را بصورتی درون کره محاط کنیم که طول قطر یک وجه مکعب برابر شود با طول قطر کره.
و بعد از هر وجه مکعب محاط شده، از هر ردیف بلوک ها را بصورتی کاهش دهیم که شکلی هرمی را به منظور اشغال بیشترین حجم ممکن باقیمانده پر کند.
حال محاسبات مربوطه: (بی شک اشتباهاتی در محاسبات وجود دارد)
قطر خورشید: ۱۳۹۱۰۰۰ کیلومتر (شعاع ۶۹۵۵۰۰ کیلومتر)
قطر زمین: ۱۲۷۰۰ کیلومتر (شعاع ۶۳۵۰ کیلومتر)
حجم مکعب محصور کننده خورشید:
[tex]V=(1391000)^3=2691419471000000000 km^3[/tex]
حجم کره خورشید:
[tex]V=\frac{4}{3}\pi\times(695500)^3=1408509523160000000 km^3[/tex]
اختلاف حجم کره و مکعب:
[tex]1282909947840000000 km^3[/tex]
حجم کره ی زمین:
[tex]V=\frac{4}{3}\times\pi\times(6350)^3=1071987103330 km^3[/tex]
حجم مکعب محاط در کره ی خورشید:
۱- طول قطر: [tex]a\sqrt{2}=1391000\times1.4\simeq990000[/tex]
در نتیجه طول هر یال مکعب می شود:
[tex]a=990000[/tex]
حال اگر بخواهیم بلوک های زمین (مکعب های محصور کننده کره ی زمین) را در این مکعب قرار دهیم، تعداد این بلوک ها می شود:
طول یال هر بلوک ۱۲۷۰۰ کیلومتر:
[tex]990000\div12700=77[/tex]
حال:
[tex]77\times77\times77=456533[/tex]
ح
تعداد بلوک ها در هر وجه مکعب محاط در کره خورشید:
هر بار از هر ردیف X و Y یک بلوک کم می کنیم، در نتیجه داریم:
(هر هرم را با توجه به ارتفاع ۱۲۷۰۰ کیلومتری هر بلوک می توان به تعداد ۱۵ طبقه ادامه داد)
[tex]76\times76=5776[/tex]
[tex]74\times74=5476[/tex]
[tex]72\times72=5184[/tex]
[tex]70\times70=4900[/tex]
[tex]68\times68=4624[/tex]
[tex]66\times66=4356[/tex]
[tex]64\times64=4096[/tex]
[tex]62\times62=3844[/tex]
[tex]60\times60=3600[/tex]
[tex]58\times58=3364[/tex]
[tex]56\times56=3136[/tex]
[tex]54\times54=2916[/tex]
[tex]52\times52=2704[/tex]
[tex]50\times50=2500[/tex]
[tex]48\times48=2304[/tex]
با جمع بلوک های بالا و ضرب در تعداد وجه های مکعب (۶ وجهی)، به تعداد بلوک های زیر می رسیم:
[tex]58780\times6=352680[/tex]
در مجموع کل بلوک های پر کننده گردوی خورشید بصورت تقریبی می شود: (بی شک این عدد تقریبی باید مقداری از تعداد واقعی کمتر باشد، زیرا همچنان ما تمام گردوی خورشید را نتوانستیم دقیق پر کنیم)
[tex]456533+352680=809213[/tex]
حال اگر حجم این تعداد کره زمین را حساب کنیم:
[tex]810000\times1071987103330=8.6830955\times10^{18}[/tex]
از حجم کل کره ی خورشید کم می کنیم تا فضای خال بصورت تقریبی را بدست آوریم:
[tex]1.40850952316\times10^{18}\m8.6830955\times10^{18}=5.402\times10^{7}[/tex]
(این برای بنده صرفا یک ماجراجویی بود، و به احتمال زیاد محاسبات اشتباه باشد!)
کز دیو و دد ملولم و انسانم آرزوست
- غلامعلی نوری
عضویت : سهشنبه ۱۳۹۱/۴/۲۰ - ۰۸:۵۱
پست: 1200-
سپاس: 885
- جنسیت:
تماس:
Re: چند زمین در خورشید جای می گیرد ؟
Archimedes نوشته شده:غلامعلی نوری نوشته شده:Archimedes نوشته شده:قطر خورشید ۱۳۹۱۰۰۰ کیلومتر (۸۶۴۵۰۰ مایل) می باشد، تقریبا ۱۰۹ برابر قطر زمین است.
می توانید تعداد ۱۳۰۰۰۰۰ زمین را درون خورشید جای دهید!!
درود
درود
(ممکن است جواب باشد)
برای راحتی کار گردوی زمین را داخلی مکعبی با اندازه یال برابر با قطر گردوی زمین (برابر با ۱۲۷۰۰ کیلومتر) قرار می دهیم.
حال اگر گردوی خورشید را نیز به همان صورت در مکعبی با اندازه یال برابر قطر خورشید (۱۳۹۱۰۰۰ کیلومتر) قرار دهیم.
با پر کردن مکعب خورشید با بلوک های زمین، چیزی حدود ۱۳۰۰۰۰۰ بلوک زمین درون آن جای می گیرد.
با این حال به این دلیل که تمام فضای مکعب خورشید شامل گردوی خورشید نمی شود، نمی توان این مقدار بلوک را مورد نظر دانست. (کمتر)
حال با توجه به معادله حجم کره:
[tex]V=\frac{4}{3}\times\pi\timesr^3[/tex]
و معادله حجم مکعب:
[tex]V=c^3[/tex]
با یک مثال ساده براحتی می توانید به این موضوع پی ببرید که حجم کره محصور در مکعب نصف حجم کل مکعب است.
حال بنده به این صورت در نظر گرفته ام که:
برای پر کردن بیشترین حجم ممکن کره با بلوک های زمین، ابتدا یک مکعب را بصورتی درون کره محاط کنیم که طول قطر یک وجه مکعب برابر شود با طول قطر کره.
و بعد از هر وجه مکعب محاط شده، از هر ردیف بلوک ها را بصورتی کاهش دهیم که شکلی هرمی را به منظور اشغال بیشترین حجم ممکن باقیمانده پر کند.
حال محاسبات مربوطه: (بی شک اشتباهاتی در محاسبات وجود دارد)
قطر خورشید: ۱۳۹۱۰۰۰ کیلومتر (شعاع ۶۹۵۵۰۰ کیلومتر)
قطر زمین: ۱۲۷۰۰ کیلومتر (شعاع ۶۳۵۰ کیلومتر)
حجم مکعب محصور کننده خورشید:
[tex]V=(1391000)^3=2691419471000000000 km^3[/tex]
حجم کره خورشید:
[tex]V=\frac{4}{3}\pi\times(695500)^3=1408509523160000000 km^3[/tex]
اختلاف حجم کره و مکعب:
[tex]1282909947840000000 km^3[/tex]
حجم کره ی زمین:
[tex]V=\frac{4}{3}\times\pi\times(6350)^3=1071987103330 km^3[/tex]
حجم مکعب محاط در کره ی خورشید:
۱- طول قطر: [tex]a\sqrt{2}=1391000\times1.4\simeq990000[/tex]
در نتیجه طول هر یال مکعب می شود:
[tex]a=990000[/tex]
حال اگر بخواهیم بلوک های زمین (مکعب های محصور کننده کره ی زمین) را در این مکعب قرار دهیم، تعداد این بلوک ها می شود:
طول یال هر بلوک ۱۲۷۰۰ کیلومتر:
[tex]990000\div12700=77[/tex]
حال:
[tex]77\times77\times77=456533[/tex]
ح
تعداد بلوک ها در هر وجه مکعب محاط در کره خورشید:
هر بار از هر ردیف X و Y یک بلوک کم می کنیم، در نتیجه داریم:
(هر هرم را با توجه به ارتفاع ۱۲۷۰۰ کیلومتری هر بلوک می توان به تعداد ۱۵ طبقه ادامه داد)
[tex]76\times76=5776[/tex]
[tex]74\times74=5476[/tex]
[tex]72\times72=5184[/tex]
[tex]70\times70=4900[/tex]
[tex]68\times68=4624[/tex]
[tex]66\times66=4356[/tex]
[tex]64\times64=4096[/tex]
[tex]62\times62=3844[/tex]
[tex]60\times60=3600[/tex]
[tex]58\times58=3364[/tex]
[tex]56\times56=3136[/tex]
[tex]54\times54=2916[/tex]
[tex]52\times52=2704[/tex]
[tex]50\times50=2500[/tex]
[tex]48\times48=2304[/tex]
با جمع بلوک های بالا و ضرب در تعداد وجه های مکعب (۶ وجهی)، به تعداد بلوک های زیر می رسیم:
[tex]58780\times6=352680[/tex]
در مجموع کل بلوک های پر کننده گردوی خورشید بصورت تقریبی می شود: (بی شک این عدد تقریبی باید مقداری از تعداد واقعی کمتر باشد، زیرا همچنان ما تمام گردوی خورشید را نتوانستیم دقیق پر کنیم)
[tex]456533+352680=809213[/tex]
حال اگر حجم این تعداد کره زمین را حساب کنیم:
[tex]810000\times1071987103330=8.6830955\times10^{18}[/tex]
از حجم کل کره ی خورشید کم می کنیم تا فضای خال بصورت تقریبی را بدست آوریم:
[tex]1.40850952316\times10^{18}\m8.6830955\times10^{18}=5.402\times10^{7}[/tex]
(این برای بنده صرفا یک ماجراجویی بود، و به احتمال زیاد محاسبات اشتباه باشد!)
درود بر مرد پر پشتکار
ولی سر انجام شمار زمینها چند بود !!
- Archimedes
عضویت : دوشنبه ۱۳۹۲/۵/۱۴ - ۱۰:۴۵
پست: 1233-
سپاس: 824
Re: چند زمین در خورشید جای می گیرد ؟
درود
تقریبا 810000 (همان طور که بیان شد)
البته در آرایشی منظم. (حتی اگر قرارگیری گردوها نامنظم باشد، باز در جاهایی که گردوها به هم خیلی نزدیک و متمرکز هستند، در عوض در جاهایی دیگر بی شک از هم دورتر می شوند)
(به نظر باید بیشتر شود)
تقریبا 810000 (همان طور که بیان شد)
البته در آرایشی منظم. (حتی اگر قرارگیری گردوها نامنظم باشد، باز در جاهایی که گردوها به هم خیلی نزدیک و متمرکز هستند، در عوض در جاهایی دیگر بی شک از هم دورتر می شوند)
(به نظر باید بیشتر شود)
آخرین ویرایش توسط Archimedes شنبه ۱۳۹۴/۶/۲۱ - ۲۰:۳۰, ویرایش شده کلا 2 بار
کز دیو و دد ملولم و انسانم آرزوست
- غلامعلی نوری
عضویت : سهشنبه ۱۳۹۱/۴/۲۰ - ۰۸:۵۱
پست: 1200-
سپاس: 885
- جنسیت:
تماس:
Re: چند زمین در خورشید جای می گیرد ؟
Archimedes نوشته شده:درود
810000
البته در آرایشی منظم.
(به نظر باید بیشتر شود)
درود
بله به یکین بیشتر است .
مهر نموده با روش خود دوباره با آرامش و تمرکز بیشتر شماره را بدست آورید تا ببینیم سر انجام چه خواهد بودن
یک سر نخ آسان و راهگشا :
ببینید دو گوی داریم که پیرامون یکی دو برابر دیگری است چند گوی کوچکتر را می توان در گوی بزرگتر جای داد ؟
-
عضویت : دوشنبه ۱۴۰۲/۱۲/۲۱ - ۲۱:۳۱
پست: 1-
- جنسیت:
- rohamavation
نام: roham hesami radرهام حسامی راد
محل اقامت: 100 مایلی شمال لندن جاده آیلستون، لستر، لسترشر. LE2
عضویت : سهشنبه ۱۳۹۹/۸/۲۰ - ۰۸:۳۴
پست: 3289-
سپاس: 5494
- جنسیت:
تماس:
Re: چند زمین در خورشید جای می گیرد ؟
خورشید حدوداً یه توده گازیه که از اصلیترین عناصر هیدروژن و هلیم درست شده. اندازهش هم حدود 1.4 میلیون کیلومتر قطر داره، یعنی بزرگه خیلی. به عبارت دیگه، حدود 1.3 میلیون زمین میتونه توش جا بگیره.
البته باید بگم که وقتی ازجا گرفتن تو خورشید حرف میزنم منظورم یه چیز دیگه از جا گرفتن در مورد چیزای جامد و مایعه. این مقایسه فقط بر اساس ابعاد خورشیده و دقیقاً چند تا زمین توش جا میگیره معمولاً یه مسئله پیچیدهتره و باید ویژگیهای چگالی و ساختار داخلی خورشید رو هم در نظر بگیرم.
البته باید بگم که وقتی ازجا گرفتن تو خورشید حرف میزنم منظورم یه چیز دیگه از جا گرفتن در مورد چیزای جامد و مایعه. این مقایسه فقط بر اساس ابعاد خورشیده و دقیقاً چند تا زمین توش جا میگیره معمولاً یه مسئله پیچیدهتره و باید ویژگیهای چگالی و ساختار داخلی خورشید رو هم در نظر بگیرم.
آخرین ویرایش توسط rohamavation چهارشنبه ۱۴۰۲/۱۲/۲۳ - ۱۸:۳۴, ویرایش شده کلا 2 بار
- rohamavation
نام: roham hesami radرهام حسامی راد
محل اقامت: 100 مایلی شمال لندن جاده آیلستون، لستر، لسترشر. LE2
عضویت : سهشنبه ۱۳۹۹/۸/۲۰ - ۰۸:۳۴
پست: 3289-
سپاس: 5494
- جنسیت:
تماس:
Re: چند زمین در خورشید جای می گیرد ؟
خب دوست عزیز هوپایی برای ارائه یک فرمول دقیق برای تعداد کرههای جامد درون یک کره گازی یه سری اطلاعات میخواهم
۱. چگالی گاز درون کره.
۲. دما و فشار گازه
۳. جرم و شکل کرههای جامد
۴. شتاب گرانش محیطه
۵. ویژگیهای دیگری که ممکنه تو مسئلتون تاثیرگذار باشن و منم نمیدونم
خوب با داشتن این اطلاعات،میشه حدس زد
برای حل این مسئله با استفاده از معادلات دیفرانسیلی میتونم از معادله حالت گاز کامل و معادله حالت برای جسم جامد استفاده کنم. با فرض اینکه گاز در کره به صورت یکنواخت پخش شده میتونم از معادله حالت گاز کامل استفاده کنم
\[ P = \rho_g \cdot R_g \cdot T \]
که \( P \) فشار، \( \rho_g \) چگالی گاز، \( R_g \) ثابت گاز برای گاز مورد نظر، و \( T \) دما هستش.
برای جسم جامد درون کره هم میتونم از معادله وزن برای جسم جامد استفاده کنم
\[ P = \frac{A \cdot m_s \cdot g}{A} \]
که \( m_s \) جرم جامد، \( g \) شتاب گرانشهو \( A \) مساحت سطح تماس با گازه
حالا باید شرایط حاکم بر محیط گاز و جامد و فشار در سطح مرز باید برابر با یکدیگر باشن
\[ \rho_g \cdot R_g \cdot T = \frac{A \cdot m_s \cdot g}{A} \]
این یک معادله دیفرانسیلهکه برای یافتن تعداد کرههای جامد لازمه حل بشه. برای این کار هم باید شعاع کرهی جامد \( R_s \) را به عنوان یک متغیر مستقل در نظر بگیرم و سپس این معادله را با توجه به متغیرهای دیگر حلش کنم
با حل این معادله دیفرانسیل میتتونم تابع تعداد کرههای جامد \( N(R_s) \) را محاسبه کنم که مشخص میکند که برای هر شعاع \( R_s \) چند کره جامد در کره گازی جا میگیره
برای حل این معادله دیفرانسیل من اینطور کار کردم
$\rho_g \cdot R_g \cdot T = \frac{A \cdot m_s}{g}
$
اکنون معادله را بر حسب Rs حلش میکنم. برای این کا هم ابتدا ثابتهای مختلف را تجمیع میکنمشون. فرض میکنم که جرم جسم جامد را Ms و شعاع جسم جامد را Rs
نامگذاری کنم. همچنین فرض میکنم که مساحت سطح تماس جسم جامد با گاز را A و چگالی گاز را ρ g نشاون میده
$R_s^2 = \frac{\rho_g \cdot R_g \cdot T \cdot A}{m_s g} $
حالا معادله دیفرانسیل را حل میکنمش. برای این کار من ابتدا دو طرف معادله را با هم ضرب میکنم تا از متغیر R s بکاهیم
$R_s^2 \cdot \frac{dR_s}{dR_s} = \frac{\rho_g \cdot R_g \cdot T \cdot A}{m_s g} \cdot \frac{dR_s}{dR_s}
$
حال میدونم مشتق مرتبه اولش یکه
$\int R_s^2 \, dR_s = \int \rho_g \cdot R_g \cdot T \cdot A \cdot \frac{m_s}{g} \, dR_s
$
با انجام این محاسباتم تابع تعداد کرههای جامد \( N(R_s) \) بر حسب شعاع کره جامد \( R_s \) به دستمیادبچه های هوپا. این تابع میتونه به صورت یک تابع دوم درجه باشه. با اعمال شرایط اولیه و فرضیات مشخص میتونم مقدار دقیق تابع را حساب کنم براتون
با این تطابق معادله دیفرانسیل زیر بدست میاد
\[
\frac{1}{3} R_s^3 = \frac{\rho_g \cdot R_g \cdot T \cdot A \cdot \frac{m_s}{g}}{3} R_s^3 + C
\]
که \( C \) ثابت انتگراله حالا با توجه به شرایط اولیه میتونم مقدار ثابت \( C \) را به دست بیارم. برای این کار، مقدار \( R_s \) را در یک نقطهٔ مشخص \( R_{s0} \)، مثلاً در سطح مرز بین گاز و جامد، وارد میکنم و مقدار متناظر با آن برای \( R_{s0} \) را به دست میارمش. از این معادله میتوان به شکل زیر برای \( C \) حل کرم
\[
C = \frac{1}{3} R_{s0}^3 - \frac{\rho_g \cdot R_g \cdot T \cdot A \cdot \frac{m_s}{g}}{3} R_{s0}^3
\]
با جایگذاری مقدار \( C \) به دست اومده در معادله تابع تعداد کرههای جامد \( N(R_s) \) بر حسب شعاع کره جامد \( R_s \) محاسبه میشه
\[
N(R_s) = \frac{1}{3} R_s^3 - \frac{\rho_g \cdot R_g \cdot T \cdot A \cdot \frac{m_s}{g}}{3} R_s^3 + \frac{1}{3} R_{s0}^3 - \frac{\rho_g \cdot R_g \cdot T \cdot A \cdot \frac{m_s}{g}}{3} R_{s0}^3
\]
این تابع میتونه به صورت تابع دوم درجه باشه و با داشتن شرایط اولیه مشخص میشه مقادیر دقیق تابع را حساب کرد
۱. چگالی گاز درون کره.
۲. دما و فشار گازه
۳. جرم و شکل کرههای جامد
۴. شتاب گرانش محیطه
۵. ویژگیهای دیگری که ممکنه تو مسئلتون تاثیرگذار باشن و منم نمیدونم
خوب با داشتن این اطلاعات،میشه حدس زد
برای حل این مسئله با استفاده از معادلات دیفرانسیلی میتونم از معادله حالت گاز کامل و معادله حالت برای جسم جامد استفاده کنم. با فرض اینکه گاز در کره به صورت یکنواخت پخش شده میتونم از معادله حالت گاز کامل استفاده کنم
\[ P = \rho_g \cdot R_g \cdot T \]
که \( P \) فشار، \( \rho_g \) چگالی گاز، \( R_g \) ثابت گاز برای گاز مورد نظر، و \( T \) دما هستش.
برای جسم جامد درون کره هم میتونم از معادله وزن برای جسم جامد استفاده کنم
\[ P = \frac{A \cdot m_s \cdot g}{A} \]
که \( m_s \) جرم جامد، \( g \) شتاب گرانشهو \( A \) مساحت سطح تماس با گازه
حالا باید شرایط حاکم بر محیط گاز و جامد و فشار در سطح مرز باید برابر با یکدیگر باشن
\[ \rho_g \cdot R_g \cdot T = \frac{A \cdot m_s \cdot g}{A} \]
این یک معادله دیفرانسیلهکه برای یافتن تعداد کرههای جامد لازمه حل بشه. برای این کار هم باید شعاع کرهی جامد \( R_s \) را به عنوان یک متغیر مستقل در نظر بگیرم و سپس این معادله را با توجه به متغیرهای دیگر حلش کنم
با حل این معادله دیفرانسیل میتتونم تابع تعداد کرههای جامد \( N(R_s) \) را محاسبه کنم که مشخص میکند که برای هر شعاع \( R_s \) چند کره جامد در کره گازی جا میگیره
برای حل این معادله دیفرانسیل من اینطور کار کردم
$\rho_g \cdot R_g \cdot T = \frac{A \cdot m_s}{g}
$
اکنون معادله را بر حسب Rs حلش میکنم. برای این کا هم ابتدا ثابتهای مختلف را تجمیع میکنمشون. فرض میکنم که جرم جسم جامد را Ms و شعاع جسم جامد را Rs
نامگذاری کنم. همچنین فرض میکنم که مساحت سطح تماس جسم جامد با گاز را A و چگالی گاز را ρ g نشاون میده
$R_s^2 = \frac{\rho_g \cdot R_g \cdot T \cdot A}{m_s g} $
حالا معادله دیفرانسیل را حل میکنمش. برای این کار من ابتدا دو طرف معادله را با هم ضرب میکنم تا از متغیر R s بکاهیم
$R_s^2 \cdot \frac{dR_s}{dR_s} = \frac{\rho_g \cdot R_g \cdot T \cdot A}{m_s g} \cdot \frac{dR_s}{dR_s}
$
حال میدونم مشتق مرتبه اولش یکه
$\int R_s^2 \, dR_s = \int \rho_g \cdot R_g \cdot T \cdot A \cdot \frac{m_s}{g} \, dR_s
$
با انجام این محاسباتم تابع تعداد کرههای جامد \( N(R_s) \) بر حسب شعاع کره جامد \( R_s \) به دستمیادبچه های هوپا. این تابع میتونه به صورت یک تابع دوم درجه باشه. با اعمال شرایط اولیه و فرضیات مشخص میتونم مقدار دقیق تابع را حساب کنم براتون
با این تطابق معادله دیفرانسیل زیر بدست میاد
\[
\frac{1}{3} R_s^3 = \frac{\rho_g \cdot R_g \cdot T \cdot A \cdot \frac{m_s}{g}}{3} R_s^3 + C
\]
که \( C \) ثابت انتگراله حالا با توجه به شرایط اولیه میتونم مقدار ثابت \( C \) را به دست بیارم. برای این کار، مقدار \( R_s \) را در یک نقطهٔ مشخص \( R_{s0} \)، مثلاً در سطح مرز بین گاز و جامد، وارد میکنم و مقدار متناظر با آن برای \( R_{s0} \) را به دست میارمش. از این معادله میتوان به شکل زیر برای \( C \) حل کرم
\[
C = \frac{1}{3} R_{s0}^3 - \frac{\rho_g \cdot R_g \cdot T \cdot A \cdot \frac{m_s}{g}}{3} R_{s0}^3
\]
با جایگذاری مقدار \( C \) به دست اومده در معادله تابع تعداد کرههای جامد \( N(R_s) \) بر حسب شعاع کره جامد \( R_s \) محاسبه میشه
\[
N(R_s) = \frac{1}{3} R_s^3 - \frac{\rho_g \cdot R_g \cdot T \cdot A \cdot \frac{m_s}{g}}{3} R_s^3 + \frac{1}{3} R_{s0}^3 - \frac{\rho_g \cdot R_g \cdot T \cdot A \cdot \frac{m_s}{g}}{3} R_{s0}^3
\]
این تابع میتونه به صورت تابع دوم درجه باشه و با داشتن شرایط اولیه مشخص میشه مقادیر دقیق تابع را حساب کرد