جذر اعداد مثبت

[خروش]

x²√ دو جواب داره که مثبت یا صفر هستند (x , x-)، این دو جواب از لحاظ سیمبولیک و شکلی متفاوت ولی از لحاظ عددی مقداری یکسان دارند و جواب هر دو بلاخره میشه رادیکال x بتوان دو
x²√ در عبارات جبری ظاهر میشه و برای اون باید هر دو شکل (x , x-) با فرض های x مثبت و x منفی در نظر گرفته شه.....

يكم : x²√يك تابع (پيگر ، فونكسيون، فانكشن) است و يك تابع نمی تواند پاسخ (جواب) داشته باشد. در پيوند با تابع می توان دامنه تعريف آن را بررسی كرد. پاسخ (جواب) را در پيوند با همچندی (معادله) به ميان می آورند.
دوم اينكه می توان گفت كه رايكال 16 برابر 4 است، در اينجا سخن از برابری دو عبارت، دو ترم است و نه پيدا كردن پاسخ (جواب) برای يك همچندی (معادله) و يا يافتن همه نقطه های كه به ازای آن يك تابع صفر می شود (كه آنگاه تابع را برابر صفر نهاديم و از آن يك همچندی ساختيم).

اگر نكات باريك تر ز مو بالا را نظر داشته باشيم، يك گام به پيش رفته ايم.

[AliHagigat]

خروش نوشته است:
يكم : x²√يك تابع (پيگر ، فونكسيون، فانكشن) است و يك تابع نمی تواند پاسخ (جواب) داشته باشد. در پيوند با تابع می توان دامنه تعريف آن را بررسی كرد. پاسخ (جواب) را در پيوند با همچندی (معادله) به ميان می آورند.

اشتباه!
x²√ یک تابع نیست!
y = √x² یک تابع است. من کجا صحبت از تابع کردم؟ داشتم راجع به عبارت جبری x²√ صحبت می کردم. منظورم از جواب عبارات جبری دیگری است که با آن معادل است که دو تا است: x+ و x- .

[خروش]

خروش نوشته است:
يكم : x²√يك تابع (پيگر ، فونكسيون، فانكشن) است و يك تابع نمی تواند پاسخ (جواب) داشته باشد. در پيوند با تابع می توان دامنه تعريف آن را بررسی كرد. پاسخ (جواب) را در پيوند با همچندی (معادله) به ميان می آورند.

اشتباه!
x²√ یک تابع نیست!
y = √x² یک تابع است. من کجا صحبت از تابع کردم؟ داشتم راجع به عبارت جبری x²√ صحبت می کردم. منظورم از جواب عبارات جبری دیگری است که با آن معادل است که دو تا است: x+ و x- .

اگر بخواهيم دقيق تر بنويسيم عبارت جبری x²√ برابر با يك مقدار |x| است. عبارت جبری x²√ تنها يك برابر دارد و نه دو.
در اينجا سخن از دو حالت (رويگشت،case، Fall) برای x است كه شما به درستی بررسی كرديد.

[AliHagigat]

صحیح تر آنستکه عبارت جبری x²√ دو معادل دارد که عبارتند از : x+ یا x-. قدر مطلق x یا |x| نیز دقیقاً دو تا معادل جبری دارد که از لحاظ عددی نهایتاً یکسان هستند(هر دو x²√ هستند)ولی با ازاء x های متفاوت و مختلف العلامه محقق می شوند.
وقتی x²√ در عبارات جبری و x به عنوان نماد جبری کلی بررسی می شود دو تا جایگزین با دو شرط متفاوت پیدا می کند به طوریکه اگر یکی از شروط درست باشد دیگری غلط است(فرض کنیم x حقیقی و مخالف صفر است). نماد |x| یک طرز نمایش خلاصه از دو وضعیت و شروطی است که بحث کردیم. در نظر گرفتن هر دو x+ و x- در یک عبارت جبری جهت مثلاً ساده سازی کل عبارت الزامی است. در این وضعیت x²√ دو تا معادل جبری یا دو جایگزین جبری متفاوت (با در نظر گرفتن دو شرط متفاوت!) پیدا می کند و وجود شرائط بعلت تحویل رادیکال x بتوان دو به یکی از دو صورت متفاوت x+ یا x- الزامی میشود.
اگر x²√ در یک صورت مسئلهٔ ریاضی با پیش شرط اکید x=a مطرح شود ، به طوریکه a عدد معلوم (مثلاً ۲)باشد، مسلماً مسئله دیگر ارزیابی یک عبارت جبری کلی به ازاء تمام مقادیر x نیست و به یک ارزیابی عددی تبدیل می شود مثل همون ۴√ که قبلاً بحث شد و این جا یک عدد معادل یا جایگزین بدست می آید.
به ازاء هر x و x < 0 ⇒ |x| = -x و به ازاء هر x و x > 0 ⇒ |x| = +x

[sophie]

يعني x²√ نميشه x+ مگه نگفتيم كه ولی وقتی رادیکال عدد رو تعریف می کنیم از ریشه دوم اصلی ( principal square root) که نامنفی هست استفاده می کنیم ؟
من منظورتون رو خوب نفهميدم ممنون ميشم اگه يه كم بيشتر و آسونتر توضيح بديد كه منم بفهمم .

[AliHagigat]

somi نوشته است: يعني x²√ نميشه x+ مگه نگفتيم كه ولی وقتی رادیکال عدد رو تعریف می کنیم از ریشه دوم اصلی ( principal square root) که نامنفی هست استفاده می کنیم ؟

شما خودتون نوشتید رادیکال عدد، آیا x²√ رادیکال یک عدد است یا رادیکال x² است؟ آیا x² یک عدد است یا فراتر از یک عدد و یک نماد یا عبارت جبری است؟
x²√ بیانگر بینهایت عدد است که از طریق مقداردهی x با اعداد مختلف حقیقی حاصل می شود. x²√ یک عدد مشخص و معلوم حقیقی نیست! اختراع x²√ و عبارات مشابه آن بود که موجب توسعهٔ ریاضی شد، همان دانش جبر است که ریاضیات امروز را از زمان ارشمیدس متمایز می کند.
چیزی که من از اول میخواستم بگم همین بود! وقتی شما گفتی ۴√ یک عدد منحصر به فرد معادل آن است. اما آیا به نظر شما معادل x²√ یک عبارت جبری و یا یک عدد منحصر به فرد تنها است؟
آیا x²√ از زمین تا آسمان با ۴√ تفاوت ندارد؟ آیا x²√ همان |x| است؟ آیا |x| تنها مساوی x- است؟
آیا وقتی یک عبارت جبری بیان شده با x با عبارات دیگری معادل می شود لزومی به بیان فرض یا شرط برای x هست؟ آیا وقتی مینویسیم x²√ متغیر x می تواند منفی باشد؟ اگر فقط x²=+x√ است به ازاء هر مقدار x پس 2-=(2-)+=²(2-)√ با شرط x =-2 ، آیا نتیجه گیری از لحاظ عددی درست است؟ آیا عدد ²(2-)√ که مسلماً در سمت راست محور حقیقی است 2- می شود که در سمت چپ محور حقیقی است؟ آیا نتیجه گرفته شده از لحاظ منطقی درست است؟
این ها سؤالاتی است که من از شما دارم.....

[AliHagigat]

در جبر متداول امروز اعداد و نماد های جبری با قوائد مشخص برای عملوندها و عملگر ها با هم ترکیب می شوند و بر اعداد قوانین و اصول موضوع مشخصی حاکم است و بر نماد ها هم همینطور قضایای مشخصی.(مثل اصول موضوع میدان برای اعداد حقیقی)حالا دو قضیه اینجا می نویسیم و فرض می کنیم هر دو درست هستند:
قضیهٔ ۱ : منظور از a²√ اگر a عدد مشخصی باشد تنها عدد مثبت منحصر به فردی مانند b است که اگر بتوان ۲ برسد جوابش یک عدد است که برابر با a² می شود. یعنی b²= a² . در این بحث b با a تفاوت دارد. b همیشه مثبت است اما قضیه آن است که a می تواند مثبت یا منفی باشد. مسئله همین است، در 4√، طبق این قضیه جواب همواره مثبت است و منحصر به فرد هم هست یعنی فقط یکی است و چون عدد ۲+ در این مورد صادق است، ۲+ جواب است.
در مورد ²(2-)√ هم طبق قضیهٔ بالا باید دنبال یک b مثبت باشیم که جوابش ²(2-) بشود و آن باز ۲+ است!
اگر شما بگوئی2 - = 4√، قضیه بالا نقض شد! پس جواب رادیکال ۴ چیست، ۲+ است. ثابت شد!
قضیهٔ ۲:
به ازاء هر x و x < 0 ⇒ √x² = -x اگر و
به ازاء هر x و x > 0 ⇒ √x² = +x اگر
اما هر دو قضیه در حساب مطرح می شوند و درست هستند! جالب این جا است که این دو قضیه با هم تفاوت دارند. اولی راجع به اعداد است ولی دومی در مورد متغیر x مطرح می شود. ریشهٔ تفاوت همین است، در اولی یک عدد خاص مطرح می شود، در دومی معلوم نیست x چه باشد و نتیجه باید به ازاء هر x ممکن بحث شود. موضوع این است که یک عدد خاص مثل ۲- به شدت با x متفاوت است. و چرا باید یکی باشند؟ از ظاهر اونها هم اینطور بر میاد که کاملاً مفاهیم و اشیاء ریاضی متفاوتی هستند و به نظر من واقعیت هم همین است.

[sophie]

شما خودتون نوشتید رادیکال عدد، آیا x²√ رادیکال یک عدد است یا رادیکال x² است؟ آیا x² یک عدد است یا فراتر از یک عدد و یک نماد یا عبارت جبری است؟
x²√ بیانگر بینهایت عدد است که از طریق مقداردهی x با اعداد مختلف حقیقی حاصل می شود. x²√ یک عدد مشخص و معلوم حقیقی نیست! اختراع x²√ و عبارات مشابه آن بود که موجب توسعهٔ ریاضی شد، همان دانش جبر است که ریاضیات امروز را از زمان ارشمیدس متمایز می کند.
چیزی که من از اول میخواستم بگم همین بود! وقتی شما گفتی ۴√ یک عدد منحصر به فرد معادل آن است. اما آیا به نظر شما معادل x²√ یک عبارت جبری و یا یک عدد منحصر به فرد تنها است؟
آیا x²√ از زمین تا آسمان با ۴√ تفاوت ندارد؟ آیا x²√ همان |x| است؟ آیا |x| تنها مساوی x- است؟
آیا وقتی یک عبارت جبری بیان شده با x با عبارات دیگری معادل می شود لزومی به بیان فرض یا شرط برای x هست؟ آیا وقتی مینویسیم x²√ متغیر x می تواند منفی باشد؟ اگر فقط x²=+x√ است به ازاء هر مقدار x پس 2-=(2-)+=²(2-)√ با شرط x =-2 ، آیا نتیجه گیری از لحاظ عددی درست است؟ آیا عدد ²(2-)√ که مسلماً در سمت راست محور حقیقی است 2- می شود که در سمت چپ محور حقیقی است؟ آیا نتیجه گرفته شده از لحاظ منطقی درست است؟
این ها سؤالاتی است که من از شما دارم.....

تسليم !!! من به اشتباهم پي بردم حالا با اين حال لازمه همه اين سؤالارو جواب بدم ؟

[sophie]

قضیهٔ ۱ : منظور از a²√ اگر a عدد مشخصی باشد تنها عدد مثبت منحصر به فردی مانند b است که اگر بتوان ۲ برسد جوابش یک عدد است که برابر با a² می شود

چرا b بايد مثبت باشه ؟ ببخشيد كه اين همه سؤال مي پرسم . دوست دارم اين مطلبو درست بفهمم . خيلي لطف مي كنيد اگه دوباره جواب بديد

[sophie]

قضیهٔ ۱ : منظور از a²√ اگر a عدد مشخصی باشد تنها عدد مثبت منحصر به فردی مانند b است که اگر بتوان ۲ برسد جوابش یک عدد است که برابر با a² می شود

چرا b بايد مثبت باشه ؟ ببخشيد كه اين همه سؤال مي پرسم . دوست دارم اين مطلبو درست بفهمم . خيلي لطف مي كنيد اگه دوباره جواب بديد

[AliHagigat]

شما قبول دارین اگر قضیهٔ ۱ درست باشد b مثبت بوده و a²√ با b مثبت تعیین می شود؟ (فرض کنید a مخالف صفر است)
ببخشید اگر من زیاد توضیح دادم، به نظرم سؤال مفهومی خوبی میاد. جواب به سؤال ها به نفع شما است هر چند که نوشتنش اینجا الزامی نداره.

[AliHagigat]

شما نوشتید چرا b باید مثبت باشه، اگر b بتونه منفی هم باشه پس a²√ دو عدد متمایز میشه، چون قطعاً b منفی با b مثبت برابر نیست. همانطور که قبلاً هم نوشتم عملگر رادیکال روی یک عدد، تنها یک عدد منحصر به فرد معادل که گنگ یا گویا است ایجاد میکنه. این به تعریف رادیکال بر می گرده و قابل اثباته. هر رادیکال یک عدد منحصر به فرد حقیقی است، یعنی رادیکال یک عدد نتیجه اش دو تا نمیشه و جزء R است.
اما چرا b فقط منفی نباشه؟ (که اگر باشه دیگه مثبت نمیتونه باشه!)
در معرفی عملگر رادیکال در حساب اصول موضوع و قضایائی مطرح میشه که هر دو حکمی که ما مطرح کردیم رو بحث میکنه، یعنی اینکه نتیجهٔ رادیکال منحصر به فرده و فقط هم مثبته. شما دنبال اصول موضوع و قضایای مرتبط با اعداد گنگ و گویا باش که مجموعهٔ اعداد حقیقی رو تشکیل میدن....فقط حدس میزنم، مثبت بودن اصل است ولی یکتائی باید قضیه باشد.

[sophie]

ببخشید اگر من زیاد توضیح دادم، به نظرم سؤال مفهومی خوبی میاد. جواب به سؤال ها به نفع شما است هر چند که نوشتنش اینجا الزامی نداره.

توضيحات شما به من خيلي كمك مي كنه ازتون ممنونم

[sophie]

شما نوشتید چرا b باید مثبت باشه، اگر b بتونه منفی هم باشه پس a²√ دو عدد متمایز میشه، چون قطعاً b منفی با b مثبت برابر نیست. همانطور که قبلاً هم نوشتم عملگر رادیکال روی یک عدد، تنها یک عدد منحصر به فرد معادل که گنگ یا گویا است ایجاد میکنه. این به تعریف رادیکال بر می گرده و قابل اثباته. هر رادیکال یک عدد منحصر به فرد حقیقی است، یعنی رادیکال یک عدد نتیجه اش دو تا نمیشه و جزء R است.
اما چرا b فقط منفی نباشه؟ (که اگر باشه دیگه مثبت نمیتونه باشه!)
در معرفی عملگر رادیکال در حساب اصول موضوع و قضایائی مطرح میشه که هر دو حکمی که ما مطرح کردیم رو بحث میکنه، یعنی اینکه نتیجهٔ رادیکال منحصر به فرده و فقط هم مثبته. شما دنبال اصول موضوع و قضایای مرتبط با اعداد گنگ و گویا باش که مجموعهٔ اعداد حقیقی رو تشکیل میدن....فقط حدس میزنم، مثبت بودن اصل است ولی یکتائی باید قضیه باشد.

بازم ممنون از جوابتون . از همين امروز ميرم سراغ اصول موضوع و قضایای مرتبط با اعداد گنگ و گویا