استفاده از ماشين حساب ممنوع است كه البته تا اينجاي كار برايم
غير معقول نبود زيرا در زندگي روزمره نيز بسيار پيش مي آيد كه ماشين
حساب در دسترس نباشد اما جالب آنجاست كه داوطلبان آن آزمونها براي
برخي پرسشها نياز به محاسب يك جذر حتي تا دو رقم اعشار پيدا ميكنند
و برخي دانشجويان روي به حفظ كردن مقادير مي آورند كه چنين كارهايي
نه تنها امتحان را از حالت استاندارد خارج مي كند بلكه هيچگونه كمكي به
يادگيري رياضيات نيز نخواهد بود .
در اين تاپيك به پيشينه روشهاي محاسبه جذر (يا توانهاي گويا) خواهيم
پرداخت . هر كدام از دانش آموزان يا دانش جويان ميتوانند يك يا چند روش
را به سليقه خود انتخاب و براي هميشه در ذهن نگاه دارند چراكه هر كس
(فارغ از كنكور و امتحانهايي مشابه آن ) بايد قادر باشد چنين محاسبه هايي
را بدون اتكا به ماشين حساب نيز انجام دهد .
=============================================
قسمت اول
روش هايي كه براي تقريب يا محاسبه جذرها بكار مي روند، امروزه به نام "روشهاي تكراري"
شناخته ميشوند اما مفهوم "تكرار" در رياضي با آنچه كه در اصطلاح روزمره با آن مواجهيم ،
تفاوت دارد. خوشبختانه سايه كنكور از اين تاپيك كوتاه است و ما مجال كافي داريم تا زماني
را صرف چنين بحثهايي كنيم.
يك داستان مجعول (و شايد كمي سورئال) روايت مي كند كه روزي چرچيل و هيتلر و موسوليني
بر سر شكار ماهي درون استخر ، با هم شرط بندي مي كنند . هيتلر سعي مي كند كه از قلاب
ماهيگيري استفاده كند اما تلاش بي فايده بود و ماهي به تله نمي افتد. سرانجام مايوس شده و
موسوليني مي رود تا بخت خود را بيازمايد .او درون استخر مي پرد و سعي مي كند تا شايد بتواند
ماهي را با دست بگيرد اما ماهي چابك تر از آن هيكل است و به آساني از شيرجه هاي او مي گريزد.
را درون باغچه مي ريزد. سپس با آسودگي ليوانش را دوباره داخل استخر كرده و همان كار را ادامه
مي دهد و مي گويد "آقايان! ماهي چاره اي ندارد و دير يا زود خودش به داخل ليوان من خواهد آمد..."
هر سه اين افراد ، كار خود را "تكرار" مي كردند (هيتلر مرتبا قلاب خود را به نقطه ديگري از استخر
پرتاب مي كرد . موسوليني مرتبا شيرجه خود را تكرار مي كرد و به گوشه اي ديگر مي پريد و چرچيل
نيز مرتبا با ليوانش از آب استخر مي كاست ). روش هيتلر نماينده روشي است كه با گذشت زمان ،
احتمال موفقيت در آن زياد ميشود اما تضميني در كار نيست. روش موسوليني كاملا تصادفي است
و نه تنها تضميني براي رسيدن به پاسخ ندارد بلكه با گذشت زمان نيز احتمال پيروزي را افزايش
نمي دهد. در نهايت اما روش چرچيل داراي چند خاصيت است :
- در هر گام ، احتمال رسيدن به پاسخ افزايش مي يابد زيرا فضاي نمونه در حال كاهش اشت.
-مطمئنا (دير يا زود) به پيروزي خواهد انجاميد.
پس معلوم ميشود كه روش تكراري چرچيل با روش تكراري آن دو نفر تفاوت دارد زيرا در هر گام، گام
پيشين را اصلاح كرده و قدري به پاسخ نزديكتر ميشود و هدف از تعريف اين داستان غيرتاريخي نيز آن
بود كه بگويم در رياضيات نيز با همين نوع از تكرار سر و كار داريم.تكراري كه گامهاي قبلي خود را اصلاح
مي كند و نه تكراري كه از آزمون و خطا برخيزد.
نماد جذر نسبت به مفهوم آن ، قدمت چنداني ندارد . كريستف رودلف (Christoff Rudolff ) در قرن
پانزدهم براي نخستين بار از نماد راديكال براي نمايش دادن ريشه اعداد استفاده كرد ( راديكال از Radix
و به معناي ريشه است) اما تحقيقات باستانشناسي با پرده برداري از معماي خط ميخي نشان داد كه
بابليان نيز با اين مفاهيم آشنا و قادر به محاسبه جذرها بوده اند . آنان حدود 4000 سال پيش با شكست
دادن سومريان در سرزمين بين النهرين ساكن شده و پايتخت خود را بابل قرار دادند (گفتني است كه
امپراتوري بابل نيز بعدها توسط امپراتوري ايران و به دست كوروش هخامنشي از ميان رفت)
بابليان نوشته هاي خود را به خط ميخي و روي خشت هاي رسي كنده و در آفتاب خشك مي كردند.
را به 60 دقيقه و دقيقه را به 60 ثانيه تقسيم كرده بودند كه اين تقسيم بندي امروزه نيز همچنان با قدرت
پابرجاست.دراينباره مي توانيد بخوانيد:
http://www.ghiasabadi.com/zamansanji.html
مثلا 2ساعت و 3 دقيقه و 4 ثانيه را در سيستم شصتگاني به اينصورت ميتوان نوشت:
از ميان آن لوح هاي گلي ، امروزه تعداد زيادي باقي نمانده و اكثرا نابود شده اند اما از ميان بازماندگان ،
4 لوح مشهور هستند كه مربوط به 1600 تا 1900 سال پيش از ميلاد بوده و تقريب خوبي از دانش آن دوره
به دست مي دهند .يكي از آن چها لوح ( كه yale tablet نام دارد ) ، مربوط به محاسبه جذر است.
سه لوح ديگر عبارتند از:
Susa tablet كه در ايران و در شوش (در 350 كيلومتري بابل باستان) يافته شده و نام همان محل را بر آن گذاشته اند.
Plimpton tablet و Tell Dhibayi talet
در تصوير زير ، فرم شماتيك لوح Yale نمايش داده شده كه با توجه به جدول اعداد بابلي ، ميتوان علائم
روي آن را معنا كرد:
[42,25,35] نوشته شده . باستانشناسان بر اين باورند كه اين لوح متعلق به يك تمرين آموزشي
بوده باشد .
اين اعدا در سيستم شصتگاني نگاشته شده اند و اگر عدد اول در عدد دوم ضرب شود ، عدد سوم
حاصل خواهد شد:
معلوم ميشود كه بابليان قرنها قبل از به دنيا آمدن فيثاغورث از رابطه نسبت قطر به ضلع مربع (كه همان
راديكل 2 است) آگاه بوده اند . بابليان از يك روش تكراري براي محاسبه جذرها استفاده مي كردند . آنها
ابتدا ريشه دوم عدد دلخواه a را با عددي كمتر از آن (همانند x1 ت) قريب ميزدند:
سپس a را بر x1 تقسيم مي كردند كه با اين كار ، مسلما عددي بزرگتر از راديكال a حاصل مي شود:
پس راديكال a از x1 بزرگتر و از a/x1 كوچكتر است , ميتوان x2 را برابر ميانگين دو مقدار قرار داد و روند را
ادامه داد:
مثلا براي محاسبه جذر 2 با اين الگوريتم تكراري خواهيم داشت:
و ملاحظه مي شود كه با سه تكرار ، جذر 2 تا پنج رقم اعشار به درستي به دست آمد و چنانچه اين روند
را ادامه دهيم ، دقت محاسبه مرتبا بالاتر خواهد رفت . به همين طريق ميتوان تمام جذرها را با يك عدد گويا
تقريب زد. اين روش را بعدها هرون اسكندراني (دانشمند يونان باستان) نيز در كتاب خود (Metrica ) بكار گرفت
و امروزه نيز به همين شكل (اما با بهره از مفهوم مشتق) مورد استفاده است اما اگر تقدم تاريخي را ملاك قرار
دهيم ، جا دارد كه قبل از آن به چند روش ساده و كارآمد ديگر نيز اشاره كنيم ....
ادامه دارد
