زندگی بزرگان ریاضی

[Roamer]

زندگی نامه ی بزرگان ریاضی و نیز شجره ی دانشمندان ریاضی به سادگی قابل جست و جوست ; در این جستار به معرفی برخی از بزرگان که شاید به گوشمان ناآشنا باشند و در پس پرده بنیان گذار جهانی از جنس ریاضی اند; می پردازیم و در نظر داریم که به طور یکجا و در کنار هم آوردن این زندگی نامه ها خود ارزش به سزایی دارد .
..................................................................................
http://genealogy.math.ndsu.nodak.edu/
زگهواره تا گور ...

[Roamer]

زندگی اواریست گالوا

اواريست گالوا (Evariste Galois) در 25 اکتبر سال 1811 در بورگلاراين (Bourg la Reine) در نزديکي شهر پاريس فرانسه متولّد شد. پدرش نيکلاس گابريل (Nicolas Gabriel) جمهوريخواه و رئيس حزب ليبرال دهکده‌شان بود که بعد از مراجعت لوئي هيجدهم به تخت، در سال 1814 شهردار شد. مادر گالوا، آدلايد ماري(Adelaide Marie) دختر يک مشاور حقوقي بود و متون لاتين را با فصاحت مي‌خواند و طرفدار تعليم و تربيت مذهبي و سنتي بود.

در 12 سال اوّل زندگي، گالوا توسط مادرش تعليم ديد و او زمينه‌ي خوبي از آموزش کلاسيک را به وي منتقل نمود. دوران کودکي گالوا، ظاهراً دوران خوشي بوده است[1]. در 10 سالگي از کالج راين به وي پذيرش داده شد ولي مادرش ترجيح داد که وي را در خانه نگهدارد. در اکتبر سال 1823 وارد "لوسيه لوئي لو گران" گرديد. در ترم اوّل، دانشجويان اعتصاب نموده و از خواندن سرود در مراسم امتناع کردند و 100 نفر از آنان اخراج گرديدند[1].

گالوا در دو سال اوّل مدرسه خوب ظاهر شد و اولين جايزه را نيز تصاحب کرد اما بعداًً کم‌حوصلگي شروع شد و مجبور شد که کلاس‌هاي سال آخر را تکرار نمايد و اين امر ملال خاطر وي را بدتر کرد. در همين دوره بود که گالوا به رياضيات علاقه‌مند شد. او به نسخه‌اي از نوشته لژاندر به نام "اصول هندسه" برخورد کرد که محتواي پر ارزش آن، اصول اقليدسي هندسه متداول در مدرسه را نقض مي‌کرد. گفته مي‌شود که وي اين نوشته را شبيه به يک داستان خواند و در يک مرتبه خواندن بر آن مسلّط گرديد[2]. کتاب‌هاي درس جبر دبيرستان قادر بر برابري با شاهکار لژاندر نبودند لذا گالوا به مقالات علمي لژاندر و آبل روي آورد. در 15 سالگي مطالبي را مطالعه مي‌کرد که براي رياضي‌دانان حرفه‌اي نوشته شده بود. اين کار باعث عدم اشتياق به مطالب کلاسي گرديد و به نظر مي‌رسد که رغبت‌هايش به فراگيري مطالب کلاسي از بين رفته باشد. معلّمانش او را درک نمي‌کردند و با تکبّر و تبحّر وي را طرد مي‌نمودند.

همان‌گونه که از بعضي از نسخه‌هاي خطّي او، [3]، ديده مي‌شود، گالوا در کارهايش نامرتّب بود و مايل بود که کارهايش را در مغز خود انجام دهد و تنها نتايج عمليّات ذهني خود را روي کاغذ منتقل مي‌کرد. معلمّش ورنيه(Vernier) از او مي‌خواست که به طور منظّم کار کند اما گالوا توصيه‌هاي او را به دست فراموشي مي‌سپرد. او بدون آمادگي کافي، در امتحانات ورودي مدرسه پلي‌تکنيک(Ecole Polytechnique) شرکت کرد. گذشتن از اين امتحان احتمالاً موفقيّت او را تضمين مي‌کرد زيرا پلي‌تکنيک مکان مناسبي براي رشد رياضيات فرانسه بود اما او موفّق نشد. دو دهه بعد تراکوم(Terquem) سردبير Nouvelles Annales des Mathematiques اين شرح را نوشت:
داوطلبي با نبوغ عالي توسط ممتحني با استعداد کم رد مي‌شود. زيرا آنها مرا درک نمي‌کنند. من آدم عجيبي نيستم ...

در سال 1828 گالوا وارد دانشسراي عالي شد که سايه کم رنگي از پلي‌تکنيک بود و در يک کلاس پيشرفته رياضيات توسط ريشارد(Richard) شرکت نمود. ايشان نسبت به گالوا نظر کاملاً موافقي داشتند. ريشارد داراي اين عقيده بود که گالوا بايستي بدون امتحان در پلي‌تکنيک پذيرفته شود[2]. سال بعد، اولين مقاله گالوا را که نشاني از نبوغ او نداشت درباره کسرهاي مسلسل مشاهده کرد[4]. در همين حال گالوا در نظريه معادلات چند جمله‌اي‌ها به کشفّيات اساسي دست‌يافت و برخي از نتايج آن را نيز به آکادمي علوم ارائه نمود. داور کشي(Cauchy) بود که قبلاً در مورد رفتار توابع تحت جايگشت متغيّرها که موضوع مرکزي نظريه گالوا بود، کارش را به چاپ رسانده بود. کشي مقاله را رد کرد و مقاله ديگري نيز که هشت روز بعد ارائه شد به همين حال دچار شد. نسخه‌هاي خطّي گم شد و ديگر پيدا نشدند[1].

در همان حال دو حادثه ناگوار رخ داد. در دوم جولاي 1829 پدر گالوا بعد از يک اختلاف سياسي با کشيش دهکده، اقدام به خودکشي کرد. چند روز بعد گالوا مجدداً براي آخرين فرصت در امتحان ورودي پلي‌تکنيک شرکت کرد. در [2] و [5] شرحي درباره اينکه او کنترل خود را از دست داده و مداد پاک کني را به صورت ممتحن خود پرتاب نموده است آمده است. اما مطابق نظر برتراند(Bertrand) [6] اين کار صحّت نداشت. ممتحن دينه(Dinet) از گالوا خواست که خلاصه لگاريتم حسابي را بنويسد و گالوا اظهار داشت که لگاريتم حسابي وجود ندارد. دينه او را مردود کرد.

در فوريه سال 1830، جهت رقابت در بزرگ‌ترين جايزه رياضي، گالوا تحقيقات خود را به آکادمي علوم ارائه نمود. قبلاً کارش به عنوان کاري بالاتر از ارزش جايزه، داوري شده بود[2]. نسخه‌هاي خطّي به دبير کميته يعني فوريه(Fourier) داده شد و او آنها را جهت بررسي بيشتر به منزلش برد امّا قبل از خواندن آنها فوت کرد و نسخه‌هاي خطّي، در ميان کاغذهايش پيدا نشد. مطابق نوشته‌هاي دوپوئي(Dupuy) [5] گالوا متوجّه شد که گم شدن مکرّر نوشته‌هايش بر اثر تصادف محض نبوده است. او اين امر را ناشي از عملکرد جامعه‌اي دانست که در آن افراد نابغه به لحاظ حمايت از افراد معمولي محکوم به طرد و افکار ابدي‌اند و در اين رابطه وي رژيم ستم پيشه بوربون را مورد نکوهش و انتقاد قرار داد.

در سال 1824، چارلز دهم، جانشين لوئي هيجدهم شد. در سال 1827 حزب مخالف ليبرال در انتخابات به موفقيّت‌هايي دست يافت و در سال 1830 انتخابات زيادي انجام گرفت که اکثريت را به گروه‌هاي مخالف داد. چارلز با تعويض قدرت مواجه شد و در اين حال دست به کودتا زد. در 25 جولاي فرمان رسوا کننده خود عليه آزادي مطبوعات را صادر کرد. مردم در حالي نبودند که اين تشبثات را بپذيرند و سر به شورش برداشتند و اين شورش سه روز به طول انجاميد که در نتيجه‌ي آن فيليپ، دوک اورلئان به پادشاهي رسيد. در طول اين سه روز، در حالي که دانشجويان پلي‌تکنيک تاريخ را در خيابان‌ها مي‌ساختند، گالوا و دانشجويان همکلاس‌اش توسط گين يو(Guignault) رئيس دانشسرا زنداني شده بودند. گالوا خشمگين شد و بلافاصله نامه‌ي تندي عليه وي در مجلّه Gazette des Ecoles همراه با نام کامل خود نوشت[5]. سر دبير امضاي وي را حذف نمود و گالوا به لحاظ نوشتن نامه‌ي بي‌امضا اخراج گرديد[7]. بحث مفصل و جالبي در مورد چگونگي آن در نوشته دوپوي [5] موجود است.

در 13 ژانويه 1831، گالوا با داير کردن دوره‌اي در جبر پيشرفته، به عنوان يک معلّم خصوصي کار خود را شروع کرد و با موفقيّت کمي روبرو شد. در هفدهم ژانويه مقاله ديگري تحت عنوان "شرايط حل‌پذيري معادلات به وسيله راديکال‌ها" به آکادمي فرستاد. کشي اين بار ديگر در پاريس نبود و پواسون(Poisson) و لاکروآ(Lacroix) به عنوان داور تعيين شده بودند. بعد از دو ماه گالوا جوابي از آنها دريافت نکرد و او طي نامه‌اي به رياست آکادمي، علّت را جويا شد اما از او نيز جوابي نرسيد.

گالوا به توپخانه گارد ملّي که تشکيلاتي جمهوريخواه بود پيوست. بعد از مدّت کوتاهي افسران آن به دليل دسيسه چيني دستگير شدند اما توسط هيئت منصفه تبرئه گرديدند. توپخانه به دستور شاه منحل گرديد. در نهم ماه مه ضيافتي به اعتراض برپا شد که به اقدامات شورشي بيشتري منجر گرديد. گالوا در حالي که چاقوي بازي در دست داشت، جامي به سلامتي لوئي فيليپ بلند کرد. دوستان او اين کار را تهديدي عليه جان شاه تلقّي کرده، به شدّت ابراز احساسات کردند به طوري که رقص‌کنان به خيابان ريختند. روز بعد گالوا دستگير شد و در محاکمه به همه چيز اعتراف کرد اما مدعي گرديد که سر سلامتي در واقع براي شاه بود "چنانکه او خائن از آب دربيايد"، در اين موقع سروصداي زياد، مانع شنيدن آخرين عبارت شده است. هيئت منصفه او را تبرئه کرد و در روز پانزدهم ژوئن آزاد شد.

در چهارم جولاي از سرنوشت مقاله اش مطّلع شد. پواسون آن را غير قابل درک بيان نموده بود. گزارش مقاله به طور کامل در [8] آمده است که به صورت زير پايان مي يابد:
"ما تمام تلاش خود را جهت درک اثبات گالوا به کار برديم. اثبات او به قدر کافي روشن و توسعه‌يافته براي ما نيست تا نسبت به روش آن داوري کنيم و هيچ عقيده‌اي درباره آن در اين گزارش نمي‌توانيم بدهيم. مولّف بيان مي کند گزاره‌اي که موضوع ويژه‌اي از اين مقاله است، قسمتي از يک نظريه عمومي است که مستعد کاربردهاي زيادي است. شايد آن بيان‌کننده اين مطلب باشد که قسمت‌هاي مختلف يک نظريه که دو به دو روشن‌گر يکديگرند، در حالت جمع راحت‌تر از حالت مجزّا قابل درک مي‌باشند. بنابراين پيشنهاد مي‌کنيم که مؤلّف بايستي تمامي کارهايش را جهت بيان يک نظر معيّن و مشخّص بنويسد. اما نسبت به اين قسمتي که در حال حاضر به آکادمي ارائه شده است، نمي‌توانيم آن را تأييد نماييم."

در چهاردهم جولاي گالوا در حالي که لباس توپخانه منحل شده را پوشيده، چاقو و تفنگي نيز حمل مي‌کرد در رأس تظاهرات جمهوريخواهي ظاهر شد. او در محلّ پون‌نوف به اتّهام پوشيدن غيرقانوني يونيفورم دستگير شد[2] و به شش ماه حبس در زندان سنت‌پلاژي محکوم گرديد. اما مدّت کوتاهي در رياضيات خودش کار کرد سپس در شايعه بيماري وباي سال 1832 به يک بيمارستان منتقل گرديد و به زودي با قيد التزام آزاد گرديد.

همراه با آزاديش، او اوّلين و تنها عشقش را با يک خانم به نام "استفاني د (Stephanie D)" تجربه نمود. نام خانوادگي او نامعلوم است و در نسخه‌هاي خطّي از گالوا که اسمش پاک شده، نوشته شده است. در اين ميان پرده، اسرار زيادي نهفته است که داراي تأثير قاطعي در رويدادهاي بعدي است. بقاياي نامه‌ها[3] نشانگر آن است که گالوا از جانب دختر، طرد شده و او وي را در حالت بدي رها نموده است. در فاصله‌اي نه چندان دور، گالوا ظاهراً به خاطر رابطه‌اش با دختر مزبور، به دوئل خوانده شد. اين بار نيز کم و کيف ماجرا در اسرار پنهان مي‌شود. طرز فکر ديگري[1] و [2] حاکي است دختر مزبور به عنوان وسيله‌اي جهت حذف يک مخالف سياسي در يک اقدام ساختگي ظاهراً شرافتمندانه به کار گرفته شد. در تقويت اين مطلب، الکساندر دوما(Alexadre Duma) در کتاب خاطراتش روشن مي‌سازد که يکي از طرف‌هاي متخاصم پشو دربنويل(Pecheux D'Herbinville) بود اما دالماس(Dalmas) ]7[ شواهدي از گزارش پليسي را مي‌آورد که در آن گزارش شده است که مبارز ديگر جمهوريخواهي، ظاهراً از دوستان انقلابي گالوا بود و دوئل دقيقاً هماني بود که اتّفاق افتاده بود.
و اين نظر از کلمات خود گالوا، درباره موضوع مزبور استنباط مي‌شود[3]:
"من از ميهن‌پرستان و دوستان خود تقاضا مي‌کنم که مرا به خاطر مرگي غير از شهادت در راه ميهنم ملامت نکنند. من قرباني زني عشوه‌گر مي‌شوم. در غوغايي تأسّف‌برانگيز، زندگي من نابود مي‌شود ... براي آنهايي که مرا کشتند، طلب آمرزش مي‌کنم چرا که آنها از ايمان و عقيده خوبي برخوردار بودند."

در همان روز، بيست‌و‌نهم ماه مه، در شب دوئل، او نامه‌ي معروف خود را به دوستش آگوسته شواليه(Aguste Chevalier) نوشت و کشفيّات خود را در اين نامه خلاصه کرد که بعدها توسّط شواليه در "روو انسيکوپديکي(Revue Encyclopedique)" به چاپ رسيد. در اين نامه، او ارتباط بين گروه‌ها و معادلات چندجمله‌اي ها را مطرح کرده و بيان مي‌کند که معادله‌اي به وسيله راديکال‌ها قابل حل است که گروه آن حل‌پذير باشد. او هم چنين ايده‌هاي زياد ديگري در مورد توابع بيضوي و انتگرال‌گيري از توابع جبري و خيلي چيزهاي ديگر را مطرح کرد که به لحاظ پيچيدگي و رمزي بودن، استنباطشان بسيار مشکل است. اين نوشته از بسياري جهات، سند تأثّرانگيزي که با خطّ بد و درهم‌‌وبرهم در حاشيه‌ي آن نوشته‌شده‌است:
"من وقت ندارم."

دوئل با طپانچه در فاصله 25 متري بود. گالوا از طرف شکم گلوله خورد و بر اثر تورّم، روز بعد در سي‌ويکم ماه مه درگذشت. او از انجام مراسم مذهبي توسّط کشيش امتناع ورزيد و در دوم ژوئن 1832 در محلّ عمومي در گورستان مونـت‌پارنـاس(Mont parnasse) دفن گرديد.

نامه‌ي او به شواليه با کلمات زير پايان مي‌يابد:
"از ژاکوبي يا گاوس به‌طور علني بخواهيد که عقيده خود را نه به عنوان واقعيّت، بلکه به عنوان اهميّت اين قضايا اعلام نمايند. مطمئن هستم بعدها اشخاصي پيدا خواهند شد که کشف اين قضايا را موجب تعالي و ارتقاء خود خواهند يافت."


فهرست مراجع:
[1]. Kollros, L. (1949), Evariste Galois, Birkhauser, Basel.
[2]. Bell, E. T. (1965), Men of Mathematics (2 Vol 5.), Penguin, Harmondsworth, Middlesex.
[3]. Bourgne, R. and Azra, J.P (1962), Ecrits et memoires mathematiques d'Evariste Galois, Gauthier-Villars, Paris.
[4]. Galois, E. (1897), Oeuvres mathematiques d'Evariste Galois, Gauthier-Villars, Paris.
[5]. Dupuy,P. (1896), Lavie d'Evariste Galois, Annales de l'Ecole Normale (3) 13, 197-266.
[6]. Bertrand, J. (1899), "La Vie d'Evariste Galois, Par P. Dupuy", Bull. Des Sciences mathematiques, 198-212.
[7]. Dalmas, A. (1956), Evariste Galois revolutionnaire of geometre, Fasquelle, Paris.
[8]. Taton, R. (1947), Les relations d'Evariste Galois avec les mathematicians de son temps, Cercle International de synthese, Revue d'historic des sciences et de leurs applications, 1, 114.

• http://engmmajidee.blogfa.com/post-52.aspx

.................................................................................................................
از ویکی‌پدیا، دانشنامهٔ آزاد

• اورایست گالوا، (به فرانسوی: Évariste Galois) ‏ (۲۵ اکتبر ۱۸۱۱– ۳۱ مه ۱۸۳۲) ریاضی‌دان و انقلابی فرانسوی، او در بیست‌سالگی در دوئل کشته شد.
  
  زندگینامه

• گالوا که زندگیش در تاریخ علم صفحه ای اندوهبار گشوده است در ۲۸ اکتبر ۱۸۱۱ م.در پاریس متولد شد.در ۱۴ یا ۱۵ سالگی به جای انجام دادن تکالیف عادی دبیرستان اوقات خود را صرف مطالعه در هندسه لژاندر و آثار بزرگ لاگرانژ و اکتشافات آبل می نمود.وی پس از عدم موفقیت در امتحان ورودی مدرسه پلی تکنیک و همچنین رانده شدن از دانشسرای عالی و مخصوصاً به سبب آشنا نبودن با دانشمندان مشهور وارد مبارزات سیاسی شد، او عقیده داشت:
  
  « من برای دانشمند شدن چیزی کم دارم و بنابراین قلب من آرزویی دارد که مغز من قادر به انجام دادن آن نیست. »
  گالوا پس از چند ماه زندانی شدن آزاد شد.ولی درحالی که فقط چند روز بیش از بیست سال و هفت ماه داشت در یک دوئل به خاطر زنی فاحشه مجروح گردید.شاید در تمام تاریخ علم فصلی حزن انگیزتر از شب ۲۹ ماه مه ۱۸۳۲ وجود نداشته باشد.گالوا نظریه گروه‌ها را که قبلاً به وسیله کوشی و لاگرانژ مطالعه شده بود در مطالعات جبری به کار برد و گروه جانشینی هر معادله را مشخص کرد.این تئوری که امروزه تعمیم یافته و درعین حال ساده تر شده است برای حل مسائل گوناگون به کارمی رود و وسیله جستجویی به دست فیزیکدانان زمان ما داده است.

[Roamer]

زندگی پوانکاره

هانری پوانکاره ریاضی دان معروف فرانسوی است که در سال ۱۸۵۴ از خانواده‌ای بنام و سرشناس در شهر نانسی فرانسه به جهان آمد . از دوران کودکی فکرش سریعتر از کلمات کار می کرد. در پنج سالگی به دیفتری مبتلا شد و در طی ۹ ماه حنجره اش از کار افتاد و همین مسئله باعث گوشه گیری او شد به طوری که در بازیها نمی‌توانست شرکت کند . همین موضوع باعث شد که افکارش را متمرکز کند.
تفریح اصلی او مطالعه بود، هنوز کتابی را به درستی تمام نکرده بود که مطالب آنرا تمام وکمال جذب می کرد و همواره می توانست به درستی بگوید که نکته خاصی در کدام صفحه یا در کدام سطر نوشته شده است.
این حافظه خارق العاده را هرگز از دست نداد و گذشته از این قدرت طبیعی که می توان آن را حافظه بصری یا حافظه فضایی نامید ، هانری پوآنکاره دارای حافظه زمان نیز بود، یعنی این موهبت را داشت که می توانست با دقت و بدون نقص یک سلسله حوادث را که مدتها قبل یکی پس از دیگری رخ داده بود بدون اشتباه یادآوری کند.
نزدیک بینی و دید بسیار بد او احتمالا"موجب یکی دیگر از مشخصات حافظه وی گردید. اکثریت ریاضیدانان دستورهای ریاضی را بوسیله مشاهده حفظ می کنند اما هانری پوآنکاره می توانست از راه گوش آنها را حفظ کند. حتی هنگامی که دانشجو بود چون آنچه را که استاد بر تخته سیاه می نوشت به درستی تشخیص نمی داد باآرامش در جای خود می نشست و با دقت گوش می داد اصلا" یادداشتی برنمی داشت و این موضوع مانع نمی شد که همه چیز راآموخته باشد . با این حال وی احتمالا" صاحب قدرت دید داخلی شایسته ای بوده است
شاید این موضوع یکی از بدبختیهای او بوده که ناشیگری در کارهای دستی مانع آن گردید که کارهای آزمایشگاهی را با تعمق بیشتری انجام دهد ،زیرا برخی از اکتشافات او در فیزیک ریاضی در صورتی که برتجارب متکی می گردید به حقیقت نزدیکی بیشتری می یافت و حتی می توان گفت که اگر پوآنکاره همان استادی و مقام شامخی که در مسائل نظری داشته در علوم تجربی نیز می داشت در این صورت بر اتحاد ثلاثه ای از ارشمیدس نیوتن و گاوس تشکیل یافته است و فرد چهارمی نیز افزوده می شد .
در نه سالگی اولین نشانه های یکی از موفقیتهای بزرگ آینده او هویدا گردید . معلم انشاء او اظهار داشت که یکی از منشات پوآنکاره چه از لحاظ بدعت مفهوم و چه از نظر انشاء مطلب ، شاهکار محسوب می شود و آن را به یادگار نزد خود نگاه داشت . لیکن به شاگرد خود توصیه کرد که اگر میل دارد در ممتحنان نیز تاثیر خوب داشته باشد و باید قدری بیشتر خود را با مقتضیات وفق دهد یعنی ظرافت کمتری به کار برد.
از آنجا که مجبور بود همواره از بازیهای شدید و پر سر وصدای رفقای خود کناره بگیرد پوآنکاره بازیهای خود را شخصا" آماده می کرد . وی در فن رقص مهارتی تمام داشت و از علاقمندان پرشور موسیقی بود و چون همه درسهای خود را به سهولت می آموخت همواره وقت کافی برای تفریح و انصراف خاطر داشت . او غالبا" در کارهای منزل به مادر خود کمک می کرد .
شوق ریاضیات از پانزده سالگی در پوآنکاره هویدا شد و از همین اوقات یکی از مشخصات تمام دوران زندگی او آشکار گردید. او تمام کارهای ریاضی خود را در ذهن انجام می داد و هرگز شروع به نوشتن نمی کرد مگر وقتی که در ذهن حل موضوع را کاملا" خاتمه داده باشد. سر وصدا و مذاکره در اطراف او هیچ وقت مانع کار کردنش نمی شد. معمولا" آثار علمی خود را یک بند از سر تا انتها می نوشت بدون اینکه حتی یکبار دیگر آنها را بخواند و به ندرت خط خوردگی در این نوشته ها پیدا می شد . خود او اعتراف کرد که هرگز اتفاق نیفتاد اثری را تمام کند بدون اینکه یا از لحاظ مفهوم و مطلب و یا از نظر عرضه وانشاء از آن ناراضی نباشد.
هنگامی که در سال 1870 جنگ آلمان و فرانسه شروع شد هانری پوآنکاره شانزده سال داشت . با اینکه وی جوانتر و ضعیف تر از آن بود که نقش عملی در جنگ داشته باشد ،باز هم سهم خویش را از ناکامی ها و وحشت جنگ دریافت داشت ، زیرا شهر نانسی که در آن می زیست از طرف قشون مهاجم اشغال شده بود و پسر همراه پدر پزشک خود با تخت روان بیمارستان در گشت و بازرسی ها شرکت می کرد . آنگاه وی همراه مادر و خواهرش به شهر آرانسی رفت تا ملاحظه کند چه به روز پدر بزرگ و مادربزرگ مادریش آمده است، آنان در خانه ای با باغ بزرگی منزل داشتند که وی تعطیلات خوشی را درآنجا گذرانده بود. آرانسی در مجاورت میدان جنگ سن پریوا قرار داشت . پس از عبور از قراء و قصبات سوخته به مقصد رسیده و مشاهده کردند که خانه تمام و کمال غارت شده و دشمن تمام اثاث گران قیمت تا اشیاء بی اهمیت را با خود برده بودند و پدر بزرگ ومادر بزرگ بی هیچ چیزی در خانه مانده بودند .
پوانکاره در سال1871 و در هفده سالگی قسمت اول امتحانات نهایی متوسطه را در قسمت ادبیات و علوم گذرانید ،گذشته از این چیزی نمانده بود که در امتحان ریاضی رد شود ، وی دیر به جلسه رسید و مدتی بعد از آنکه ورقه ی سؤال امتحانی را به دست او دادند هنوز خسته و در حال نفس نفس زدن بود .( موضوع امتحان مجموع جملات تصاعد هندسی متقارب ) خوشبختانه شهرت او قبل از خودش به جلسه امتحان رسیده بود و ممتحن اظهار داشت که : « هر کس غیر از پوآنکاره بود حتما" پذیرفته نمی شد »
بعد از آن امتحانات مدرسه آبها و جنگلها را گذرانید و رفقای او از مشاهده اینکه جایزه اول ریاضی نصیب او شد بسیار متعجب شدند و بنابراین یکی از شاگردان سال چهارم مدرسه را به سراغ او فرستادند که درباره ی نکاتی مشکل از او سؤال کند ، پوآنکاره بدون تفکر و بلافاصله جواب مسائل را داد و رفقا را مات و مبهوت باقی گذاشت.
در سال 1873 در نوزده سالگی با رتبه اول در مسابقه ورودی مدرسه پلی تکنیک پذیرفته شد . افسانه های زیادی درباره ی امتحان او وجود دارد . بعنوان مثال ، یکی از ممتحنان ( استادان ) که از نبوغ ریاضی پوآنکاره باخبر بود مدت سه ربع ساعت امتحان را متوقف ساخت تا سؤال دندان شکنی برای او مطرح کند ، اما پوآنکاره بر این مشکل فائق آمد و ممتحن سخت گیر به داوطلب تبریک گفته و به او اطلاع داد که با رتبه اول پذیرفته شده است . این نشان می دهد که ممتحنان ریاضی در فرانسه بعد از اینکه زندگی گالوآ (ریاضیدان فرانسوی ) را تباه ساختند و چیزی نمانده بود که همین بلا را سر هرمیت (ریاضیدان فرانسوی ) بیاورند ، اکنون به ترقیاتی نائل شده بودند.
او در امتحان ورودی در رسم نمره ی صفر گرفت ،نزدیک بود از مدرسه اخراج شود اما چون در بقیه امتحانات بی نظیر بود و اگر با احتساب همین نمره صفر ،معدل او راحساب می کردند با رتبه اول قبول می شد ، ممتحنان یک ممیز در مقابل صفرو یک عدد یک بعد از آن قرار دادند ، و بالاخره در امتحان پذیرفته شد.
به هر حال عدم مهارت پوآنکاره در ترسیم نمره هندسه او را کاهش داد و در امتحان خروجی مدرسه رتبه اول را از دست داده و به رتبه دوم رسید . اما استادش در نانسی به وی به عنوان غول ریاضی اشاره کرده است .
پوآنکاره در سال 1875 و در سن بیست و یک سالگی از پلی تکنیک خارج شد و به قصد مهندس شدن وارد مدرسه عالی معدن گردید . مطالعات فنی که با شور و حرارت انجام می داد به او فرصت می داد که به ریاضیات بپردازد. سه سال بعد درسال 1878 با حمله به مسائل کلی تر و مشکل تر در مورد معادلات دیفرانسیل ، رساله ای برای دکترا به دانشکده علوم پاریس عرضه داشت .داربو ( ریاضیدان فرانسوی ) مأمور مطالعه این رساله می گوید : « از اولین نظری که به آن انداختم متوجه شدم که این رساله مافوق رسالات عادی است و به طور قطع ارزش پذیرفته شدن دارد . بهدون شک در آن آنقدر نتایج جدید وجود داشت که می توانست موضوع چندین رساله خوب باشد »
پوانکاره دوران خدمت نظام وظیفه ی خود را در مون والرین mont valerien تپه ای در حومه ی غربی پاریس گذرانید . (سال 1944 در قلعه هون والرین گروه کثیری از فرانسویان از طرف آلمانها تیرباران شدند و هر سال مراسمی به یادشان برگزار می شود )
ازدواج پوآنکاره با خوشبختی مقرون بود . همسرش از نوادگان ژئوفروآ سنت هیلر Geoffroy saint -hilaire بود ، یک پسر و سه دختر داشت که در کودکی باعث شادی وی بودند .
به استثناء چند مسافرت جزئی برای شرکت در کنگره های علمی در اروپا و مسافرتی در 1904 به ممالک متحد آمریکا برای ادای سخنرانی در نمایشگاه سن لوئی ، پوآنکاره باقی مدت عمرش را در پاریس گذرانید و استاد مسلم ریاضیات مسلم فرانسه شناخته شد .
کشفیات هانری پوانکاره
دوران ایجاد و ابداع پوآنکاره در ریاضیات با رساله اش در سال 1878 در بیست و چهار سالگی آغاز شد و با مرگ او خاتمه یافت در حالیکه قدرت وی در ایجاد و اختراع به اوج خود رسیده بود. به راستی باور کردنی نیست که دراین مدت نسبتا" کوتاه 24 ساله شخصی توانسته باشد ،این توده عظیم اکتشافات را بوجود آورد .
اولین خدمت رسمی پوآنکاره از اول دسامبر سال 1879 در سن بیست و پنج سالگی با سمت استاد آنالیز در دانشگاه کان آغاز شد .
در سال 1880 درسن بیست و شش سالگی درخشان ترین اکتشافش را کرد و شهرت جهانی یافت و آن به سبب کشف دوران ساز توابع خود ریخت out morph از یک متغیر مختلط بود ، خود وی آنها را توابع فوکسین (آن به نام ریاضیدان آلمانی لازار فوکس) و کلاینین ( آن به نام ریاضیدان آلمانی فیلیکس کلاین . ودراین نامگذاری جنبه شوخی و مزاح هم بود . زیرا کلاین مدعی بود دربرخی اکتشافات متقدم بر فوکس است و پوآنکاره از لحاظ حل اختلاف به این نامگذاری پرداخت .) نامید.
نظریه ی عمومی توابع هم ریخت دارای یک متغیر مختلط یکی از معدود شاخه های ریاضی است که وی در آن تقریبا"کاری برای پسینیان خود نگذاشت . بعد از آن سلسله هایی به نام تتا فوکسین را بدست آورد .
در دهه های 1880 و 1890 توابع خود ریخت به صورت شاخه ی گسترده ای از ریاضیات در آمد که علاوه بر آنالیز به قلمرو نظریه ی گروهها ، نظریه ی اعداد ، هندسه جبری ، و هندسه ی غیر اقلیدسی راه یافته است . با این کار ریاضیدان برجسته فرانسوی ژورژ همبر گفت : پوآنکاره موفق به اثبات دو حکم جانسوز گردید که کلید جهان جبر را در اختیار او قرار داد.
یک سال بعد در سال 1881 در بیست و هفت سالگی استاد دانشگاه سوربن پاریس شد و در آنجا تا زمان مرگ تدریس کرد .
در سال 1883 در سن بیست و نه سالگی مقاله کوتاهی تنظیم کرد و اولین کسی بود که به پژوهش در پیوندهای میان نوعی تابع کامل ( که به وسیله خواص تجزیه وایرشتراسی خود به عوامل اول معین می شود ) وضرایب گسترش تیلری آن با نرخ رشد مقدار مطلق تابع ،پرداخت و از طریق توابع مطلق به نظریه ی وسیع و کامل توابع همومورفی که هنوز بعد از چندین سال به نحو کامل فیصله نیافته است ، رسید.
در سال 1886 در سن سی و دو سالگی کرسی مکانیک فیزیک تجربی به عهده او گذاشته شد . و این موضوع خود مایه تعجب است ، زیرا همه کس از ناشیگری پوآنکاره در خدمات آزمایشگاهی در دورانی که دانشجو بود اطلاع داشتند .
در سال 1887 در سن سی و سه سالگی به عضویت فرهنگستان علوم و در سال 1906 به ریاست فرهنگستان علوم فرانسه انتخاب شد.کار اصلی فرهنگستان تدوین فرهنگ قطعی لغات زبان فرانسه بوده است . عضوی از فرهنگستان که او را برای عضویت پیشنهاد کرده بود گفت : « کارش ما فوق تمجید و ستایش عادی است و لاجرم آنچه را که ژاکوبی( ریاضیدان آلمانی ) درباره ی ابل ( ریاضیدان اسکاندیناوی ) نوشت به یادمان می آورد :
«او مسائلی حل کرده که قبل از خودش به تصور در نیامده بودند.»
نخستین دستاورد بزرگ ریاضی پوآنکاره در آنالیز بود. او ابداع نظریه توابع خود ریخت ، مفهوم دوره ای بودن یک تابع را تعمیم داد . توابع مثلثاتی و نمایی مقدماتی ، دوره ای یگانه ، و توابع بیضوی دوره ای دوگانه هستند.
توابع خود ریخت پو آنکاره تعمیم گسترده ای از این توابع را تشکیل می دهند ، زیرا این توابع تحت یک گروه شمارای نا متناهی از تبدیلات کسری خطی ، پایا هستند و نظریه ی غنی توابع بیضوی را به عنوان جزء در بر می گیرند. او از آنها برای حل معادلات دیفرانسیل خطی با ضرایب جبری استفاده کرد و همچنین نشان داد که چگونه می توان از این توابع در یکنواخت کردن منحنی های جبری ، یعنی بیان مختصات هر نقطه واقع بر چنین منحنی بر حسب توابع یک مقداریx(t) , y(t) از یک پارامتر واحد t ، استفاده کرد .
نکته اساسی دیگری از فکر پوآنکاره را می توان در پژوهشهایش درباره ی مکانیک سماوی ( آسمانی ) یافت . در خلال این کار نظریه ی بسطهای مجانبی خود را ارائه کرد ، که باعث توجه به سریهای واگرا شد ، پایداری مدارها را مطالعه کرد ، و نظریه ی کیفی معادلات دیفرانسیل غیر خطی را پایگذاری کرد .
درسال 1902 به عنوان یک سرگرمی جنبی ، و ضمن کوششی برای سهیم کردن افراد غیر متخصص در اشتیاق خود به معنا و اهمیت ریاضیات و علوم ، به نویسندگی و سخنرانی برای اقشار وسیع تری از مردم روی آورد . این کارهای سبکتر او در چهار کتاب تحت عناوین : علم وفرضیه (1903) ، ارزش علم (1904) علم و روش (1908) و آخرین اندیشه ها (1913) گردآوری شده اند .
مهم‌ترین سهم پوانکاره در هندسه جبری مقاله‌های ۱۹۱۰ تا ۱۹۱۱ او بود درباره منحنیهای جبری محتوی در یک سطح جبری

پوانکاره یکی از شاگردان ارمیت بود و بعضی از کارهای آغازینش مربوط می‌شود به روش ارمیت درباره «تحویل مداوم» در نظریه حسابی صورتها بخصوص قضیه متناهی بودن برای طبقه‌های این گونه صورتها که قبلاً ژوردان آن را اثبات کرده بود.
بررسی های پوآنکاره درباره ی پیدایش جهان ، آنالیز ، نور و الکتریسیته و همچنین جبر و احتمالات بسیار مهم و دقیق است . وی در فلسفه و علوم نظری صاحب نظر و محقق بود.
• حدس پوانکاره

موسسه‌ی ریاضی کِلِی (Clay Mathematics Institute) یک موسسه‌ی پژوهشی در زمینه‌ی ریاضیات است که به‌خاطر پشتیبانی مالی از پژوهش‌گران ریاضی مشهور است. این موسسه در ابتدای هزاره‌ی سوم میلادی، فهرست هفت‌تایی از مساله‌های ریاضی را منتشر کرد و برای حل کامل هر یک مبلغ یک میلیون دلار آمریکا را به‌عنوان جایزه مشخص نمود. این هفت مساله - که به مساله‌های ملینیوم معروفند - از مشکل‌ترین مساله‌های ریاضی هستند که سال‌هاست بزرگ‌ترین نابغه‌های ریاضی موفق به حل هیچ یک از آنها نشده‌اند. پیشرفت پرسرعت ریاضیات و به‌وجود آمدن تئوری‌ها و تکنیک‌های جدید ریاضی امید به حل این مساله‌ها را روزبه‌روز افزایش می‌دهد.
از جمله‌ی این هفت مساله، حدس پوانکاره (Poincare conjecture) است که هانری پوانکاره (Henri Poincaré) در سال 1903 میلادی آن را مطرح کرد و اساسی‌ترین سوال در زمینه‌ی شناخت موجودات هندسی 3-بُعدی محسوب می‌شد. صورت مشابه این سوال برای بُعدهای بیشتر از 3 در قرن بیستم و برای موجودات 2-بُعدی نیز به‌وسیله‌ی پوانکاره حل شده بود. این حدس می‌گوید که تنها خمینه‌ی ساده همبند، کره‌ی 3-بُعدی است (*) .

این سوال بیش از صد سال بدون پاسخ باقی ماند تا اینکه گریگوری پرلمان، ریاضی‌دان روسی ساکن سن‌پترزبورگ در سال‌های 2002 و 2003 میلادی سه مقاله را در اینترنت منتشر کرد که حدس پوانکاره را تایید می‌کرد (البته او در این سه مقاله نامی از حدس پوانکاره نمی‌برد!).
آثار او
پوآنکاره روی هم رفته بیش از 30 کتاب فنی درباره ی فیزیک ریاضی فیزیک نظری ، نجوم نظری و مکانیک سماوی و 6 کتاب در سطح عامه فهم و تقریبا"500 مقاله پژوهشی در ریاضیات نوشته است .
یکی مواردی که به زبان ساده می توان بیان داشت در جبر معروف به قضیه ی پوانکاره می باشد :

قضیه ی پوانکاره :
اگر K.H دو زیر گروه G باشند که اندیس متناهی دارند یعنی

و

آنگاه :



داریم

یک زیر گروه از

است پس :



و



لذا


پس

چنان موجود است که :




و چون



در نتیجه


در نتیجه داریم :





در آخر داریم :




مهمترین سهم پوانکاره در هندسه جبری مقاله های ۱۹۱۰ تا ۱۹۱۱ او بود در باره منحنیهای جبری محتوی در یک سطح جبری پوانکاره یکی از شاگردان ارمیت بود و بعضی از کارهای آغازینش مربوط می شود به روش ارمیت در باره تحویل مداوم در نظریه حسابی صورتها و بخصوص قضیه متناهی بودن برای طبقه های اینگونه ضورتها که قبلاٌ‌ ژوردان آن را اثبات کرده بود.
بررسی های پوانکاره در باره پیدایش جهان، آنالیز، نور و الکتریسیته و همچنین جبر و احتمالات بسیار مهم و دقیق است وی در فلسفه و علوم نظری صاحب نظر و محقق بود پوانکاره به کشف و حل مسائل بسیاری در ریاضیات نایل آمد که تا آن زمان به پی بردن آن ناتوان بودند کتابهای زیادی در زمینه های گوناگون علمی نوشت که بر جسه ترین آنها در ریاضیات و فلسفه عبارتند از:
▪ علم و فرض،
▪ علم و روشنی،
▪ مفروضات تکوینی،
روشهای نوین در مکانیک آسمانی و ارزش علم تعداد کتابهای پوانکاره سی جلد می باشد و صاحب پانصد مقاله است که مربوط به مسائل کاملاٌ‌ مختلف است با کشف توابع فوکس که پوانکاره به دنیای دانش تقدیم نمود برای حل معادلات دیفرانسیل که قبلاٌ‌ریاصیدان آلمانی لازار فوکس کشفیات زیبایی در مورد آنها کرده بود کلید جدیدی به کار برد و به کمک آن نه تنها مشکل معادلات دیفرانسیل را حل کرد بلکه معماری توابع بیضوی را نیزروشن ساخت اکتشافات وی در مبحثی از ریاضی که سابقاٌ آن را تحلیل تواضع می نامیدند و امروزه موسوم به توپولوژی جبری و از بزرگترین و مشکلترین مباحث ریاضی جدید است ارزش قاطع دارد همگی نظریه توابع فوکس از آغاز با اندیشه انتگرال گیری خطی معادله های دیفرانسیل با ضرایب جبری هدایت می شد اما رغبت بیشتر پوانکاره به نظریه‌های نور و موجهای برق مغناطیسی بود.
نکته ای که وی در باره امکان ارتباط میان پرتوهای مجهول و پدیده شبتابی گفت آغازگر آزمایش‌های هانری بکرل بود که وی را به کشف پرتوزایی رادیو اکتیویته کشانید از سوی دیگر پوانکاره از سال ۱۸۹۹ به بعد در بحثهای مربوط به نظریه الکترونی لورنتس بسیار فعال بود پوانکاره اولین کسی بود که دریافت که تبدیلهای لودنتس تشکیل گروهی می دهند که با گروهی که صورت درجه دوم را نامتغیر می کند هم ریخت است، بسیاری از فیزیکدانان بر این عقیده اند که در اختراع نظریه نسبیت خاص، پوانکاره با لورنتس و آلبرت انیشتین شریک است.


از نظر کمیت و وفور اکتشافات فکری ، اویلر ریاضیدان سوئیسی و کوشی ریاضیدان فرانسوی و کایلی ریاضیدان انگلیسی در میان همه ریاضیدانان طبقه جداگانه ای را بوجود آورده اند و پوآنکاره که جوانتر از این سه نفر فوت کرد ، مقام چهارم را دارد .
هانری پوانکاره و فیزیک
رغبت بیشتر پوانکاره به نظریه‌های نور و موجهای برق مغناطیسی تمایل داشت. نکته‌ای که وی درباره انکان ارتباط میان پرتوهای مجهول و پدیده شبتابی گفت آغاز گر آزمایشهای هانری بکرل بود که وی را به کشف پرتوزایی (رادیواکتیویته) کشانید. از سوی دیگر پوانکاره از سال ۱۸۹۹ به بعد در بحثهای مربوط به نظریه الکترونی لورنتس بسیار فعال بود. پوانکاره اولین کسی بود که دریافت که تبدیلهای لورنتس تشکیل گروهی می‌دهند که با گروهی که صورت درجه دوم را نامتغیر می گذارد هم ریخت است.
یکی از برجسته ترین خدمات فراوان پوآنکاره به فیزیک ریاضی ، مقاله ی مشهورش در سال 1906 درباره ی دینامیک الکترون بود . او سالهای زیادی راجع به شالوده های فیزیک فکر کرده بود و مستقل از انیشتین بسیاری از نتایج مربوط به نظریه ی نسبیت خاص را به دست آورده بود . فرق اساسی در این بود که بررسی انیشتین متکی بر ایده های مقدماتی مربوط به علامتهای نوری بود ، حال آنکه بررسی پوآنکاره بر پایه ی نظریه ی الکترو مغناطیس بنا شده بود و بنابراین از نظر کاربردی به پدیده های مربوط به این نظریه محدود بود . پوآنکاره احترام زیادی برای استعداد انیشتین قائل بود و در سال 1911 انتصاب انیشتین را به اولین سمت دانشگاهی اش توصیه کرد . بسیاری از فیزیک دانان بر این عقیده اند که در اختراع نظریه ی نسبیت خاص ، پوآنکاره با لورنتس و انیشتین شریک است .
مرگ پونکاره
هانری پوانکاره در بهار ۱۹۱۲ مریض شد و در نهم ژوئیه همان سال تحت عمل جراحی پروستات قرار گرفت و در پی آن در هفدهم ژوئیه سال ۱۹۱۲ به دلیل آمبولی در سن ۵۸ سالگی در پاریس درگذشت.
در سال 1911 احساس قلبی در او به وجود آمد که مرگش نزدیک است . به همین دلیل در نهم دسامبر 1911 نامه ای به مدیر یکی از مجلات ریاضی نوشت و از او سؤال کرد که آیا حاضر است اثر نیمه تمامی را درباره ی یکی از مسائل ریاضی را که به نظر او اهمیت فوق العاده ای داشت را در مجله ی خود درج کند ونوشت : « در سنی که من دارم ممکن است موفق به حل کامل این مسئله نشوم و نتایجی که تاکنون به دست آورده ام ممکن است تفحص کنندگان را در راه جدید و غیر منتظره ای قرار دهد ، به نظر من آن قدر نویدهای درخشان می دهد که باوجود ناامیدی هایی که حل مشکلات آن نصیبم کرده است نمی توانم خویشتن را راضی به از بین رفتن آنها کنم . »
اندکی بعد در سال 1913 اثبات این قضیه به وسیله ی ریاضیدان جوان آمریکایی جورج دیوید بیرکوف ( که درجوانی وفات یافت و پسرش گارت از برجسته ترین ریاضیدانان آمریکا است . ) ارائه شد و به این وسیله سنفونی ناتمام پوآنکاره کامل گردید.
در بهار 1912 پوآنکاره بیمار شد و در نهم ژوئیه تحت عمل جراحی قرار گرفت که با موفقیت انجام یافت . لیکن در هفدهم ژوئیه 1912 در سن پنجاه و هشت سالگی هنگامی که مشغول لباس پوشیدن بود ، در نتیجه انسداد شریان ناگهانی درگذشت .
..........................................................................................................................................................................................
(*) حدس پوآنكاره از اين قرار است كه هر 3-منيفولد بسته و همبند ساده با ) S3 سطح كره چهار بعدي) يكريخت است. تعميم يافته اين حدس به اين صورت است كه هر n-منيفولد فشرده با Sn هم ارز هموتوپي است اگر و فقط اگر خود آن n-منيفولد با Sn يكريخت باشد. اكنون اين حالت تعميم يافته به عنوان حدس پوآنكاره معروف است. حالت n = 1 بديهي است. حالت n = 2 حالتي كلاسيك است (و حتي توسط رياضيدانان قرن 19 نيز شناخته شده بود). حالت n = 3 تا كنون حل نشده بود. n = 4 در سال 1982 توسط فريدمن ثابت شد (كه به موجب آن مدال فيلدز را دريافت نمود). n = 5 در سال 1961 توسط زيمن ثابت شد. n = 6 در سال1962 توسط استالينگز به اثبات رسيد و n ≥ 7 نيز در سال 1961 به وسيله اسميل ثابت شد (همچنين او با گسترش اثبات خود توانست آن را براي n ≥ 5 نيز ارائه دهد). حدس پوآنكاره جزء مسائلي بود كه جايزه ميليون دلاري براي آن توسط مؤسسه رياضي كلي تعيين شده بود.



منابع :
http://www.rahyarmath.ir
http://www.iranika.ir
http://fa.wikipedia.org
http://www.yazdjdu.ac.ir
http://www.supergalaxy.ir
http://forum.p30world.com
http://www.hamshahri online.ir
http://www.gtalk.ir
http://farina.blogfa.com
http://arezooshahraki.blogfa.com
http://www.anjoman.ir
http://daneshnameh.roshd.ir
http://riyaziat-syr.mihanblog.com/
http://vista.ir/article/236479
http://nobelmath.blogfa.com/8409.aspx
http://fissaghores.blogfa.com/post-35.aspx
http://mathcity37.blogfa.com/post-62.aspx

[Angel!]

دکارت

دکارت را به عنوان بنیانگزار فلسفه نوین به شمار اورده اند . او ریاضیدان ودر عین حال فلسوف بود .

دکارت بر مبنای قضیه چون فکر می کنم برهانی را برای اثبات دو جوهر هستی یافته واشکار یکی مادیودیگرسی غیر مادی عرضه کرد وانرا به فلسفه دکارتی افزود وهمراه بااین مسئله فلسفی راعنوان کرد که چگونه ذهن و جسم انسان می تواند در یکدیگر تاثیر بگذارد .

نخستین گام در روش دکارت برای رسیدن به یقین این بود که باید دید ایا می توان در همه چیز شک کرد یا خیر شک کردن به حافظه به تشخیص حواس به وجود دنیای پیرامون وبه وجود جسم خود شخص. در تفکرات دکارت این فرض را در نظر میگیرد که امکان دارد یک فریب دهنده بسیار توانمند وهوشمند وجود داشته باشدکه همواره واز روی هدف مرا فریب دهد .

چون فکر می کنم دکارت وتمامی استدلالهای او در تفکرات موضوعاتی هستند که از زمان تالیف اثر مزبور تاکنون درباره انها نقد گسترده ومشروحی صورت گرفته است.

دکارت شهرت بسیارزیادی به خاطر طرح معضل فلسفی دوگانه ذهن وماده دارد این معضل ناشی از نتیجه گیری اوست مبنی بر اینکه ذهن به عنوان یک جوهر غیر مادی متمایزاز جوهر مادی یا غیر جسمانی است واو معتقداست که هر جوهر دارای یک خاصیت اصلی است که طبیعت اساسی وبنیادی ان را می سازد .

علاقه دکارت به ایجاد بنیانهای استوار برای معرفت محدود به فلسفه نبود .ریاضیات نیز از نظر او الگویی برای تمامی معارف بهعشمار میاید زیرا حقایق ریاضی انکار نا پذیرند. او همچنین از یک روش مبتنی بر کسب معرفت الله وروح بشرونیز روش شناخت تمامی پدیدارهای علمی وطبیعی که به اندازه یک برهان هندسی ومسلم نیستند اجتناب کرد .او می گوید یک فکر می تواند روشن باشد بی انکه مشخص باشد اما اگر مشخص باشد در این صورت روشن هم هست دکارت میگوید:" چون فکرمیکنم پس هستم "
smile072http://www.daneshju.ir

[Angel!]

«رونالد فیشر» (پایه گذار آمار)

تقریبا هر روز در روزنامه ها و مجلات می خوانیم و یا در کتابهای علمی جملاتی را مشاهده می کنیم. مانند این که سیگار کشيدن موجب سرطان ريه می شود، ورزش کردن در جلوگیری از بیماریهای قلبی موثر است و غیره. دلیل درستی این اظهار نظرها چیست؟ شواهد آماری. برای تولید یک دارو شرکت داروسازی باید داروی خود را روی گروهی از بیماران آزمایش کند و در صورتی که نتایج ازمایشها نشان دهد مزایای دارو از نظر آماری معنی دار است اجازه عرضه آن را می دهند. اگر ذهن درخشان رونالد آیلمر فیشر نبود چنین نتایجی حاصل نمی شد.

این نابغه تند مزاج کسی بود که نشان داد چگونه می توان از میان داده های خام حقایق محکم علمی را استخراج کرد. فیشر یکی از تاثیر گذارترین دانشمندان قرن بیستم بوده است. یافته های جدید بر پایه مفاهیمی استوارند که او ابداع کرده است مانند p یا تحلیل واریانس و... او روشی یافت که از طریق آن می شد با داشتن نتایج سفرهای اکتشافی جانوران جدید و تعداد گونه های جانوری موجود در زمین را که هنوز کشف نشده بود تخمین زد. مانندتعداد پروانه های کشف نشده یا مطرح کردن نظریه کرانه ای که به واسطه آن می توان رویداد های گذشته نظیر سیل ها یا زمین لرزه ها و برآورد احتمال وقوع رویدادها در طی هزاران سال اینده را نشان داد.

وی در سال1890 در لندن به دنیا آمد و در خانواده آنها کسی به مقوله های علمی تمایل نشان نداده بود. وی این مهارتها و علاقه مندی به اعداد را در سنین پائین از خود نشان داد. البته چشمهای فیشر بسیار ضعیف بود و در سن نوجوانی این ضعف فعالیت های وی را محدود می کرد به طوریکه به توسعه پزشکان نمی توانست در نور مصنوعی کار کند پس مجبور شد تا به جای استفاده از کاغذ و قلم تنها از ذهن خود برای تصویر کشیدن مسائل کمک بگیرد. برای این کار روشهای هندسی مخصوصی را ابداع کرد که سایر ریاضیدانان با روشهای عادی از حل مسائل درمانده بودند. در دانشگاه، وی در زمینه ریاضیات و زیست شناسی معلوماتی فراتر از هم سن و سالان خود داشت.

دانشمندان ظهور روشهای آماری را احساس می کردند که برای آزمون نظریات آنها مفید واقع می شود. ولی کاربردی شدن آن مستلزم حجم زیادی داده ها برای بدست آورد نتایج قابل احتمال بود که آنها در اختیار نداشتند. فیشر تصمیم گرفت تا راههایی برای استخراج قابل اعتماد ترین نتایج از میان حجم کم داده ها بیابد. کلید این کار، بیرون کشیدن بیشترین حجم ممکن اطلاعات از میان داده های موجود است. قاعده ریاضی «احتمال حداکثر» و سپس «آماره های کافی»را یافت. محصولات کشاورزی – روش تحلیل واریانس این امکان را فراهم اورد تا با انجام یک ازمایش بتوان همزمان به سئوالهای زیادی پاسخ بدهد در هر آزمایش تنها یک عامل را می توان بررسی کرد و سایر عوامل راثابت نگه داشت.

از کتاب علمی وی می توان روشهای آماری برای پژوهشگران را نام برد. این کتاب موهبتی الهی بود برای تحلیل داده ها و علی رغم انتقادها، روشهای وی به شکل گسترده ای مورد استفاده قرار گرفت و«آزمایش معنی دار بودن» برای کنترل نتیجه بر حسب واقعیت یا شانس بیشتر مورد تایید قرار گرفت. چرا که فیشر «مقدار p » را ابداع کرد که «یک به 20» عنوان شد و در تمام آزمایشها تنها زمانی نتیجه قابل اعتنا بود که مقدار p آن مشخص شده باشد.

سرانجام در سال 1957 فیشر بازنشسته و به استرالیا مهاجرت کرد و در اثر ابتلا به سرطان از دنیا رفت. شاید کمتر کسی مانند او توان ریاضی خود را در اختیار همه انسانها گذاشته است.

http://www.daneshju.ir

[Angel!]

کارل فریدریش گاوس

کارل فریدریش گاوس (۳۰ آوریل ۱۷۷۷- ۲۳ فوریه ۱۸۵۵) ریاضیدان بزرگ آلمانی است. او به عنوان یکی از برترین ریاضی دانان همه دوران شناخته شده است، و شاید بتوان گفت که برترین آنهاست. به دلیل تحقيقات و دستاوردهاي بی مانند و بيشمار گاوس به او لقب شاهزاده رياضيات را داده اند. گاوس هم به ریاضیات لقب ملکه علوم را داده بود.

روزگار کودکی

گاوس، این ریاضی دان آلمانی، در خانواده‌ای محروم، در شهر برانشوایگ زاده شد. گفته می‌شود که هوش سرشار او زمانی آشکار شد که در سه سالگی اشتباهی را که پدرش در محاسبهٔ دارایی ها، بر روی کاغذ، انجام داده بود در ذهنش درست کرد. داستان دیگری که دربارهٔ هوش بسیار او گفته می‌شود آن است که آموزگارش، در دبستان، برای سرگرم کردن شاگردان به آنان گفت شماره‌های 1 تا 100 را با هم جمع کنند؛ گاوس خردسال پاسخ درست را در چند ثانیه با به کارگیری یک بینش ریاضیاتی چشمگیر به دست آورد. رهیافتی که او به کار بست چنین بود: او دانست که با جمع کردن دو به دوی عبارت ها از دو سر فهرست شماره‌ها پاسخ هر یک از این جمع ها برابر خواهد شد:

1+100=101, 2+99=101, 3+98=101, …

برای جمع کل هم خواهیم داشت:

50*101=5050


میان سالی

گاوس در پایان نامهٔ سال 1799 خود اثباتی بر قضیهٔ بنیادین جبر ارائه کرد. این قضیهٔ مهم می‌گوید که "هر چندجمله‌ای درجهٔ n، با به شمار آوردن ریشه‌های تکراری، دارای n جواب است".

آوازهٔ او با انتشار Disquisitiones Arithmeticae (مقاله‌های حساب) در 25 سالگیش بسیار افزایش یافت. در سال 1807 به استادی رصدخانه و دانشگاه "گوتینگن" دست یافت و تا پایان زندگیش این سِمت را در دست داشت. مقالهٔ "نظریهٔ حرکت اجرام آسمانیِ در حال حرکت در مقاطعی مخروطی پیرامون خورشید" را در سال 1809، در هامبورگ، منتشر کرد؛ مقاله‌ای که انگیزشی قوی را برای روش های درست مشاهده‌های اخترشناسی به دست داد. مقاله‌های اخترشناسی، مشاهده ها، محاسبه‌های مدار سیاره‌ها و ستاره‌های دنباله دار و ... او همچنانکه بیشمارند بسیار ارزشمند نیز هستند.

توانمندی مغز گاوس در محاسبه بسیار شگفت انگیز بود. مشهور است هنگامی که از او پرسیدند چگونه می‌تواند مسیر حرکت سیارک سِرِس را با این دقت پیشگویی کند، او پاسخ داد "لگاریتم ها را به کار می برم". پرسشگر خواست بداند که او چگونه شمار بسیاری از عددها را می‌تواند از جدول ها چنین سریع ببیند و بخواند. گاوس پاسخ داد " به آن ها نگاه کنم؟ چه کسی نیاز دارد به آن ها نگاه کند؟ من آن ها در در ذهنم محاسبه می کنم"!

گاوس ادعا کرد که امکان هندسهٔ نااقلیدسی را کشف کرده است ولی هرگز آن را منتشر ننمود. این یافتهٔ او یک جهش کلیدی در دانش ریاضی بود چنانکه ریاضیدانان را از این باور نادرست که اصل های اقلیدسی تنها راه پایداری هندسه هستند رهانید. پژوهش در این دامنه از هندسه، ما را به سوی نظریهٔ نسبیت عمومی آینِشتاین راه می نمایاند، نظریه‌ای که جهان را بر پایهٔ هندسهٔ نااقلیدسی شرح می‌دهد.


او تلاش خود را در زمینهٔ "نظریهٔ اعداد" و موضوع های تحلیلی دیگر پی گرفت و مقاله‌های بسیاری را برای Königliche Gesellschaft der Wissenschaften (انجمن پادشاهی علوم) در گوتینگن فرستاد.


کهن سالی، مرگ و پس از آن

نخستین مقالهٔ او در زمینهٔ الکترومغناطیس در سال 1833 میلادی چاپ شد. پس از زمانی کوتاه، تا مدت ها با Wilhelm Weber، فیزیکدان نامدار، برای ساخت دستگاه نوین مشاهدهٔ مغناطیس زمین و دگرگونی های آن، در ارتباط بود. ابزارهایی که آنان ساختند "دستگاه انحراف مغناطیسی" و "مغناطیس سنج bifilar" بود. با یاری وبر، در سال 1833 در گوتنگین، یک رصدخانهٔ مغناطیس که در ساختارش هیچ قطعهٔ آهنی نبود ساخت و در آن مشاهده‌های مغناطیسی را انجام داد؛ و از همین رصدخانه سیگنال های تلگرافی را به شهرک های پیرامون فرستاد و بدین گونه عملی بودن تلگراف الکترومغناطیسی را نشان داد. افزون بر این ها، او یک انجمن با نام Magnetischer Verein (انجمن مغناطیسی) را بنیاد نهاد که در نوع خود در آلمان برای نخستین بار بوده است. او یک روش اندازه گیری شدت میدان مغناطیسی افقی را گسترش داد که در نیمهٔ دوم سدهٔ بیستم به کار می‌رفته است و نظریهٔ ریاضی برای جداسازی منابع درونی (هسته و پوسته) و بیرونی (مغناطیس-سپهر) میدان مغناطیسی زمین را حل کرد. مقاله‌های Resultate aus den Beobachtungen des magnetischen Vereins (نتایج انجمن های مشاهده‌های مغناطیسی) از سال 1836 تا 1839 منتشر شدند که، در این میان، در سال های 1838 و 1839 دو مقالهٔ بسیار ارزشمند گاوس منشر شد:

Allgemeine Theorie des Erdmagnetismus (نیروی مغناطیسی کلی زمین)

و Allgemeine Lehrsatz (قضیهٔ عمومی) که دربارهٔ نظریهٔ "نیروهای ربایشی مطابق با معکوس توان دوم فاصله" است.


ابزار ها و روش هایی که بدین گونه منسوب به اوست در مشاهده‌های مغناطیسی در سراسر جهان به کار گرفته می‌شوند. از دیگر کارهای او همکاری در اندازه گیری های "هانوفری- دانمارکی" دربارهٔ عملیات مثلثاتی و کمانی بود (1821 – 1848)؛ همچنین دو مقاله را با عنوان Über Gegenstände der höheren Geodäsie (دربارهٔ موضوع برترین نقشه برداری) در سال های 1843 و 1846 منتشر کرد و نیز چندین و چند مقالهٔ دیگر.

گاوس در زمینه‌های گوناگون ریاضی اعم از جبر، هندسه، و حساب دیفرانسیل و انتگرال نوآفرینی های بنیادین بسیاری را ارایه کرده است. گاوس چنین باور داشت که ریاضی باید بازتابی از جهان واقع باشد؛ با این باور، نوآفرینی های او نقشی بنیادین در پیشبرد دانش ریاضی داشته است.


گاوس در ادبیات بسیار چیره دست بود و نیز زبان های مهم اروپایی نوین را به خوبی می‌دانست. او همچنین هموَند "انجمن دانش های پیشرو در اروپا" بود.

او در 23 فوریهٔ 1855 در گوتینگن درگذشت. جشن صد سالگی او در سال 1877 در زادگاهش برانشوایگ برگزار شد.


کارها و پژوهش های گاوس از سوی "انجمن پادشاهی علوم" گوتینگن در سال های 1863 تا 1871 در هفت جلد گردآوری شد که نویسندهٔ آن ها E. J. Schering بوده است؛ نام آن کتاب ها از این قرارند:

1. مقاله‌های حساب (Disquisitiones Arithmeticae)

2. نظریهٔ اعداد

3. تحلیل ریاضی

4. هندسه و روش کم ترین مجذورات

5. فیزیک ریاضیاتی (Mathematical Physics)

6. اخترشناسی

7. نظریهٔ حرکت اجرام آسمانی


بیشتر نوشتارهای ریاضی محض او در جلدهای دوم و سوم و چهارم جای دارند (که باید "ربایش"را که در جلد پنجم است به این ها بیفزاییم).


بعدها چند جلد دیگر هم افزون بر این ها چاپ شد:

Funamente der Geometrie usw (بنیاد هندسه ) (1900)

و Geodatische Nachträge zu Band IV (1903)


که آن ها افزون بر آن که دربردارندهٔ کارهای گوناگون، مقاله ها، نقدها و یادداشت هایی دربارهٔ نوشته‌های خودش و نیز نوشته‌های دیگران در Göttingen gelehrte Anzeigen (اسناد دانش آموختگان گوتینگن) بود، مقدار چشمگیری از موضوع ها و نوشتارهای چاپ نشدهٔ پیشین را نیز دربرداشت، Nachlass (دارایی شخص مرده).

زندگی خانوادگی

زندگی شخصی گاوس در سایهٔ مرگ زودهنگام نخستین همسرش، Johanna Osthoff، در سال 1809 میلادی و در پی آن مرگ پسر یک ساله اش لوییس، در سال 1810، تاریک شده بود. این رویدادها گاوس را به چنان افسردگی فرو برد که هرگز نتوانست از آن رهایی یابد.

او با یکی از دوستان همسرش که Friederica Wilhelmine Waldeck (Minna) نام داشت ازدواج کرد، ولی این ازدواج دوم هم چندان فرخنده نبود. هنگامی که همسر دومش در سال 1831 میلادی، پس از یک بیماری طولانی، درگذشت یکی از دخترانش، Therese، نگهداری خانه و پرستاری از گاوس را تا پایان زندگی او پذیرفت.

گاوس شش فرزند داشت، سه فرزند از هر یک از همسرانش. از یوآنا : Joseph (1806–1873)، Wilhelmina (1808–1846) و Louis (1809–1810). از میان همهٔ فرزندان، ویلهلمینا را می‌توان وارث تمام و کمال هوش گاوس دانست ولی مرگ او در جوانی روی داد. از مینا والدک: Eugene (1811–1896)، Wilhelm (1813–1879) و Therese (1816–1864). اویگِنه پس از کشمکشی که با پدرش داشت در سال 1832 میلادی به آمریکا مهاجرت کرد. ویلهلم هم به کشاورزی پرداخت و پس از آن یک بازرگان موفق کفش شد. ترزه هم ازدواج کرد و تا پایان زندگی گاوس از او پرستاری کرد.

http://www.daneshju.ir

[galexyf]

ژوزف لویی لاگرانژ
در 25 ژانویه سال 1736 در تورینو ایتالیا متولد شد او که از بزرگترین ریاضی دانان تمام ادوار تاریخ می باشد هنگام تولد بیش از حد ضعیف و ناتوان بود و از 11 فرزند خانواده فقط او زنده مانده بود. زندگی لاگرانژ را می توان به سه دوره تقسیم کرد: نخستین دوره شامل سالهایی می شود که در موطنش تورینو سپری شد(1736 – 1766) دوره دوم دوره ای بود که وی بین سالهای 1766 و 1787 در فرهنگستان برلین کار می کرد دوره سوم از 1787 تا 1813 که عمر وی به پایان رسید در پاریس گذشت. دوره اول و دوم از نظر فعالیتهای علمی پر ثمرترین دوره ها بودند که با کشف حساب تغییرات در 1754 آغاز گردید و با کاربرد آن در مکانیک در 1756 ادامه یافت در این نخستین دوره وی در باره مکانیک آسمانی نیز کار کرد دوره اقامت در برلین هم از نظر مکانیک و هم از لحاظ حساب دیفرانسیل وانتگرال سازنده بود با این حال در آن دوره لاگرانژ در درجه اول در زمینه حل عددی و جبری معادلات و حتی فراتر از آن در نظریه اعداد، چهره ای برجسته و ممتاز شده بود. سالهای اقامتش در پاریس را صرف نوشته های آموزشی و تهیه رساله های بزرگی نمود که استنباطهای ریاضی وی را خلاصه می کردند این رساله هادر هنگامی که عصر ریاضیات قرن 18 در شرف پایان بود مقدمات عصر ریاضیات قرن 19 را فراهم کردند و از برخی جهات آن دوره را گشودند. پدر لاگرانژ وی را نامزد آموختن حقوق نمود اما لاگرانژ به محض آنکه تحصیل فیزیک را زیر نظر بکاریا و تحصیل هندسه را زیر نظر فیلیپو آنتونیو رولی آغاز کرد به سرعت متوجه تواناییهای خود شد و بنابراین خویشتن را وقف علوم دقیق تر کرد.
در 1757 چند دانشمند جوان تورینویی که لاگرانژ وکنت سالوتسو و جووانی چنییای فیزیکدان در میان آنها بودند انجمنی علمی بنیاد نهادند که منشاء فرهنگستان سلطنتی علوم تورینو گردید یکی از اهداف اصلی آن انجمن انتشار جنگ بود به زبان فرانسوی و لاتینی به نام (جنگ تورینو) که لاگرانژ خدمتی بنیادی به آن کرد سه جلد اول آن تقریباٌ‌ حاوی تمامی آثاری بود که وی هنگام اقامت در تورینو به چاپ رسانده بود. فعالیت لاگرانژ در مکانیک آسمانی غالباٌ بر محور مسابقه هایی دور می زند که از طرف انجمنهای مختلف علمی پیشنهاد شده بودند اما به این گونه مسابقه ها منحصر نبود. در تورینو غالباٌ‌ کارش جهت گیری مستقل داشت و در 1782 به دالامبر و لاپلاس نوشت که در باره تغییرات قرنی نقطه های نهایی اوج و خروج از مرکز تمام سیارات کار می کند. این پژوهش لاگرانژ به اتنشار کتاب انجامید با عنوان نظریه تغییرات قرنی عناصر سیارات و مقاله ای با عنوان در باره تغییرات قرنی حرکات متوسط سیارات که در سال 1785 منتشر شد. لاگرانژ در برلین و در سال 1768 مقاله حل مسئله ای از حساب را برای جنگ تورینو فرستاد تا در جلد چهارم درج شود در آن نوشته لاگرانژ به نوشته قبلی خود اشاره داشت و از طریق کاربرد ظریف و استادانه الگوریتم کسرهای پیوسته ثابت کرد که معادله فرما (ریاضی دان معروف) را در صورتی می توان در تمام حالات حل کرد که اعداد درست مثبت باشند، این است نخستین راه حل شناخته شده این مسئله مشهور. آخرین بخش این نوشته در مقاله ای با عنوان روش جدید برای حل مسائل نامحدود دراعداد درست بسط یافت که در نشریه یاداشتهای برلین برای سال 1768 عرضه شد ولی تا فوریه آن سال کامل نگردید و در سال 1770 منتشر شد.
از بزرگترین شاهکارههای علمی لاگرانژ رساله مکانیک تحلیلی را می توان نام برد که در سال 1788 انتشار یافت او در آن اثر پیشنهاد کرد که بهتر است نظریه مکانیک و فنون حل کردن مسائل آن رشته به فرمولهایی کلی تحویل شوند، فرمولهایی که هر گاه پیدا شوند همه معادله های لازم برای حل هر مسئله را بوجود خواهند آورد. باری، لاگرانژ تصمیم گرفت که چاپ دومی از آن اثر منتشر کند که حاوی برخی پیشرفتها باشد او قبلاٌ در یادداشتهای انستیتو چند مقاله منتشر کرده بود که آخرین و درخشانترین خدمت وی را در راه پیشبرد مکانیک آسمانی نشان می دادند او قسمتی از آن نظریه را در جلد اول رساله تجدید نظر شده گنجانید. لاگرانژ مردی محجوب ومتواضع بود او بسیار ساده و راحت هنگامی که از یک مطلب علمی اطلاع نداشت می‌گفت نمی دانم.
لاگرانژ در سال 1813 در پاریس درگذشت او در زمان مرگش 77 سال داشت.

لاپلاس
پیتر سیمون لاپلاس در 23 مارس 1749 در حوالی پون لوک فرانسه متولد شد پدرش دهقان فقیری بود و از کودکی خودش اطلاعی در دست نیست لاپلاس از جمله مؤثرترین دانشوران در طول تاریخ می باشد او به محض اینکه ریاضیدان مشهوری شد و افتخاراتی کسب نمود اصل و نسب خود را مخفی نگاه می داشت، مشهور است که لاپلاس برای ملاقات دالامبر ریاضیدان با ارزش در یکی از روزهای سال 1770 به خانه او می رود و با وجود توصیه هایی که ارائه می دهد کمک قابل توجهی از طرف زیاضی دان بزرگ نسبت به او نمی شود لاپلاس مایوس نمی شود و نامه ای برای دالامبر می فرستد و در آن افکار خویش را درباره اصل مکانیک شرح می دهد دالامبر به محض خواندن نامه نویسنده را احضار می کند و به او می گوید چنانچه ملاحظه میکنید من به توصیه و سفارش ترتیب اثر نمی دهم ولی شما برای شناساندن خود وسیله خوبی بدست آوردید دالامبر فوراٌ‌ لاپلاس را به سمت استاد مدرسه نظامی پاریس انتخاب می کند.
در مرحله اول لاپلاس نوشته هایی در باره مسائل حساب انتگرال، اختر شناسی، ریاضی کیهان شناسی نظریه بازیهای بخت آزمایی و علیت تالیف کرد در این دوره سازنده وی سبک و شهرت و موضع فلسفی و برخی شیوه های ریاضی خود را ساخته و پرداخته کرد و برنامه ای برای پژوهش در دو زمینه – احتمالات و مکانیک آسمانی – تنظیم نمود که بقیه عمر را به کار ریاضی در باره آنها پرداخت در مرحله دوم در هر دو زمینه به بسیاری از نتایج عمده ای رسید که به سبب آنها مشهور است و بعدها آنها را در رساله های بزرگ خو«مکانیک سماوی 1799 – 1825) و نظریه تحلیلی(1812) گنجانید اطلاع از بخش اعظم این مسائل به وسیله شیوه های ریاضی صورت گرفت که او در آن زمان یا قبل از آن، به وجود آورد ابداع کرده بود مهمترین آنها عبارتند از توابع مولد، که از آن پس به نام وی خوانده شدند. بسط، که آن نیز در نظریه دترمینانها به نام وی گردید، تغییر مقادیر ثابت به منظور رسیدن به راه حلهای تقریبی در انتگرال گیری عبارتهای اختر شناسی و ابع گرانشی تعمیم یافته که بعدها با دخالت پواسون به صورت تابع پتانسیل برق و مغناطیس قرن 19 در آمد همچنین در طی همین دوره بود که لاپلاس به سومین حوزه علایقش – یعنی فیزیک که با همکاری لاوازیه در زمینه نظریه گرما بود، وارد گردید و تا حدودی در نتیجه آن همکاری بود که وی تبدیل به یکی از اعضای مؤثر حلقه درونی مجمع ملی شد.
اولین مسئله مورد توجه لاپلاس دنبال نمودن کار اسحاق نیوتن بود زیرا اسحاق نیوتن قانون اصلی مکانیک آسمانی را یافته بود و لاپلاس می خواست این قانون را در مورد تمام اجسام منظومه شمسی به کار برد لاپلاس شروع به تعیین قوانین مکانیک سیارات کرد تا نشان دهد که این اجسام مانند سایر اجسام تابع قوانین فیزیکی هستند اولین موضوعی که لاپلاس نزد خود مطرح می کند موضوع ثبات دستگاه شمسی است که آیا به وضعی که داراست می ماند یا بالاخره ماه روی زمین سقوط می کند و سیارات بر جرم خورشید پرتاب شده و معدوم می گردند اسحاق نیوتن هم این سؤال را مطرح کرده بود و به این نتیجه رسیده بود که باید گاهگاهی دست خداوند در کار بیاید و حرکات آنها را به جریان عادی برگرداند ولی لاپلاس گفت اگر چه وضع سیارات نسبت به خورشید تغییر می کند ولی این تغییرات تناوبی است لاپلاس تمام این اکتشافات را تحت عنوان مکانیک آسمانی منتشر ساخت ولی چون فهم مطالبش برای همه کس مقدور نبود لذا تصمیم گرفت کتابی دیگر بنویسد که مردم عادی هم از آن بهره مند گردند این کتاب تحت عنوان شرح دستگاههای جهانی منتشر شد.
لاپلاس علاوه بر نجوم و ریاضیات استادی عالیقدر در علم فیزیک بود و در باره لوله های موئین و انتشار امواج صوتی مطالعات فراوانی داشت از مهمترین آثار لاپلاس تئوری تحلیلی احتمالات را که در سال 1812 نوشته است می توان نام برد لاپلاس را که دانشمندی بی همتا می توان گفت متاسفانه نسبت به تمام حکومتهایی که پی در پی عوض می شدند تملق می گفت و از آنها استفاده می کرد در مقابل ناپلئون تا زانو تعظیم می کرد و به همین علتها بود که از طرف امپراطور به مقامهای کنت – سناتور – ریاست مجلس سنا انتخاب شد با وجود اینها وقتی ناپلئون اسیر شد به او پشت کرد و به عزلش رای داد و خود را در دامان لویی هجدهم انداخت و از طرف او به سمت رئیس کمیته تجدید تشکیلات مدرسه پلی تکنیک و عضو مجلس عیان انتخاب شد. لاپلاس با تمام این اوصاف جوانان را تشویق و کمک می کرد به طوری که روزی یکی از اکتشافات جوان ناشناسی بنام بیو از طرف آکادمی مورد تمجید قرار گرفت او را نزد خود خواند و معلوم گردید لاپلاس قبلاٌ این اکتشاف را مورد مطالعه قرار داده سات.
لاپلاس اواخر عمر را در آرکوری نزدیک پاریس در عمارت ییلاقی خود که نزدیک دوستش برتوله بود گذارنید او روز 5 مارس 1812 در 78 سالگی در گذشت در حالیکه آخرین حرف او این بود: آنچه می دانیم بسیار ناچیز و آنچه نمی دانیم عظیم و وسیع است.

گاسپار مونژ
در سال 1746 در شهر کوچک بون واقع در فرانسه متولد شد. مونژ که فرزند کاسب دوره گردی بود در 16 سالگی به تیزکردن چاقو و قیچی و غیره می پرداخت وی با وسایلی که به دست خود ساخته بود نقشه بزرگی از وطن خود تهیه کرد که مورد توجه و تحسین فراوان واقع شد و نقشه او را در فرمانداری نصب کردند.
معلمین او پس از مشاهده نقشه گفتند او داناتر از آن است که شاگرد ما باشد و او را برای تدریس فیزیک به مدرسه کشیشان شهر لیون فرستادند وی دستیار شارل بوسو، استاد ریاضیات، شد در سال 1768 مونژ جانشین او شد اگر چه مقام استادی نداشت سال بعد به عنوان مدرس فیزیک تجربی در مدرسه جای آبه نوله را گرفت در این سمتهای دو گانه که قسمتی از آن اختصاص به هدفهای علمی داشت مونژ نشان داد که ریاضیدان و فیزیکدانی توانا، طراحی با استعداد، آزمایگشری ماهر و معلمی در تراز اول است. مونژ به مطلعه بعضی از شاخه های هندسه دوباره جان بخشید و کار وی نقطه شروع شکوفایی فوق العاده آن رشته در سده 19 بود علاوه بر این پژوهشهای وی به رشته های دیگر تحلیل ریاضی کشیده شد خصوصاٌ به نظریه معادلات دیفرانسیل جزئی و مسائل فیزیک، شیمی و فناوری. مونژ که معلمی نامدار و رئیس مدرسه ای بی نظیر بود، مسئولیتهای مهم اداری و سیاسی را در طول انقلاب و دوره امپراطوری بر عهده گرفت بنابراین وی یکی از مبتکرترین ریاضیدانان عصر خود بود مونژ خیلی زود کارهای شخصی خود را آغاز کرد پژوهشهای وره جوانی او(1766 – 1772) بسیار متنوع اما جلوه دهنده خصوصیاتی بودند که نشانه استعداد کامل وی بود: از جمله حس تند و تیز درک واقعیت هندسی، علاقه به مسائل علمی، توانایی عظیم تحلیلی و توجه به جنبه های متعدد تحلیلی هندسی. در جریان سالهای 1777 تا 1780 مونژ عمدتاٌ به فیزیک و شیمی علاقه مند بود و مقدمات تهیه آزمایشگاه شیمی مجهزی را برای مدرسه مهندسی فراهم آورد انتخاب شدنش به عضویت فرهنگستان علوم به عنوان هندسه دان دستیار در سال 1780 زندگی مونژ را دگرگون ساخت زیرا وی را مجبور کرد که بر اساس منظمی در پاریس اقامت کند در پاریس در طرحهای فرهنگستان شرکت کرد و مقاله هایی در باره فیزیک و شیمی و ریاضیات تنظیم و عرضه نمود فهرستی از مطالبی که به فرهنگستان تقدیم کرد گواه بر تنوع آنها است: ترکیب اسید نیتریک، ا=تولید سطوح منحنی، معادلات تفاضلی متناهی و معادلات دیفرانسیل جزئی، انعکاس مضاعف و ساختار اسپات اسبند، ترکیب آهن، فولاد و چدن و تاثیر جرقه های برقی و بر گاز بیو کسید کربن، پدیده موئینگی و علل بعضی از پدیده های هواشناختی و بررسی در نور شناسی فیزولوژیک.
وقتی انقلاب در 1789 آغاز شد مونژ در زمره شناخته شده ترین دانشمندان فرانسوی بود او که عضو بسیار فعال فرهنگستان علوم بود شهرتی در ریاضیات و فیزیک و شیمی کسب کرده بود به عنوان ممتحن دانشجویان افسری نیروی دریایی، شاخه ای از مدارس نظامی فرانسه را رهبری می کرد که در آن زمان عملاٌ تنها مؤسسات نظامی بودند که تعلیمات علمی شایسته ای به دانشجویان خود می دادند و این مقام وی را، در هر بندری که از آن دیدار می کرد با دیوانسالارانی در تماس می گذاشت که اندکی بعد تحت مدیریت او قرار می گرفتند این مقام همچنین وی را قادر ساخت که معدنهای آهن، کارخانه ذوب آهن و کارخانه های دیگر را ببیند و بدین ترتیب در کار فلز پردازی و مسائل فناوری خبره و صاحب نظر شود علاوه بر این اصلاح مهمی که در 1776 در روش تعلیم در مدارس نیروی دریایی انجام داده بود وی را برای تلاشهایی آماده ساخت کهدر زمان انقلاب برای تازه کردن روشهای علمی و فنی بر عهده گرفت در سال 1794 مسئولیت تاسیس مدرسه مرکزی کارهای عامه(که بعداٌ به مدرسه پلی تکنیک تبدیل شد) به وی محول گردید مونژ مه در سال 1794 به عنوان معلم هندسه ترسیمی منصوب شد بر عمل تربیت سرکارگران آینده نظارت کرد و هندسه ترسیمی را در دوره های انقلابی که برای تکمیل تربیت دانشجویان آینده طراحی شده بودند تدریس نمود و یکی از فعالترین عضوهای شورای مدیریت بود. این مدرسه پس از دو ماه تاخیر که بر اثر مشکلات سیاسی پیش آمد در سال 1795 به نجومی منظم شروع به کار کرد. هر چند وظایفی که به عنوان سناتور به عهده مونژ محول شد موجب گردید که او چند بار از درسهایش در مدرسه پلی تکنیک دور شود از علاقه شدیدش به مدرسه هیچ کاسته نشد مراقبت دقیق در پیشرفت دانشجویان داشت و کارهای پژوهشی انان را دنبال می کرد و دقت خاصی به برنامه تعلیمات مبذول داشت بیشتر آنچه مونژ در این دوره منتشر کرد برای دانشجویان مدرسه پلی تکنیک نوشته شده بود موفقیت گسترده کتاب او بنام«هندسه ترسیمی) (1799) باعث اشاعه سریع این شاخه جدید هندسه هم در فرانسه و هم در خارج از آن شد. این اثر چند بار چاپ شد.
کار عملی مونژ ریاضیات(شاخه های گوناگون هندسه و تحلیل ریاضی) فیزیک، مکانیک و نظریه ماشینها را در می گرفت اگر چه اطلاع از جزئیات خدمات مونژ به فیزیک بسیار ناچیز است زیرا وی هرگز اثر عمده ای در این زمینه منتشر نساخت خدمات اصلی وی متمرکز بودند بر نظریه آزمایش‌های مربوط به گرما، صوت، برق ساکن، نور شناسی(نظریه سرابها) مهمترین پژوهش مونژ در شیمی مربوط بود به ترکیب آب. خیلی زود، در سال 1781 وی ترکیب اکسیژن با ئیدروژن را در لوله اکسیژن سنج تحقق بخشید و در سال 1783 – همزمان با لاووازیه و بی ارتباط با او – آب را ترکیب کرد. با این که اسباب مونژ بسیار ساده تر بود نتایج اندازه گیریهایش دقیقتر بودند. در قلمرو تجربی در سال 1784 مونژ با همکاری کلوله برای نخسین بار موفق شد که گازی را مایع سازد و آن انیدرید سولفور(بیوکسیدگوگرد) بود.
سراجام بین سالهای 1786 و 1788 مونژ با برتوله و اندر مونه در اصول فلز پردازی و ترکیب آهن و چدن و فولاد به پژوهش پرداخت. مونژ مردی شجاع و از دوستان ناپلئون بود و در سال 1798 به اتفاق او به کشور مصر رفت در این سفر ناپلئون نتوانست او را از شرکت در حمله به اسکندریه منصرف سازد.
بعد از آنکه ناپلئون روانه سنت هلن گردید مخترع هندسه ترسیمی و ایجاد کننده اصلی مدرسه پلی تکنیک هم تمام عناوین خود را از دست داد و از آکادمی رانده شد. مونژ در 28 سال 1818 در 72 سالگی در پاریش درگذشت مخترع هندسه ترسیمی میراثی عظیم از خود به جا گذاشت زیرا ساختن ماشینهای مدرن و عمارات عظیم بدون کمک آن ممکن نیست.

بلزپاسکال
«بلزپاسکال» ریاضیدان، و فیزیکدان، و فیلسوف بزرگ فرانسوی، در قرن 17زندگی می‌کرد. او ماشین حساب را ساخته است. و نیز نشانه‌های کلی بخش پذیری هر عدد صحیح به هر عدد صحیح دیگر را پیدا کرده است. و نیز یک مثلث عددی خاصی ترتیب داده است، که به نام خود او «مثلث پاسکال» نامیده می‌شود. و منظور ما در اینجا آشنایی با همین مثلث است. اما قبل ازاینکه مثلث پاسکال را توضیح دهیم، ناچاریم ابتدا دو عدد مخصوص را بشناسیم:
اولا ّعدد مثلثی چیست؟ این عدد حاصل جمع چند جمله‌ی متوالی یک تصاعد عددی است، که جمله‌ی اول آن 1وقدرنسبتش عددصحیح است. مثلاّ در تصاعد عددی7، 6، 5، 4، 3 ، 2، 1اعداد(1) و (2+1) و (3+2+1)و (4+3+2+1)...و یعنی عددهای 1و3و6و10و15و...را اعداد مثلثی می‌نامند، زیرا با هر یک از آنها می‌توان تشکیل مثلث متساوی‌الاضلاع داد. مثلاّ اگر6 گلوله‌ی را در ردیفهای 1و2و3تایی کنار هم روی میز قرار دهید، یک مثلث متساوی‌الاضلاع تشکیل می‌شود. حال اگر4گلوله‌ی شیشه‌ای دیگر را زیر آنها قرار داده، و ردیف جدید را تشکیل دهید، یک مثلث متساوی‌الاضلاعجدید شامل 10گلوله خواهید‌داشت.
ثانیاّ عدد هرمی چیست؟ گفتیم که با10گلوله‌ی شیشه‌ای می‌توان یک مثلث منتظم تشکیل داد. مثلث قشر دوم را که با6گلوله ساخته می‌شود، و روی آن قرار‌داد. و سرانجام یک گلوله‌ی شیشه‌ای را هم می‌توان روی آنها گذاشت، و با چهار ردیف مثلث، که از گلوله‌های شیشه‌ای تشکیل یافته‌اند، که یک عدد مثلثی بلافاصله بزرگتر زیر آنها بگذاریم، پس با معلوم بودن سری اعداد مثلثی 1و3و6و10و 15و 21و 28و36و 45و 55 و... ساختن اعداد هرمی آسان است: از1 شروع می‌کنیم، مرتباّ تا هر جا که بخواهیم، با عددهای مثلثی پشت سرخود جمع می‌کنیم، تا پشت سرهم عددهای هرمی حاصل شوند. مثلاّ از مجموع 1و3و6و10و15و21عدد56 به دست می‌آید، که یک عدد هرمی است.
و برای پیدا‌کردن عدد هرمی بزرگتر از آن باید روی 56 عدد28را بیفزاییم تا84 به دست‌آید. و حالا مثلث پاسکال: مثلث‌پاسکال به این ترتیب درست شده است، که هرعدد (جز‌واحدهای کنار آن) از مجموع نزدیکترین دو‌عدد بالای آن درست شده است. مثلاّ120حاصل جمع عددهای 84 و36 است، که در ردیف افقی فوقانی آن، و در طرفین عدد مزبور قرار دارند. در این جدول شگفت‌انگیز نخستین ردیف اریب را واحدها تشکیل داده‌اند. در دومین ردیف اریب سری عددهای طبیعی قرار دارند. در سومین ردیف اریب اعداد مثلثی پشت سر هم واقع شده اند. و در چهارمین ردیف اریب عددهای هرمی1و4و10و20و35و56 و... به دنبال هم قرار گرفته‌اند.برای اطلاع از ویژگیهای ردیف اریب باید به فضای چهار بعدی برویم، که فعلاّ از آن صرفنظر می‌کنیم.
شما می‌توانید بین اعداد واقع در این مثلث ویژگیهای عجیب دیگری هم کشف کنید مثلاّ اعداد «فیبوناچی» هم در مثلث پاسکال ظاهر می‌شوند، که گویا خود پاسکال از آن بی‌اطلاع بوده است. در واقع این ویژگی مثلث پاسکال تا نیمه‌ی دوم قرن نوزدهم ناشناخته بود.
برای به دست آوردن اعداد فیبوناچی از مثلث‌پاسکال، کافی است به خطوط اریبی، که بالای این مثلث به موازات هم رسم کرده ایم، توجه کنید.
خواهید‌دید که مجموع عددهای واقع در هر ردیف به ترتیب اعداد فیوناچی را می‌رساند. و شما می‌توانید رسم خطهای اریب را زیرهم ادامه دهید، و مجموع اعداد واقع در روی آنها را به دست آورید، تا سری اعداد فیبوناچی کامل شوند.
از خصوصیات جالب مثلث‌پاسکال این است که مجموع عددها در هر سطر افقی برابر است با توانی از2، مثلاّ اعداد واقع در پنجمین ردیف افقی را اگرجمع کنیم، 16می شود، که برابر24است. و مجموع اعداد ششمین ردیف افقی نیز 32 یا 25است.
و حالا نوبت شماست، که اعداد واقع در این مثلث را به دقت مورد بررسی قرار‌دهید، تا ویژگیهای جدیدی در آن کشف کنید.

اراتستن
اولین فردی که اندازه زمین را دقیق اندازه گرفت، اراتستن (195 ـ 276 قبل از میلاد) ریاضیدان یونانی بود. او می دانست که درظهر اواسط تابستان خورشید در شهر سین، واقع در جنوب خانه اش در اسکندریه مصر، مستقیما درون چاه عمیقی می تابد. او در همان روز زاویه تابش خورشید بر فراز اسکندریه را 2/7 درجه اندازه گرفت. این زاویه برابر است با یک پنجاهم کمان یک دایره. او می دانست که فاصله سین و اسکندریه 772 کیلومتر است و بدین ترتیب محیط زمین را 772×50 یعنی 38600 کیلومتر محاسبه کرد. این رقم به عدد واقعی 40074 کیلومتر بسیار نزدیک است.

ابوالحسن احمدبن ابراهیم اقلیدسی
در هیچ کتاب مأخذی نام اقلیدسی نیامده است و فقط از تنها نسخه کتابش به نام کتاب الفصول فی الحساب الهندی (استانبول، ینی جمع، 802) شناخته می‌شود، که در سرلوحه آن نام مؤلف آمده و نوشته شده که کتاب در دمشق به سال 341/952-953 به رشته تحریر درآمده است. نسخه‌ خطی موجود رد 552/1157 رونویس شده است. مولف در مقدمه‌ کتاب می‌گوید که سفر بسیار کرده، و هر کتابی در حساب هندی را که به دست آورده خوانده، و از هر ریاضیدان سرشناسی که دیده چیزی آموخته است. صفت «اقلیدسی» به نام همه‌ کسانی افزوده می‌شد که از اصول اقلیدس برای تدریس رونویس تهیه می‌کردند؛ پس شاید که وی معاش خود را از این راه تأمین می‌کرده است. قرینه‌های داخلی نشان می‌دهد که وی در تعلیم حساب هندی تجربه‌ای داشته، زیرا که می‌دانسته است مبتدیان چه می‌پرسند و پاسخشان را چگونه باید داد.
کتاب چهار بخش دارد. رد بخش اول ارقام هندی معرفی شده است، ارزش مکانی توضیح گردیده و اعمال حسابی، از جمله گرفتن جذر، تشریح شده است؛ با مثالهای متعدد از عددهای صحیح و کسرهای متعارف، در دستگاههای دهدهی و شصتگانی.
در بخش دوم موضوع در سطح بالاتری توضیح شده و مشتمل است بر طرح 9 به 9 اعداد، و صورتهای متعدد اعمالی که طرح کلی آنها در بخش اول آمده است. مؤلف در مقدمه تصریح می‌کند که در این بخش روشهایی را که حسابگران عملی نامدار به آنها عمل می‌کرده‌اند گرد آورده و به طریق هندی بیان کرده است. این بخش محتوی تقریباً همه طرحهای عمل ضرب است که در کتابهای بعدی لاتینی ظاهر شده است.
در بخش سوم توجیه مفاهیم و مراحل متعددی که در دو بخش اول عرضه گردیده‌اند، معمولاً در جواب به پرسشهای «چرا؟» و «چگونه است که؟»، آمده است.
برای ارزشیابی بخش چهارم گفتن چند کلمه ای بد نیست. در چند سط اول متن کتاب آمده است که حساب هندی، به صورتی که به اعراب رسیده، مستلزم استفاده از چرتکه خاکی (تخت و تراب) است. کمی بعد گفته شده است که اعمال منوط به جا به جا کردن ارقام و پاک کردن آنها است.
مثلاً در ضرب 456 در 329 اعداد بدین صورت نوشته می‌شوند:
329
456
آنگاه 3 در 4 ضرب شده و حاصل به صورت 12 در یک سطر بالاتر از آنها ثبت می شود بعد 3 در 5 ضرب می‌شود و لازمه‌ این کار این است که رقم 5 در سطر بالا نوشته شود و نیز 2 پاک شود و 3 به جای آن نوشته شود، 3 در 6 ضرب می‌شود ایجاب می‌کند که پس از نوشتن 8، رقم 5 که طرف چپ آن است محو گردد و 6 به جای آن گذاشته شود. برای آماده شدن برای گام بعدی سطر پایین به اندازه یک رقم به راست برده می‌شود. آرایش عددها حالا بدین صورت است:
136829
456
456 را باید در 2، که بالای رقم یکان 456 است، ضرب کرد. وضع رقم یکان مضروب در سطر پایین، مضروب فیمه را ـ یعنی عددی را که باید در بس شمرده ضرب شود ـ‌معین می‌کند. مراحلی را که باقی مانده است حالا می‌توان به آسانی پیمود.
آشکار است که کاغذ و مرکب را نمی توان در چنین طرحی به آسانی به کار برد. در بخش چهارم کتاب تغییراتی در طرحهای هندی پیشنهاد شده است که با آنها می‌توان تخت و تراب را کنار گذاشت و کاغذ و مرکب را به جای آن به کار گرفت. اکنون می‌توانیم حکم کنیم که طرحهای اقلیدسی نمایش گام اول ازیک رشته تلاشهایی است که نتیجه آنها نخست در بخش عربی جهان اسلام و چند قرن بعد در بخش شرقی آن، کنار گذاشتن تخت و تراب بود.
پس از آن که اقلیدسی فکر تغییری در هر عمل را پیش آورد پیشنهاد کرد که:
حروف یونانی می‌توانند جانشین ارقام هندی شوند؛
ارقام هندی با نقطه‌هایی که بالای آنها گذاشته شود ممکن است الفبای عربی تازه‌ای تشکیل دهند؛
می‌توان تاسهایی در نظر گرفت که در هر طرف آنها یک یا دو رقم نقش شده باشد و بتوان آنها را به جای چرتکه به کار برد؛
تخته‌ محاسبه‌ای می‌ـوان ترتیب داد که کوران از آن استفاده کنند.
اندیشه‌ دوم در کتابهای دیگر آمده است و اندیشه سوم اَپِکهای بوئتیوس را به یاد می‌آورد. شاید در اینجا اقلیدسی روشهایی را که دیگران آورده‌اند تشریح می‌کند، نه آنکه چیزی ابتکاری عرضه نماید. کتاب با بحثی مستوفا درباره و روش استخراج کعب به پایان می‌رسد.
اقلیدسی از این توفیقات درکتابهایش به خود می بالد:

در بخش نخست همه‌ محتوای متونی را که درباره حساب هندی نوشته شده بوده عرضه کرده و آن را در دستگاه شصتگانی به کار برده است. ما این کتابها را در دست نداریم تا بتوانیم درباره‌ درستی ادعای او اظهار نظر کنیم. Algorismus cor pus لاتینی نشان می‌دهد که حساب هندی به صورتی که خوارزمی (قرن سوم/نهم) آن را عرضه کرده بود با آنچه بعداً در جهان اسلام انتشار یافت فرق اساسی دارد. کاربرد طرحهای هندی در دستگاه شصتگانی رد همه‌ کتابهای حساب که بعدها به عربی نوشته شده دیده می‌شود.
در بخش دوم روشهای را آورده است که فقط حسابدانان سرشناس به آنها واقف بوده‌اند، و روش طرح 9 به 9 را به کسر و جذر نیز سرایت داده است. به قرینه‌ کتابهای بعدی می‌توان به قبول این ادعای اقلیدسی متمایل بود.
در بخش چهارم نشان داده است که حساب هندی دیگر احتیاجی به تخت و تراب ندارد. این تغییر بیشتر مطبوع طبع مغر بزمین بود تا مشرق زمین. در تأیید این گفته می‌توانیم خاطر نشان کنیم که این بنای مراکشی (وفات 721/1321) در یکی از کتابهای حسابش به عنوان چیزی حیرت‌انگیز به این نکته اشراه کرده بود که قدیمیان برای محاسبه از خاک استفاده می‌کرده‌اند، در حالی که خواجه نصیرالدین طوسی (وفات 672/1274) هنوز تخت و تراب را آنقدر مهم می‌دانسته است که درباره‌اش کتابی بنویسد.
در بحث درباره میان جمله‌ nام و مجموع n جمله فوق گذاشته است و مدعی است که حسابگران دیگر آن دو را با هم خلط کرده‌اند.
مدعی است که اولین کسی است که درباره ریشه‌ سوم (کعب) اعداد مطالبی رضایت‌بخش نوشته است. سندی برای ابراز نظر قطعی در مورد دو ادعای اخیر در دست نیست، اما دلایل دیگری داریم برای آن که کتاب الفصول فی الحساب الهندی القیدسی را از بین در حدود صد کتاب عربی موجود از همه بهتر بدانیم.
نخست این که اولین کتاب شناخته شده ای است که مستقیماً به کسرهای اعشاری پرداخته است. مؤلف علامت اعشاری خاصی پیشنهاد می‌کند و در استفاده‌ دایمی از آن اصرار می‌ورزد؛ و آن خطی است که بالای رقم یکان می‌گذارد. در جریان تقسیم متوالی 26 بر 2 این دنباله را بدست می‌آورد: 13، 5/6، 25/3، 625/1، 8125/5. می‌داند که چگونه با ضرب متوالی در 2 و با صرف‌نظر کردن از صفرهای طرف راست بار دیگر عدد 13 را به دست آورد. در فرآیندی که مکرر 135 را به اندازه‌ یک دهم آن زیاد می‌کند این آرایش را به دست می‌آورد:
35/163
335 /16 , 5/148
85/14 , 135
5/13
685/179 35/163 5/148
و بدین قیاس. و نیز برای یافتن ریشه‌های تقریبی اعداد این قاعده‌ها را به کار می‌برد:
و k را مساوی مضربی از 10 اختیار می‌کند.
با این که حسابدانان دیگری هم همین قاعده‌ها را به کار برده‌اند اما همه‌ آنان پس از به دست آوردن کسر اعشاری آن را، ماشین‌وار، به دستگاه شصتگانی می‌بردند بی‌آنکه نشانه ای از این مفهوم اعشاری را درک می‌کنند ظاهر سازند. فقط اقلیدسی است که در موارد متعدد ریشه را در مقیاس دهدهی تعیین می‌کند. در همه‌ اعمالی که توانهای 10 در صورت یا در مخرج دخلیند در کمال راحتی عمل می‌کند.
دوم آن که کتاب اقلیدسی اولین کتابی است که به روشنی معین آن است که حساب هندی وابستگی به تخت و تراب داشته است. مؤلف در مقدمه‌ کتاب دستگاه حساب هندی را با حساب انگشتی، که در آن زمان متداول بوده، می‌سنجد و ارزیابی درستی از خوبیها و نارساییهای هر یک به عمل می‌آورد. حالا معلوم شده است که بوزجانی (328-388/940-977 یا و ابن بنا (وفات 721/1321) طرداً للباب درباره‌ تخت و تراب در حساب هندی مطلبی گفته‌اند، اما این اشاره‌ها مختصرتر از آن بوده است که توجه دانشمندانی را که آنها را مطالعه می‌کرده‌اند به خود جلب کند.