سلام میشه این سوالو حل کنید
سوال ترکیبیات
- rohamavation
نام: roham hesami radرهام حسامی راد
محل اقامت: 100 مایلی شمال لندن جاده آیلستون، لستر، لسترشر. LE2
عضویت : سهشنبه ۱۳۹۹/۸/۲۰ - ۰۸:۳۴
پست: 3286-
سپاس: 5494
- جنسیت:
تماس:
Re: سوال ترکیبیات
این مساله دومینوی کاشیکاری هست ببینید و تعداد روشهای پوشاندن یک m*n برابر ${\displaystyle \prod _{j=1}^{\lceil {\frac {m}{2}}\rceil }\prod _{k=1}^{\lceil {\frac {n}{2}}\rceil }\left(4\cos ^{2}{\frac {\pi j}{m+1}}+4\cos ^{2}{\frac {\pi k}{n+1}}\right).}$هست
من متخصص در زمینه جایگشت و ترکیب نیستم و از اینکه زمینه بیشتری ارائه نکردم صمیمانه عذرخواهی می کنم. با این حال به تلاش برای حل این مشکل ادامه میدهم و اگر چیزی یادم اومد به پستهایم در هوپا اضافه میکنم اگه دوستان هم مطلبی دارن اضافه کنند خوشحال میشم شاید یک ذانش اموز دبیرستانی یا دانشجوی ریاضی راحت حل کند و من دانشجوی هوافضا نمیتونم چون مباحث ترکیب اینها یادم شده ولی یک راه هست میگم
روش های پوشاندن یک مربع 4×4 در 1×2 دومینوی رنگی
ما هشت کاشی 1×2 داریم که هر کدام یک مربع آبی 1×1 و یک مربع قرمز 1×1 دارد. ما می خواهیم یک منطقه 4×4 را با این کاشی ها به گونه ای بپوشانیم که هر ردیف و هر ستون از این ناحیه دقیقاً 2 مربع آبی و 2 مربع قرمز 1×1 داشته باشد. از چند طریق می توانیم این کار را انجام دهیم؟
اول از همه، من سعی کردم تمام راه های ممکن را پیدا کنم که می توانم مربع 4×4 در 1×2 دومینو را بپوشانم. اگر من همه این احتمالات را بدانم، پس برای هر یک از این پوشش ها با به دست آوردن تعداد روش هایی که می تونم این دومینو را به شکل مربع های آبی-قرمز به روشی که در بالا توضیح دادیم کاشی کاری کرد راحت می تونم پاسخ را بدم خوب . مثال چگونه می توانیم یک صفحه شطرنج مستطیلی را با دومینو کاشی کنیم؟ روش فوق بسیارجذاب هست و باید راههای زیادی داشته باشه و همچنین لازم است تمامی امکانات پوشش مربع 4×4 در 1×2 کاشی و برای هر یک از این پوشش ها، تمام راه هایی را که می توان با شرایط سؤال برآورده کرد، به دست آورد. کسی روش ساده تری سراغ داره؟
من از یک ماتریس 4×4 با ورودیهای b (برای آبی)r (برای قرمز) و ⋅ استفاده میکنم تا تعداد کاشیکاریهای فاصلههای ⋅ را با توجه به رنگهای فاصلههای b و r نشان دهیم. از نظر تقارن، مواردی که مربع بالا سمت چپ یا b یا r باشد و در یک دومینوی افقی یا عمودی، تعداد کاشی کاریهای مساوی دارند، بنابراین
$\text{answer} = 4 \pmatrix{b & r & \cdot& \cdot\cr \cdot & \cdot& \cdot& \cdot\cr\cdot &\cdot &\cdot &\cdot\cr\cdot & \cdot& \cdot&\cdot\cr}$
حالا دو عنصر دیگر در ردیف بالا یا میتوانند در یک دومینو باشند (که میتواند در هر جهت باشد، یا دو دومینو عمودی، که دومی باید معکوس اولی باشد. از نظر تقارن این موارد با دومینوهای عمودی دارای به همین ترتیب
$\pmatrix{b & r & \cdot& \cdot\cr \cdot & \cdot& \cdot& \cdot\cr\cdot &\cdot &\cdot &\cdot\cr\cdot & \cdot& \cdot&\cdot\cr} = \pmatrix{b & r & b& r\cr \cdot & \cdot& \cdot& \cdot\cr\cdot &\cdot &\cdot &\cdot\cr\cdot & \cdot& \cdot&\cdot\cr} + \pmatrix{b & r & r & b\cr \cdot & \cdot& \cdot& \cdot\cr\cdot &\cdot &\cdot &\cdot\cr\cdot & \cdot& \cdot&\cdot\cr} + 2 \pmatrix{b & r & r & b\cr \cdot & \cdot & b& r\cr\cdot &\cdot &\cdot &\cdot\cr\cdot & \cdot& \cdot&\cdot\cr}$
بعدش اولین عبارت سمت راست بالا را در نظر بگیرم. ورودی (2،1) می تواند b در یک دومینوی افقی باشد (در این صورت باید دو دومینوی افقی (r,b) در زیر آن وجود داشته باشه) یا r در یک دومینوی افقی (مرتبط با تقارن به جمله آخر بالا) یا b یا r در یک دومینوی عمودی (در هر صورت با یک دومینوی افقی (r,b) در زیر آن). بدین ترتیب
$\pmatrix{b & r & b& r\cr \cdot & \cdot& \cdot& \cdot\cr\cdot &\cdot &\cdot &\cdot\cr\cdot & \cdot& \cdot&\cdot\cr} =
\pmatrix{b & r & b& r\cr b & r & \cdot& \cdot\cr r &b &\cdot &\cdot\cr r & b& \cdot&\cdot\cr} + \pmatrix{b & r & r & b\cr \cdot & \cdot & b& r\cr\cdot &\cdot &\cdot &\cdot\cr\cdot & \cdot& \cdot&\cdot\cr} + \pmatrix{b & r & b& r\cr b & \cdot& \cdot& \cdot\cr r &\cdot &\cdot &\cdot\cr r & b & \cdot&\cdot\cr}
+ \pmatrix{b & r & b& r\cr r & \cdot& \cdot& \cdot\cr b &\cdot &\cdot &\cdot\cr r & b & \cdot&\cdot\cr}$
بقیه اش را به شما می سپارم....hope I helped you understand the question. Roham Hesami, sixth
semester of aerospace engineering
رهام حسامی ترم ششم مهندسی هوافضا
من متخصص در زمینه جایگشت و ترکیب نیستم و از اینکه زمینه بیشتری ارائه نکردم صمیمانه عذرخواهی می کنم. با این حال به تلاش برای حل این مشکل ادامه میدهم و اگر چیزی یادم اومد به پستهایم در هوپا اضافه میکنم اگه دوستان هم مطلبی دارن اضافه کنند خوشحال میشم شاید یک ذانش اموز دبیرستانی یا دانشجوی ریاضی راحت حل کند و من دانشجوی هوافضا نمیتونم چون مباحث ترکیب اینها یادم شده ولی یک راه هست میگم
روش های پوشاندن یک مربع 4×4 در 1×2 دومینوی رنگی
ما هشت کاشی 1×2 داریم که هر کدام یک مربع آبی 1×1 و یک مربع قرمز 1×1 دارد. ما می خواهیم یک منطقه 4×4 را با این کاشی ها به گونه ای بپوشانیم که هر ردیف و هر ستون از این ناحیه دقیقاً 2 مربع آبی و 2 مربع قرمز 1×1 داشته باشد. از چند طریق می توانیم این کار را انجام دهیم؟
اول از همه، من سعی کردم تمام راه های ممکن را پیدا کنم که می توانم مربع 4×4 در 1×2 دومینو را بپوشانم. اگر من همه این احتمالات را بدانم، پس برای هر یک از این پوشش ها با به دست آوردن تعداد روش هایی که می تونم این دومینو را به شکل مربع های آبی-قرمز به روشی که در بالا توضیح دادیم کاشی کاری کرد راحت می تونم پاسخ را بدم خوب . مثال چگونه می توانیم یک صفحه شطرنج مستطیلی را با دومینو کاشی کنیم؟ روش فوق بسیارجذاب هست و باید راههای زیادی داشته باشه و همچنین لازم است تمامی امکانات پوشش مربع 4×4 در 1×2 کاشی و برای هر یک از این پوشش ها، تمام راه هایی را که می توان با شرایط سؤال برآورده کرد، به دست آورد. کسی روش ساده تری سراغ داره؟
من از یک ماتریس 4×4 با ورودیهای b (برای آبی)r (برای قرمز) و ⋅ استفاده میکنم تا تعداد کاشیکاریهای فاصلههای ⋅ را با توجه به رنگهای فاصلههای b و r نشان دهیم. از نظر تقارن، مواردی که مربع بالا سمت چپ یا b یا r باشد و در یک دومینوی افقی یا عمودی، تعداد کاشی کاریهای مساوی دارند، بنابراین
$\text{answer} = 4 \pmatrix{b & r & \cdot& \cdot\cr \cdot & \cdot& \cdot& \cdot\cr\cdot &\cdot &\cdot &\cdot\cr\cdot & \cdot& \cdot&\cdot\cr}$
حالا دو عنصر دیگر در ردیف بالا یا میتوانند در یک دومینو باشند (که میتواند در هر جهت باشد، یا دو دومینو عمودی، که دومی باید معکوس اولی باشد. از نظر تقارن این موارد با دومینوهای عمودی دارای به همین ترتیب
$\pmatrix{b & r & \cdot& \cdot\cr \cdot & \cdot& \cdot& \cdot\cr\cdot &\cdot &\cdot &\cdot\cr\cdot & \cdot& \cdot&\cdot\cr} = \pmatrix{b & r & b& r\cr \cdot & \cdot& \cdot& \cdot\cr\cdot &\cdot &\cdot &\cdot\cr\cdot & \cdot& \cdot&\cdot\cr} + \pmatrix{b & r & r & b\cr \cdot & \cdot& \cdot& \cdot\cr\cdot &\cdot &\cdot &\cdot\cr\cdot & \cdot& \cdot&\cdot\cr} + 2 \pmatrix{b & r & r & b\cr \cdot & \cdot & b& r\cr\cdot &\cdot &\cdot &\cdot\cr\cdot & \cdot& \cdot&\cdot\cr}$
بعدش اولین عبارت سمت راست بالا را در نظر بگیرم. ورودی (2،1) می تواند b در یک دومینوی افقی باشد (در این صورت باید دو دومینوی افقی (r,b) در زیر آن وجود داشته باشه) یا r در یک دومینوی افقی (مرتبط با تقارن به جمله آخر بالا) یا b یا r در یک دومینوی عمودی (در هر صورت با یک دومینوی افقی (r,b) در زیر آن). بدین ترتیب
$\pmatrix{b & r & b& r\cr \cdot & \cdot& \cdot& \cdot\cr\cdot &\cdot &\cdot &\cdot\cr\cdot & \cdot& \cdot&\cdot\cr} =
\pmatrix{b & r & b& r\cr b & r & \cdot& \cdot\cr r &b &\cdot &\cdot\cr r & b& \cdot&\cdot\cr} + \pmatrix{b & r & r & b\cr \cdot & \cdot & b& r\cr\cdot &\cdot &\cdot &\cdot\cr\cdot & \cdot& \cdot&\cdot\cr} + \pmatrix{b & r & b& r\cr b & \cdot& \cdot& \cdot\cr r &\cdot &\cdot &\cdot\cr r & b & \cdot&\cdot\cr}
+ \pmatrix{b & r & b& r\cr r & \cdot& \cdot& \cdot\cr b &\cdot &\cdot &\cdot\cr r & b & \cdot&\cdot\cr}$
بقیه اش را به شما می سپارم....hope I helped you understand the question. Roham Hesami, sixth
semester of aerospace engineering
رهام حسامی ترم ششم مهندسی هوافضا