![تصویر](https://s6.uupload.ir/files/nl0ol_s2um.png)
نماد نشان می دهد که انتگرال خط روی یک منحنی بسته گرفته می شود.$\mathbf{F}\left( {x,y,z} \right) = \big( {P\left( {x,y,z} \right), Q\left( {x,y,z} \right), R\left( {x,y,z} \right)} \big)$
ما فرض می کنیم یک جهت هم روی سطح و هم در منحنی وجود دارد که با قانون دست راست مرتبط هستند. یعنی اگر بخواهید دور منحنی در جهت دلخواه خود راه بروید و سرتان در همان جهت بردار معمولی به سطح باشد، سطح همیشه در سمت چپ شما خواهد بود $\oint\limits_C {\mathbf{F} \cdot d\mathbf{r}} = \iint\limits_S {\left( {\nabla \times \mathbf{F}} \right) \cdot d\mathbf{S}} ,$
جهت گیری سطح و منحنی با قانون دست راست مرتبط است.$\nabla \times \mathbf{F}
= \left| {\begin{array}{*{20}{c}}
\mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k}\\
{\frac{\partial }{{\partial x}}}&{\frac{\partial }{{\partial y}}}&{\frac{\partial }{{\partial z}}}\\
P&Q&R
\end{array}} \right|
= \left( {\frac{{\partial R}}{{\partial y}} - \frac{{\partial Q}}{{\partial z}}} \right)\mathbf{i}
+ \left( {\frac{{\partial P}}{{\partial z}} - \frac{{\partial R}}{{\partial x}}} \right)\mathbf{j}
+ \left( {\frac{{\partial Q}}{{\partial x}} - \frac{{\partial P}}{{\partial y}}} \right)\mathbf{k}$
قضیه استوک انتگرال های خطی میدان های برداری را به انتگرال های سطحی میدان های برداری مرتبط می کند.
به صورت مختصات، قضیه استوک را می توان به صورت نوشتاری نوشت$\oint\limits_C {Pdx + Qdy + Rdz} = \iint\limits_S {\left( {\frac{{\partial R}}{{\partial y}} - \frac{{\partial Q}}{{\partial z}}} \right)dydz + \left( {\frac{{\partial P}}{{\partial z}} - \frac{{\partial R}}{{\partial x}}} \right)dzdx + \left( {\frac{{\partial Q}}{{\partial x}} - \frac{{\partial P}}{{\partial y}}} \right)dxdy} .$اساس این قضیه در مورد معنای ∇×F است.که این تعریف را می توان به صورت زیر نوشت:
مختصههای F در مکان r، که یکی نرمال و دیگری مماس بر منحنی بستهٔ C است. که در یک صفحه است و بردار سطح مسطحی را میپوشاند. A = An̂.دقت کنید ${\displaystyle (\nabla \times F).{\widehat {n}}\equiv \lim _{A\to 0}{\oint \limits _{c}F.ds \over A}}$اولین نکته ای که باید به آن اشاره کرد این است که کل قضیه استوکس این است که انتگرال پیچ روی سطح برابر است با انتگرال تابع اطراف منحنی که سطح را محدود می کند:
$\iint_S (\operatorname{curl}{\mathbf{F}}) \cdot \mathbf{n} \, dS = \int_C \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r}.$
این بدان معنی است که اگر نیاز به محاسبه مقدار یکی از این انتگرال ها داشته باشیم، می توانیم از دیگری استفاده کنیم: به دلایل عملی، ممکن است انجام یکی از دیگری بسیار آسان تر باشد. به عنوان مثال، S ممکن است یک چیز بسیار پیچیده باشد، اما با چیزی ساده مانند یک دایره محدود شده است. یا ممکن است پیچ فیلد برداری ناپدید شود. یا، ممکن است یک منحنی بد با گوشهها در آن داشته باشیم، مانند یک مربع، که در واقع پارامتری کردن فضای داخلی به عنوان یک سطح آسانتر است.
این به طور مؤثری به همان قضیه اساسی حساب می رسد: فقط در دو بعد، آزادی بسیار بیشتری در انتخاب مسیر ادغام وجود دارد، بنابراین سادگی نسبی هر دو طرف بسیار متفاوت است.
نکته دیگری که باید به آن فکر کنید اعداد است: فرض کنید من می خواهم انتگرال یک میدان برداری را روی یک سطح به صورت عددی محاسبه کنم. این حدود n2 امتیاز است که من باید تابع را در آن ارزیابی و جمع کنم. اما اگر بتوانم میدانی را پیدا کنم که میدان اصلی آن کرل باشد، میتوانم فقط n ارزیابی روی منحنی اطراف سطح انجام دهم.فرض کنید D بخشی از $z=1-x^2-y^2$ بالای صفحه xy، جهتدار به بالا باشد، و اجازه دهید$\vec{F}=\langle xy^2,-x^2y,xyz\rangle$ باشد. محاسبه کنید
$\iint_{D}^{}(\nabla\times \vec{F})\cdot \hat{n}dS$
اینم کار من:
$\nabla\times \vec{F}=\langle xz,-yz,-4xy\rangle$
$\vec{f}(r,\theta) = \bigl\langle r\cos\theta ,r\sin\theta ,1-r^2 \bigr\rangle$
$\frac{\partial\vec{f} }{\partial r}= \langle\cos\theta,\sin\theta,-2r\rangle$
$\widehat{n}= \biggl\langle \frac{2r\cos\theta}{\sqrt{3}} ,\frac{2r\sin\theta }{\sqrt{3}},\frac{1}{\sqrt{3}}\biggr\rangle$
ادغام، من دارم
$\frac{1}{\sqrt{3}}\int_{0}^{2\pi }\int_{0}^{1}2r^2\cos^2\theta (1-r^2)-2r^2\sin^2\theta (1-r\cos\theta )-4r\sin\theta\cos\theta\,dr\,d\theta$
پس از تقسیم انتگرال به سه انتگرال، من دارم
$\frac{1}{\sqrt{3}}\int_{0}^{2\pi }\int_{0}^{1}-2r^2\sin^2\theta (1-r\cos\theta )\,dr\,d\theta=-\frac{2\pi }{3\sqrt{3}}$
$\frac{1}{\sqrt{3}}\int_{0}^{2\pi }\int_{0}^{1}2r^2\cos\theta (1-r^2)\,dr\,d\theta =0$
$\frac{1}{\sqrt{3}}\int_{0}^{2\pi }\int_{0}^{1}-2r\sin(2\theta )\,dr\,d\theta =0$
$=-\frac{2\pi }{3\sqrt{3}}+0+0$
اما جواب صفر است. اگر قضیه استوکس را اعمال نکنید (یعنی اصرار دارید انتگرال حلقه را روی سطح D محاسبه کنید)، آنگاه باید
$\begin{align}
\iint_D(\nabla\times\vec F)\cdot\mathrm d\vec S&=\iint_D\langle xz,-yz,-4xy\rangle\cdot\vec n\,\mathrm dS\\[1ex]
&=\iint_D \langle r(1-r^2)\cos\theta,-r(1-r^2)\sin\theta,-4r^2\cos\theta\sin\theta\rangle\cdot\vec n\,\mathrm dS
\end{align}$
جایی که تمام کاری که من در اینجا انجام دادهام محاسبه کرل $\vec F$ و ترکیب آن با $\vec F$ برای جایگزینی$x\to r\cos\theta$، و $z\to1-r^2$است. بردار معمولی است
$\vec n=\frac{\partial\vec f}{\partial r}\times\frac{\partial\vec f}{\partial\theta}=\langle2r^2\cos\theta,2r^2\sin\theta,r\rangle$
بنابراین انتگرال سطحی به کاهش می یابد
$2\int_0^{2\pi}\int_0^1 \left(r^3(\cos(2\theta)-\sin(2\theta))-r^5\cos(2\theta)\right)\,\mathrm dr\,\mathrm d\theta$
توجه داشته باشید که شما بیشتر از آنچه لازم است کار می کنید
$\vec n\,\mathrm dS=\left\|\frac{\partial\vec f}{\partial r}\times\frac{\partial\vec f}{\partial\theta}\right\|\frac{\left(\frac{\partial\vec f}{\partial r}\times\frac{\partial\vec f}{\partial\theta}\right)}{\left\|\frac{\partial\vec f}{\partial r}\times\frac{\partial\vec f}{\partial\theta}\right\|}\,\mathrm dr\,\mathrm d\theta=\left(\frac{\partial\vec f}{\partial r}\times\frac{\partial\vec f}{\partial\theta}\right)\,\mathrm dr\,\mathrm d\theta$
بنابراین شما به شدت نیازی به عادی سازی بردار عادی ندارید.
اگر بخواهید قضیه استوکس را اعمال کنید، انتگرال در مقایسه بی اهمیت است (من جزئیات را حذف کرده ام):
$\int_C \vec F\cdot\mathrm d\vec r=-\int_0^{2\pi}\left(\cos^3\theta\sin\theta-\cos\theta\sin^3\theta\right)\,\mathrm d\theta$
و هر دو در واقع ارزش یکسانی دارندفرض کنید S یک سطح هم جهت در R3 با مرز C باشد، و بگذارید $f: \mathbb R^3 \to \mathbb R^3$ یک میدان برداری پیوسته قابل تمایز در R3 باشد.
قضیه استوکس بیان می کند که
$\int_C f \cdot dr = \int_S (\nabla \times f) \cdot dA.$
به عبارت دیگر، انتگرال خط f بر روی منحنی C برابر است با انتگرال پیچش f روی سطح S. در اینجا جهت گیری مرز C با جهت گیری S القا می شود.hope I helped you understand the question. Roham Hesami, sixth
semester of aerospace engineering
![smile072 smile072](./images/smilies/Emoji_Animals_Nature_32/166.png)
![smile072 smile072](./images/smilies/Emoji_Animals_Nature_32/166.png)
![تصویر](https://s6.uupload.ir/files/signature_%287%29_72pu.png)