مسئله سخت ریاضی - قدر نسبت دنباله

مدیران انجمن: parse, javad123javad

ارسال پست
عثمان بیگ

عضویت : شنبه ۱۴۰۱/۱۰/۱۰ - ۱۴:۲۶


پست: 6



مسئله سخت ریاضی - قدر نسبت دنباله

پست توسط عثمان بیگ »

مجموع پنج جمله اول یک دنباله حسابی برابر 40 و مجموع 3 جمله اول 3 برابر جملات بعدی است قدر نسبت این دنباله چند است؟ لطفاً سریعتر جواب بدید

نمایه کاربر
rohamavation

نام: roham hesami radرهام حسامی راد

محل اقامت: فعلا تهران قیطریه بلوار کتابی 8 متری صبا City of Leicester Area of Leicestershire LE7

عضویت : سه‌شنبه ۱۳۹۹/۸/۲۰ - ۰۸:۳۴


پست: 2469

سپاس: 4615

جنسیت:

تماس:

Re: مسئله سخت ریاضی - قدر نسبت دنباله

پست توسط rohamavation »

در تصاعد حسابی arithmetic progression AP
فرمول $a_n = a_1 + (n − 1)d$و $𝑠_𝑛 =
n/2
[2𝑎_1 + (𝑛 − 1)𝑑]$ خوب اینجا مجموع جملات چهارم و پنجم شما 10هست .و طبق فرمول $2a_1+7d=10$و همچنین $7a_1+10d=40$خوب d=-2,$a_1=12$حالا $a_n = 12 -2 (n − 1)$
در یک تصاعد هندسی، GP geometric progressionفرمول $\large {\displaystyle a , \ a\ r, \ a\ r^2, \ a\ r^3, \ \ldots, \quad \quad r \neq 0 }$که جمله عمومی ان $\large {\displaystyle x_n = a \ r^{( n -1)} , \; n \geq 1}$همچنین $\large {\displaystyle x_n = r \ x_{ n-1} , \; n \geq 1}$و مجموع ان هم $\large {\displaystyle \sum_{i = 0}^{ n} a r^{ i}={ \dfrac {a ( 1 – r^{n + 1})}{ 1- r}}}$
مجموع جمله های 2 و 3 برابر12 و مجموع جمله های 3 و 4 برابر با 60 است. نسبت مشترک جمله اول را بیابید.راه حل $\begin{alignat*}{3}
ar & + & ar^2 & = 12 \tag{1}\\
ar^2 & + & ar^3 & = 60 \tag{2}
\end{alignat*}$و $0 = 60 - 12r \tag{3}$و $(5)a+(5^2)a=12 \to 30a = 12 \to a = \frac{2}{5}$یا $\begin{align*}
a = \frac{12}{r + r^2} \\
ar^2 + ar^3 = 60
\end{align*}$و$\begin{align*}
a = \frac{12}{r + r^2} \\
\frac{12}{r + r^2}r^2 + \frac{12}{r + r^2}r^3 = 60
\end{align*}$و$\begin{align*}
\frac{12}{r + r^2}r^2 + \frac{12}{r + r^2}r^3 = 60\frac{12}{r + r^2}\frac{r + r^2}{12}
\end{align*}$و $\begin{align*}
12r^2 + 12r^3 = 60(r + r^2)
\end{align*}$
گاهی تصاعد حسابی-هندسی (AGP) پیشرفتی است که در آن هر عبارت را می توان به عنوان حاصل ضرب ترم های یک پیشروی یا تصاعدحسابی (AP) و یک پیشروی هندسی (GP) نشان داد.به عبارت یگه پیشروی حسابی- هندسی (AGP): این دنبالهای که در آن هر عبارت از حاصل ضرب یک پیشرفت حسابی و یک تصاعد هندسی تشکیل شده است. در متغیرها به نظر می رسدکه در آن a عبارت اولیه، d تفاوت مشترک و r نسبت مشترک است.$^a,(a+d)r,(a+2d)r
2
,(a+3d)r
3^
,…,[a+(n−1)d]r
n−1^
,$
چند عبارت اول یک دنباله حسابی-هندسی متشکل از یک پیشرفت حسابی (به رنگ آبی) با اختلاف ${\displaystyle d}$ و مقدار اولیه$ {\displaystyle a}$ و یک پیشرفت هندسی (به رنگ سبز) با مقدار اولیه ${\displaystyle b}$ و نسبت مشترک ${\displaystyle r}$
که ${\displaystyle {\begin{aligned}t_{1}&=\color {blue}a\color {green}b\\t_{2}&=\color {blue}(a+d)\color {green}br\\t_{3}&=\color {blue}(a+2d)\color {green}br^{2}\\&\ \,\vdots \\t_{n}&=\color {blue}[a+(n-1)d]\color {green}br^{n-1}\end{aligned}}}$مجموع n جمله اول یک دنباله حسابی-هندسی ${\displaystyle {\begin{aligned}S_{n}&=\sum _{k=1}^{n}t_{k}=\sum _{k=1}^{n}\left[a+(k-1)d\right]br^{k-1}\\&=ab+[a+d]br+[a+2d]br^{2}+\cdots +[a+(n-1)d]br^{n-1}\\&=A_{1}G_{1}+A_{2}G_{2}+A_{3}G_{3}+\cdots +A_{n}G_{n},\end{aligned}}}$در نهایت ${\displaystyle {\begin{aligned}S_{n}&={\frac {ab-(a+nd)\,br^{n}}{1-r}}+{\frac {dbr\,(1-r^{n})}{(1-r)^{2}}}\\&={\frac {A_{1}G_{1}-A_{n+1}G_{n+1}}{1-r}}+{\frac {dr}{(1-r)^{2}}}\,(G_{1}-G_{n+1}).\end{aligned}}}$
یک سوال دیگه مسئله ای در مورد دنباله های حسابی و هندسی سه جمله اول یک دنباله هندسی نیز جزء اول، یازدهم و شانزدهم یک دنباله حسابی هستند. شرایط دنباله هندسی همه متفاوت است. مجموع تا بی نهایت دنباله هندسی 18 است. نسبت مشترک دنباله هندسی و تفاوت مشترک دنباله حسابی را بیابید.$ur=u+10d$و$ur^2=u+15d$و $u/(1-r)=18$پس میشه دریافت خواهید کرد
$a_2=a_1q,a_3=a_1q^2$و$\sum_{k=0}^\infty a_1 q^k=a_1\frac{1}{1-q}$
و$a_1=b_1,a_2=b _1+10d,a_3=b_1+15d$می توانید ادامه دهید؟ با استفاده از معادله خود به دست خواهید آورد
$a_1=b_1$و$a_q=b_1+10d$.$a_1q^2=b_1+15d$واز آنجا که$a_1=b_1$ما بدست می آوریم$a_1q=a_1+10d$
$a_1q^2=a_1+15d$وبا حذف q بدست می آوریم$a_1\left(\frac{a_1+10d}{a_1}\right)^2=a_1+15d$
از اینجا معادله را بدست می آوریم$5a_1d+100d^2=0$بنابراین$a_1=-20d$اگرd≠0حل این ما می گیریم$q=\frac{1}{2}$پس $b_1,b_2,b_3 \iff a_1,a_{11},a_{16} \Rightarrow \\
\begin{cases}b_2-b_1=10d \\ b_3-b_2=5d\end{cases} \Rightarrow
\begin{cases}b_1(q-1)=10d \\ b_1(q^2-q)=5d\end{cases} \Rightarrow q=\frac12.\\
\frac{b_1}{1-q}=18 \Rightarrow b_1=9;\\
b_1(q-1)=10d \Rightarrow d=-\frac9{20}.\\$
مسئله دنباله هندسی شامل مجموع اعداد
اعداد: a،b،c،d دنباله هندسی تولید می کنند و a+b+c+d=-40. اگر $a^2+b^2+c^2+d^2=3280$ این اعداد را پیدا کنیدبگذارید $\frac{b}{a}=q$ و $1+q^2=2uq.$بنابراین، $|u|\geq1$
$a=-\frac{40}{1+q+q^2+q^3}$و$a^2(1+q^2+q^4+q^6)=3280,$که می دهد$\frac{1600}{(1+q)^2(1+q^2)^2}\cdot(1+q^2)(1+q^4)=3280$یا$20(1+q^4)=41(1+q)^2(1+q^2)$یا$10(2u^2-1)=41(u+1)u$یا$21u^2+41u+10=0,$که می دهد$u=-\frac{5}{3},$$q\in\left\{-3,-\frac{1}{3}\right\}.$راه ساده فرض کنید r نسبت مشترک GP باشد. سپس با استفاده از فرمول جمع GP، داریم،
$\begin{align}
a+b+c+d=-40&\implies a\left(\dfrac{r^4-1}{r-1}\right)=-40\tag1\\
a^2+b^2+c^2+d^2=3280&\implies a^2\left(\dfrac{r^8-1}{r^2-1}\right)=3280\tag2
\end{align}$حالا معادله دوم را از مربع معادله اول تقسیم کنید تا به دست آورید$\begin{equation}
\dfrac{(r^4+1)(r-1)}{(r^4-1)(r+1)}=\dfrac{41}{20}\tag3
\end{equation}$در اخر $\begin{equation}
r\in\left\{-3,-\dfrac13\right\}
\end{equation}$آیا می توان یک رشته حسابی را با یک دنباله هندسی ترکیب کرد، اما ابتدا جمع کرد و سپس ضرب کرد؟در این روش برای حل توالی حسابی و هندسی ترکیبی را مشاهده می کنید، اما برای اینکه این معادله کار کند باید ابتدا ضرب کنید و سپس بعد را جمع کنید. من می خواهم بتوانم این کار را برعکس انجام دهم.
من می دانم که تا حدودی با انجام موارد زیر به این امر کمک می کنم:
$𝑎𝑛=((𝑎+𝑑)⋅𝑞+𝑑)⋅𝑞$شما فقط می توانید به اضافه کردن: { ⋅𝑞+ معادله. یعنی اگر بخواهم ترم 5 را پیدا کنم n=5 و غیره.
𝑎𝑛 - ترم n، به عنوان مثال، جمله پنجم دنباله
𝑎 - مقدار اصلی یا اولین مقدار در سری
𝑑 - مقداری که هر بار اضافه می شود
𝑞 - مقدار ضرب شده
$a_{n+1} = qa_n + d$
$b_{n+1} = q(b_n+d) = q b_n + qd = qb_n + C$
$\begin{align}
a_n &= \bigg( \Bigl( \bigl( (a_1 + d) \cdot q + d \bigr) \cdot q + d \Bigr) \cdot q + d \bigg) \cdot q + \cdots \\
\\
&= \Bigl( \bigl( (a_1q + dq + d) \cdot q + d \bigr) \cdot q + d \Bigr) \cdot q + \cdots \\
\\
&= \bigl( (a_1q^2 + dq^2 + dq + d) \cdot q + d \bigr) \cdot q + \cdots \\
\\
&= (a_1q^3 + dq^3 + dq^2 + dq + d) \cdot q + \cdots \\
\\
& \;\; \vdots \\
\\
&= a_1q^{n-1} + dq^{n-1} + dq^{n-2} + \cdots + dq \\
\\
&= a_1q^{n-1} + dq \; (q^{n-2} + q^{n-3} + \cdots + 1) \\
\\
&= \boxed{ a_1q^{n-1} + dq \left( \frac{q^{n-1}-1}{q-1} \right) }
\end{align}$
مساحت مثلث متساوی الساقین که مماس برخی از زوایا در آن در سیر هندسی است.در $\triangle ABC$ ما $AB=BC$و $\overline{BD}$ارتفاع است. نقطه E روی بسط $\overline{AC}$ است به طوری که $\overline{BE}=10$. مقادیر $tanCBE،$ و$tanDBE$ و $tanABE$ یک پیشرفت هندسی را تشکیل می دهند و مقادیر$ cotDBE$، $cotCBE$ و $cotDBC $یک پیشرفت حسابی را تشکیل می دهند. مساحت $\triangle ABC$ چقدر است؟
من خیلی روی این مشکل گیر کردم اولین فکر من تبدیل کوتانژانت به مماس بود، اما خیلی سریع به هم ریخت. برای یافتن مساحت $\triangle ABC$ باید از پایه و ارتفاع یا BD و AE استفاده کنیم.من اینطور می‌توانم آن طول‌ها را پیدا کنم. تصویر
میدونی که $\triangle ABC$ متساوی الساقین است و D نقطه وسط قاعده در مقابل B است. علاوه بر این، $\triangle BDE$یک مثلث قائم الزاویه است.
فرض کنید $\theta = \angle DBE$ و $\phi = \angle DBC$، بنابراین$\tan \angle CBE = \tan (\theta - \phi)$ و $\tan \angle ABE = \tan(\theta+\phi)$. با استفاده از فرمول های حاصل جمع و تفاضل، به دست می آوریم
$\tan \angle CBE = \frac{\tan\theta-\tan \phi}{1+\tan\theta\tan \phi} = \frac{x-y}{1+xy}$
$\tan \angle ABE = \frac{\tan\theta+\tan \phi}{1-\tan\theta\tan \phi} = \frac{x+y}{1-xy}$
که در آن$x=\tan\theta$ و $y=\tan \phi$ برای یک پیشرفت هندسی، ما نیاز داریم $\frac{\frac{x-y}{1+xy} }{x} = \frac{x}{ \frac{x+y}{1-xy} }$ساده سازی،$x^2 = \frac{x^2-y^2}{1-x^2y^2}$
$x^4 = 1$بنابراین تنها راه حل معتبر x=1 یا $\angle DBE = \frac{\pi}{4}$ است.
با نگاه کردن به کوتانژانت‌ها،$\cot\angle DBE = 1$ و$\cot\angle CBE = \frac{1+y}{1-y}$و$\cot\angle DBC = \frac{1}{y}$باید یک پیشرفت حسابی تشکیل دهند، بنابراین$\frac{1+y}{1-y} - 1 = \frac{1}{y} - \frac{1+y}{1-y}$
ساده سازی،$3y^2-2y-1=0$بنابراین$y = \frac{1}{3},-1$. واضح است که$\frac{1}{3}$ تنها راه حل منطقی است. اکنون مساحت $\triangle ABC = \overline{BD}^2 \tan\angle DBC = \left(\frac{10}{\sqrt{2}}\right)^2 y = \frac{50}{3}$
از این نو مسایل خیلی هست خودت تو کتابتون میبینی
تصویر

ارسال پست