مشتق مرتبه n ام تابع نمایی طبیعی

[پرتوزا]

تابع $u(x)$ مفرض است. آیا فرمول کلی برای
$$\frac{d^n}{dx^n}(e^{u(x)})$$
برجسب مرتبه مشتق $n$ و مشتقات $u$ وجود دارد؟

[rohamavation]

جوابتون فاددی برونو${d^n \over dx^n} f(g(x))=\sum \frac{n!}{m_1!\,1!^{m_1}\,m_2!\,2!^{m_2}\,\cdots\,m_n!\,n!^{m_n}}\cdot f^{(m_1+\cdots+m_n)}(g(x))\cdot \prod_{j=1}^n\left(g^{(j)}(x)\right)^{m_j}$با توجه چند جمله ای بل ${d^n \over dx^n} f(g(x)) = \sum_{k=1}^n f^{(k)}(g(x))\cdot B_{n,k}\left(g'(x),g''(x),\dots,g^{(n-k+1)}(x)\right).$
فرمول برونو از چون که مشتق نمایی خود نماییه پس ساده ترین عبارت که بر حسب چندجمله ای های بل کامل در مشتقات f هستش البته با چند جمله ای های بل که معمولاً به صورت بازگشتی تعریف میشن
ببین$\begin{align*}
\frac{d^n}{dx^n}\exp\big(f(x)\big) = \, & \sum_{k=1}^n \exp\big(f(x)\big) \cdot B_{n,k}\big(f'(x), f''(x), \dots, f^{(n-k+1)}(x)\big) \\
= \, & \exp\big(f(x)\big) \sum_{k=1}^n B_{n,k}\big(f'(x), f''(x), \dots, f^{(n-k+1)}(x)\big)
\end{align*}$
فرض $\frac{d}{dt}\left(f(t) \cdot g(t)\right)$داری میخوای مشتق انم رو بگیری برحسب t خوب $\frac{d^n}{dt^n}\big(f(t)g(t)\big) = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} f^{(k)}(t) g^{(n-k)}(t)$با انتخاب$f(t) = w(t)$و$g(t) = w'(t)$الان $\frac{d^n}{dt^n}(ww') = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} w^{(k)} w^{(n-k+1)}$پس$\binom{n}{0}w^{(0)}w^{(n+1)} + \binom{n}{1}w^{(1)}w^{(n)} + \binom{n}{2}w^{(2)}w^{(n-1)} + \cdots$ اگر با $ww' = - uu' - vv'$ شروع کنم خوب $\frac{d^n}{dt^n}$
عبارت $w^{(n+1)}$ را جدا کنم$w^{(n+1)} = -\frac{1}{w}\Big(uu^{(n+1)} + vv^{(n+1)} + \sum_{k=1}^n \binom{n}{k} \big(w^{(k)}w^{(n-k+1)} +u^{(k)}u^{(n-k+1)} + v^{(k)}v^{(n-k+1)}\big)\Big)$
توجه کن که من k=0 را حذف کردم

[پرتوزا]

جوابتون فاددی برونو${d^n \over dx^n} f(g(x))=\sum \frac{n!}{m_1!\,1!^{m_1}\,m_2!\,2!^{m_2}\,\cdots\,m_n!\,n!^{m_n}}\cdot f^{(m_1+\cdots+m_n)}(g(x))\cdot \prod_{j=1}^n\left(g^{(j)}(x)\right)^{m_j}$با توجه چند جمله ای بل ${d^n \over dx^n} f(g(x)) = \sum_{k=1}^n f^{(k)}(g(x))\cdot B_{n,k}\left(g'(x),g''(x),\dots,g^{(n-k+1)}(x)\right).$
فرمول برونو از چون که مشتق نمایی خود نماییه پس ساده ترین عبارت که بر حسب چندجمله ای های بل کامل در مشتقات f هستش البته با چند جمله ای های بل که معمولاً به صورت بازگشتی تعریف میشن
ببین$\begin{align*}
\frac{d^n}{dx^n}\exp\big(f(x)\big) = \, & \sum_{k=1}^n \exp\big(f(x)\big) \cdot B_{n,k}\big(f'(x), f''(x), \dots, f^{(n-k+1)}(x)\big) \\
= \, & \exp\big(f(x)\big) \sum_{k=1}^n B_{n,k}\big(f'(x), f''(x), \dots, f^{(n-k+1)}(x)\big)
\end{align*}$
فرض $\frac{d}{dt}\left(f(t) \cdot g(t)\right)$داری میخوای مشتق انم رو بگیری برحسب t خوب $\frac{d^n}{dt^n}\big(f(t)g(t)\big) = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} f^{(k)}(t) g^{(n-k)}(t)$با انتخاب$f(t) = w(t)$و$g(t) = w'(t)$الان $\frac{d^n}{dt^n}(ww') = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} w^{(k)} w^{(n-k+1)}$پس$\binom{n}{0}w^{(0)}w^{(n+1)} + \binom{n}{1}w^{(1)}w^{(n)} + \binom{n}{2}w^{(2)}w^{(n-1)} + \cdots$ اگر با $ww' = - uu' - vv'$ شروع کنم خوب $\frac{d^n}{dt^n}$
عبارت $w^{(n+1)}$ را جدا کنم$w^{(n+1)} = -\frac{1}{w}\Big(uu^{(n+1)} + vv^{(n+1)} + \sum_{k=1}^n \binom{n}{k} \big(w^{(k)}w^{(n-k+1)} +u^{(k)}u^{(n-k+1)} + v^{(k)}v^{(n-k+1)}\big)\Big)$
توجه کن که من k=0 را حذف کردم

سلام. واقعا ممنونم ازت! نمی‌دونم چطوری تشکر کنم!!!! بسیار عالی!!! کلا این مسئله مدتی بود که نمی‌تونستم چطوری حلش کنم و حتی استادمم نتونست جواب درست و حسابی بده!!!