- مقدمه:
$$S_n=1+a+a^2+…+a^{n},$$
یک سری هندسی متناهی و فرمول عمومی آن به صورت زیر بدست میآید،
$$S_n=\frac{1-a^{n+1}}{1-a}.$$
(اثبات فرمول از تقسیم کسر بالا قابل استخراج است.)
در حالت خاص به ازای $|a|<1$ وقتی که $n \to \infty$ سری هندسی نامتناهی را خواهیم داشت،
$$S=1+\sum_{k=1}^{\infty}a^k=\frac{1}{1-a}$$
- سوالات:
الف) حال، سری متناهی زیر را در نظر بگیرید که اینبار توانها به صورت هارمونیک در حال کاهش هستند، (مانند قبل فرض کنید $a$ عدد مختلط دلخواهی باشد)
$$S_n=1+a+a^{\frac{1}{2}}+a^{\frac{1}{3}}+…+a^{\frac{1}{n}}$$
در اینصورت فرمول عمومی $S_n$ چیست؟
ب) اگر $R$ مقدار حقیقی مشخصی باشد چنان که به ازای $|a|<R$ حد $\lim_{n \to \infty}S_n$ موجود باشد در آنصورت فرمول عمومی برای سری نامتناهی
$$S=\sum_{k=2}^{\infty}a^{\frac{1}{k}}$$
چیست؟