دوست عزیز؛ آقا داود
برای حل مسئله ساعت نوری انیشتین،
در بخش اول روش نسبتاً درستی بکار بردی و به رابطه 7 که درستیشو بعداً خودت تأیید کردی، رسیدی. اما ای کاش یه خورده بیشتر روش کار میکردی و به استدلال قوی تری میرسیدی. راجع به
بخش دوم هم باید بگم ما مجاز نیستیم از اثر دوپلر استفاده کنیم؛ چون خود فرمول اثر دوپلر از انقباض طول و اتساع زمان - اونم به شکلی که شناخته شده هست - حاصل شده. اگرم بگیم اثر دوپلر رو میشه به روش تجربی بهش رسید، خب این صحیح؛ اما متقابلاً میشه به روش تجربی به فرمول اتساع زمان یا انقباض طول هم رسید. بنابراین میشه این دو پدیده رم جزو اصول به حساب آورد و دربارش بحث نکرد. ولی به هر حال ما میخوایم این پدیده ها رو فقط از روی اصول اول و دوم نسبیت به دست بیاریم. پیش از ورود به بحث اصلی اینو متذکر بشم که ظاهراً یادت رفته روی عبارت آخر رابطه 13، رادیکال بذاری و همچنین روی مخرج کسر رابطه 14 رادیکال بذاری. اون پستی هم که در تاریخ 22 شهريور ساعت 16:05 قرار دادی مبهمه و اشتباه مهمی که توش مرتکب شدی همون "یکی گرفتن" فاصله بین آینه ها از دید دو ناظر مختلفه. بگذریم؛ بپردازیم به حل مسئله.
- قطاری رو در نظر بگیرید که داره با سرعت ثابت
v بر روی ریلی حرکت میکنه. فرض کنید طول قطار از دید ناظر روی ریل برابر
l (اِل) باشه. همچنین فرض کنید در لحظه مبدأ زمانیِ ناظر روی ریل، منبع نوری که در عقب قطار تعبیه شده فوتونی به سمت جلوی قطار - درست در راستای حرکت نسبی قطار - بفرسته. ما تصویر این نقطه روی ریل رو علامت میزنیم و اونو P مینامیم. موقع رسیدن فوتون به جلوی قطار هم تصویر این نقطه رو روی ریل علامت میزنیم و اونو Q مینامیم. طول پاره خط PQ از دید ناظر روی ریل رو با
x نشون میدیم و مدت زمانی که از دید این ناظر فوتون لازم داره تا مسیر PQ رو طی کنه با
t0 نمایش میدیم. مطابق شکل زیر:
در شکل 1 وضعیت قطار در دو لحظه
t = 0 و
t = t0 از دید ناظر روی ریل رسم شده. هدف ما یافتن ضریب انقباض طول در امتداد حرکت جسمه. ما این ضریب رو «آلفا» نامگذاری میکنیم. اگه مقدار این ضریب بزرگتر از یک باشه، اونگاه معلوم میشه که جسم در امتداد حرکتش (نسبت به چارچوبی که این حرکتو مشاهده میکنه) منقبض میشه؛ اگه آلفا مساوی یک باشه اونوقت هیچ انقباض و انبساط طولی نداریم؛ و چنانچه کوچکتر از یک باشه به این نتیجه میرسیم که طول جسم در امتداد حرکتش منبسط میشه و نه منقبض. با توجه به شکل 1 قطار از دید ناظر روی ریل مسافت
x - l رو با سرعت
v در مدت زمان
t0 طی میکنه و در این مدت فوتون گسیل شده از عقب قطار مسافت
x رو از نقطه P تا Q با سرعت c طی میکنه و خودشو به جلوی قطار میرسونه. پس میتونیم روابط زیر رو بنویسیم:
حالا میخوایم ببینیم ناظر داخل قطار چی میبینه. با توجه به اصل دوم نسبیت (ثابت بودن سرعت نور) فوتون گسیل شده از دید ناظر داخل قطار هم با سرعت c خودشو از عقب قطار نزد P به جلوی قطار نزد Q میرسونه. مدت زمانی رو که این فوتون در راهه تا این مسیرو طی کنه با
0't نشون میدیم. چون در این چارچوب قطار در حالت سکون قرار داره پس طول اون برابره با «آلفا در
l». اما چون از دید این ناظر پاره خط PQ با سرعت
v در امتداد طولش حرکت میکنه، پس باید طول اون برابر باشه با: «
x آلفاام» (این آلفای جدید طبق اصل اول نسبیت باید با آلفای قبلی برابر باشه). شکلهای زیرو ببینید.
شکل 2-1 لحظه گسیل فوتون از دید ناظر داخل قطار رو نشون میده و شکل 2-2 مربوط به لحظه رسیدن فوتون به جلوی قطاره. با توجه به توضیحات داده شده روابط زیرو میتونیم بنویسیم:
ما در تلاشیم مقدار آلفا رو بر حسب
v بدست بیاریم. به همین منظور از روابط بالا استفاده میکنیم و مینویسیم:
همونطور که ملاحظه میکنید ضریب آلفا برابر همون ضریب گامای معروفه و به این ترتیب ما تونستیم میزان انقباض طول اجسام در راستای حرکتشونو تنها به کمک دو اصل نسبیت بدست بیاریم. میتونستیم به جای «
x آلفاام» از
'x و به جای «آلفا در
l» از
'l در معادلات استفاده کنیم. در اون صورت خواهیم داشت:
این از انقباض طول در راستای حرکت اجسام
. میشه ثابت کرد که در راستای عمود بر حرکت اجسام هیچگونه انقباض یا انبساط طولی نداریم. اما قبل از اون بهتره میزان اتساع زمان رو مشخص کنیم. برای این کار کافیه حرکت قطار فوق رو تا اونجا دنبال کنیم که فوتون گفته شده به عقب قطار برگرده. فرض میکنیم در جلوی قطار آینه ای تعبیه شده تا اون فوتون رو از همون مسیر به عقب قطار برگردونه. من شکل مربوط به این عمل رو دیگه رسم نمیکنم و اونو به عهده خواننده میذارم. واضحه که مدت زمان رفت و برگشت فوتون از دید ناظر داخل قطار برابره با:
0'2t اما برای محاسبه زمان رفت و برگشت فوتون از دید ناظر روی ریل باید زمان برگشت نور رو با زمان رفت اون یعنی
t0 جمع کنیم. فرض میکنیم مدت زمان رفت و برگشت کامل فوتون از دید ناظر روی ریل برابر باشه با
t1. در این صورت زمان برگشت فوتون از دید این ناظر برابر میشه با:
t1 - t0 در این صورت و به کمک رابطه 3 خواهیم داشت:
برای یافتن میزان اتساع زمان کافیست مقدار کسر
t1 / 2t'0 رو بدست بیاریم. و این با استفاده از رابطه بالا و 6 به راحتی به دست میاد:
به این ترتیب میزان اتساع زمان هم مشخص شد؛ که برابر همون میزان انقباض طوله
حالا با این نتایج اگه ساعت نوری انیشتین رو که درش نور به سمت سقف قطار تابیده و بازتاب میشه، بررسی کنیم مشخص میشه که ارتفاع قطار نباید در اثر سرعتش بیشتر یا کمتر بشه؛ یعنی در راستای عمود بر حرکت اجسام هیچگونه انقباض یا انبساط طولی نخواهیم داشت. جدا از اینکه چنین انقباض یا انبساط طولی منجر به تناقضات فاحشی میشه. که جناب nimafat هم اشاره ای به این موضوع داشت. انشالله تونسته باشم مسئله اتساع زمان و انقباض طول رو حل کرده باشم.
موفق باشید