مومنتوم سیال به آرامی در حال چرخش (ویسکوز).

مدیران انجمن: parse, javad123javad

ارسال پست
نمایه کاربر
rohamjpl

نام: Roham Hesami رهام حسامی

محل اقامت: فعلا تهران قیطریه بلوار کتابی 8 متری صبا City of Leicester Area of Leicestershire LE7

عضویت : سه‌شنبه ۱۳۹۹/۸/۲۰ - ۰۸:۳۴


پست: 1651

سپاس: 3161

جنسیت:

تماس:

مومنتوم سیال به آرامی در حال چرخش (ویسکوز).

پست توسط rohamjpl »

ما دانشجویان هوافضا مثل بچه های سیالات با ازمایشات و رفتار سیالات خیلی سرکار داریم گر یک ظرف استوانه ای بدون جرم (یا شعاع R) با مایعی با چگالی ρ و ویسکوزیته μ در حالت سکون داشته باشیم. سپس در زمان صفر، سرعت چرخشی ثابت Ω را به سیلندر وارد می کنیم و تماشا می کنیم که مایع از دیواره های بیرونی به سمت داخل شتاب می گیرد (به دلیل ویسکوزیته).
من می خواهم بدانم تابع تکانه زاویه ای کل L با زمان (و در نتیجه گشتاور جرمی موثر اینرسی مایع$L=I_{eff} \Omega$) چیست. به طور خاص شعاع چرخش $I_{eff} = m \kappa^2$ که در آن $m=\rho \pi R^2 h$
من به برش‌های استوانه‌ای متحدالمرکز نگاه کردم تا معادلات حرکت را بدست بیاورم، اما به شکل سرعت مماسی به عنوان تابعی از شعاع r و زمان t دست و پا می‌زنم.
بر اساس ∇ در مختصات استوانه ای (برای سیال نیوتنی) فکر می کنم تنش برشی است
$\tau_{r\theta} = \mu \left( \frac{\partial v_\theta}{\partial r} - \frac{v_\theta}{r} \right)$
برش استوانه ای دارای سطح $A = 2 \pi r h$ یا ${\rm d}A = 2 \pi h {\rm d}r$ است.
حجم ${\rm d}V = A {\rm d}r = 2 \pi r h {\rm d}r$ است.
من فکر می کنم موازنه نیروی شعاعی که بر روی حجم اثر می کند به دلیل تنش برشی است
$A {\rm d}\tau_{r\theta} + \tau_{r\theta} {\rm d}A = \dot{v_\theta} \rho {\rm d} V$
که در آن این منجر به یک معادله دیفرانسیل می شود
$\tau_{r\theta}'= \frac{\partial \tau_{r\theta}}{\partial r} = \rho \dot{v_\theta} - \frac{\tau_{r\theta}}{r}$
شیب تنش برشی (از قانون زنجیره) است
$\tau_{r\theta}' = \mu \left( v''_{\theta} - \frac{v'_\theta}{r}+ \frac{v_\theta}{r^2} \right)$
با مقداری جبر بالاخره به آن می رسم
$\dot{v}_{ \theta} = \frac{\mu}{\rho} v''_{\theta}$
بنابراین شتاب برش استوانه ای متناسب با انحنای پروفیل سرعت است.
اینجا جایی است که من گیر کرده ام. من مطمئن نیستم که چگونه برای استخراج vθ(r,t) اقدام کنم.
با فرض اینکه معادله ای که پیدا کردید درست باشد، فقط معادله حرارتی 1 بعدی است:
$D^2 \frac{\partial^2 v}{\partial r^2} = \frac{\partial v}{\partial t},$
جایی که $D^2 \equiv \mu/\rho$. ما می خواهیم آن را در دامنه $r \in [0, R]$،$t \in [0, \infty)$ با توجه به شرایط مرزی v(r,0)=0، $v(R, t) = R \Omega$، و v( حل کنیم. $v(0,t) = 0$ (این شرط آخر طوری درج می شود که میدان سرعت در مبدا پیوسته بماند؛ به یاد داشته باشید که v فقط جزء مماسی میدان است.)
راه حل حالت پایدار $v''_\infty = 0$ برای این معادله کاملاً واضح است: اگر v˙∞=0، آنگاه$v''_\infty = 0$ نیز هست، و به همین ترتیب
v∞(r,t)=Ωr.
این منطقی است کل سیلندر در زمان های پایانی به طور صلب در حال چرخش است.
حال $\delta v(r,t) \equiv v(r,t) - v_\infty(r,t)$ را تعریف کنید. با ساخت، δv همچنین معادله گرما را برآورده می کند، اما با شرایط مرزی متفاوت:
$\delta v(R,t) = \delta v (0, t) = 0; \qquad \delta v (r,0) = - \Omega r \equiv \delta v_0(r).$.
این فقط یک مسئله انتشار حرارت استاندارد با توزیع اولیه حرارت $\delta v_0(r)$ است. برای حل این مشکل از جداسازی متغیرها استفاده می کنیم. نشان دادن هر راه حلی از فرم خیلی سخت نیست
$f_n(r,t) = \sin \left( \frac{n \pi r}{R} \right) e^{-D^2 \pi^2 n^2 t/R^2}$
کار خواهد کرد. با فرض اینکه$\delta v(r,t) = \sum_n A_n f_n(r,t)$ داریم
$\delta v_0 (r) = - \Omega r = \sum_n A_n \sin \left( \frac{n \pi r}{R} \right),$
یعنی $\delta v_0$ به عنوان یک سری فوریه بیان میشه با کار کردن از طریق این من دریافت کردم
$A_n = \frac{2 \Omega R (-1)^n}{\pi n}$
بنابراین، جواب کامل برای سرعت مماسی به عنوان تابعی از زمان و مکان است:
$\boxed{ v(r,t) = \Omega r + 2 \Omega R \sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^n}{\pi n} \sin \left( \frac{n \pi r}{R} \right) e^{-D^2 \pi^2 n^2 t/R^2}.}$
ممکن است بتوانم این را در یک عبارت کوچکتر خلاصه کنم. در صورت پیشرفت و پرسیدن از استادهایم در این زمینه به شما اطلاع خواهم داد..hope I helped you understand the question. Roham Hesami, sixth
semester of aerospace engineering
smile072 smile072 رهام حسامی ترم ششم مهندسی هوافضاتصویر
تصویر

ارسال پست