در یک سرعت در مقابل ضربه زدن به توپ در موقعیت (a,b) از مرکز آن در xz سطح. من همچنین جرم توپ را می دانم، mb
و شعاع آن، R. من می خواهم مولفه های سرعت $\{v_x, v_y, v_z\}$ را تعیین کنم
و مولفه های سرعت زاویه ای $\{\omega_x, \omega_y, \omega_z\}$
بعد از اینکه چوب نشانه به توپ نشانه برخورد کرد.
تعامل Cue Stick و Cue Ball
من با استفاده از این مقاله به برخی معادلات رسیده ام، اما نتایج من پس از مقایسه آنها با نتایج یک شبیه ساز دیگر استخر نادرست به نظر می رسد. می‌خواهم تأیید کنم که آیا معادلات (که در پایین با خط برجسته مشخص شده‌اند) معتبر هستند یا خیر، و اگر نه، آنها را طوری تنظیم کنید که معتبر باشند.
با پایستگی تکانه خطی:
$m_sv_{s_i} = m_sv_{s_f} + m_bv_b \tag{1}$
با فرض یک برخورد کشسان، با پایستگی انرژی (انرژی جنبشی نشانه به انرژی جنبشی نهایی نشانه، انرژی جنبشی توپ نشانه و انرژی جنبشی چرخشی توپ نشانه تبدیل می‌شود):
$\frac{1}{2}m_s(v_{s_i})^2 = \frac{1}{2}m_s(v_{s_f})^2 + \frac{1}{2}m_b(v_b)^2 + \frac{1}{2}(\frac{2}{5}m_bR^2)(\omega_x)^2 + \frac{1}{2}(\frac{2}{5}m_bR^2)(\omega_z)^2 $
از آنجایی که ضربه خطی بین نوک و توپ برابر است با تغییر تکانه هر دو چوب و توپ:
$Ft = m_s(v_{s_i} - v_{s_f}) = m_bv_b$از آنجایی که ضربه زاویه ای برابر با تغییر تکانه زاویه ای است:
$bFt = (\frac{2}{5}m_bR^2)(\omega_x) $
$aFt = (\frac{2}{5}m_bR^2)(\omega_z)$
سپس با استفاده از (1roham)، سرعت چوب نهایی:
$v_{s_i} - \frac{m_b}{m_s}v_b = v_{s_f} $سپس، جایگزینی (3) به (4) و (3) به (5)roham،
$bm_bv_b = (\frac{2}{5}m_bR^2)(\omega_x) \\ \frac{5}{2}\frac{v_b}{R^2}b = \omega_x $
$bm_bv_b = (\frac{2}{5}m_bR^2)(\omega_x) \\ \frac{5}{2}\frac{v_b}{R^2}b = \omega_x$و به همین ترتیب:
$\frac{5}{2}\frac{v_b}{R^2}a = \omega_z$
تعویض (6)، (7)و (8) به (2) بازده:
$v_b = \frac{2v_s}{1 + \frac{m_b}{m_s} + \frac{5}{2}(\frac{a+b}{R})^2}$
از آنجایی که $v_b\sin(\theta) = v_x$,
و $v_b\cos(\theta) = v_y$
، مولفه های سرعت را داریم $\{v_b\sin(\theta), v_b\cos(\theta), 0\}$
و مولفه های سرعت زاویه ای {$\{\frac{5}{2}\frac{v_b}{R^2}b, 0, \frac{5}{2}\frac{v_b}{R^2}a\}$
، جایی که vb از رابطه (9) به دست می آید..
نشانه را با زاویه افقی xy در نظر می‌گیرند. سطح. با فرض اینکه مدت زمان برخورد بین چوب نشانه و توپ کم باشد، نیروی وارد شده به توپ را می توان "به عنوان یک ضربه کاملا کشسان در نظر گرفت" و بنابراین سرعت توپ را می توان به صورت زیر بیان کرد:
$v= (0, -\frac{F}{m}\cos(\theta), -\frac{F}{m}\sin(\theta))$
بعضی ادعا می کنند که "میزان نیروی F از نظر پارامترهای ضربه همزمان با حل معادلات بقای تکانه خطی و بقای انرژی قبل و بعد از ضربه نشانه به دست می آید:
$F=\frac{2mV_0}{1+\frac{m}{M}+\frac{5}{2R^2}(a^2 + b^2\cos^2(\theta) + c^2\sin^2(\theta) -2bc\cos(\theta)\sin(\theta))}$
جایی که m جرم توپ است و M جرم نشانه است و$c = |\sqrt{R^2 - a^2 - b^2}|$
چگونه این معادله را برای نیرو استخراج کردند؟
علاوه بر این، این شبیه سازی استخر ادعا می کند که شمارنده باید$2MV_0$ باشد
. کدامیک صحیح می باشد؟پیشاپیش ممنون
نیوتنی-مکانیک سرعت زاویه ای-سرعت
با این معادلات می توانید "نیروی" F را بدست آورید
$\begin{align*}
&M\,(\vec{v}_c-\vec v_0)=-F\,\hat e_F\\
&m\,\vec{v}_s=F\,\hat e_F\\
&I\,\vec{\omega}=\vec{r}\times\,\left(F\,\hat e_F\right)
\end{align*}$و انرژی جنبشی
$\begin{align*}
&2\,T=M\,\left(\vec{v}_c\cdot\vec{v}_c-\vec{v}_0\cdot\vec{v}_0\right)+m\,\vec{v}_s
\cdot\vec{v}_s+I\,\vec{\omega}\cdot\vec{\omega}=0
\end{align*}$
جایی که
$\begin{align*}
&\hat{e}_F=-\begin{bmatrix}
0 \\
\cos(\theta) \\
\sin(\theta)\\
\end{bmatrix}\quad ,
\vec{r}= \begin{bmatrix}
a \\
b \\
c \\
\end{bmatrix}\quad ,
\vec{v}_0= v_0\,\hat{e}_F
\end{align*}$a
شما ده معادله اسکالر برای ده مجهول دارید
$\begin{align*}
&\vec{v}_c\quad ,\vec{v}_s\quad ,\vec{\omega}\quad ,F\\
\end{align*}$
⇒
$\begin{align*}
&F=\frac{2\,m\,v_0}{1+\frac{m}{M}+\frac{m}{I}\,\left(a^2+b^2\,\sin^2(\theta)+
c^2\,\cos^2(\theta)-2\,b\,c\sin(\theta)\,\cos(\theta)\right)}\\
&I=\frac{2}{5}\,m\,R^2
\end{align*}$
اطلاع
که تکانه خطی$~p=M\,\left(\vec{v}_c-\vec{v}_0\right)+m\,\vec{v}_s~$
برابر صفر (حفظ) و نیرو $~\int F\,dt~$ است
$\vec v_0~$ نشانه سرعت اولیه
$\vec v_c~$ نشانه سرعت پس از برخورد
$\vec v_s~$ توپ سرعت پس از برخورد
$\vec\omega~$ توپ با سرعت زاویه ای پس از برخورد
$~m~$ جرم توپ
M جرم نشانه
نتیجه
$F=\frac{2\,m\,v_0}{1+\frac{m}{M}+\frac{m}{I}\,\left(a^2+\color{red}{b^2\,\cos^2(\theta)+
c^2\,\sin^2(\theta)}-2\,b\,c\sin(\theta)\,\cos(\theta)\right)}$
شما این نتیجه را با
$\begin{align*}
&\hat{e}_F=-\begin{bmatrix}
0 \\
\sin(\theta) \\
\cos(\theta)\\
\end{bmatrix}
\end{align*}$
