سلام. این سوال راجب برخورد های کشسان در فیزیک نیوتونی است
خب برخورد کشسان در فضای یک بعدی رو میشه بر اساس قانون پایستگی اندازه حرکت خطی و قانون پایستگی انرژی حل کرد. یعنی اگه جرم و سرعت اجسام در لحظه برخورد رو داشته باشیم انگاه به سادگی از دو معادله ی قانون پایستگی اندازه حرکت خطی و قانون پایستگی انرژِی مقدار سرعت دو جسم پس از برخورد رو میشه محاسبه کرد.
حالا تو دنیای واقعی که دنیای ما سه بعدی هست این دو قانون پایستگی دیگه نمیتونن این مسئله رو بطور کامل حل کنند چون تو معادلات به 4 معادله و 6 مجهول برمیخوریم. لذا مساله جواب یکتایی نخواهد داشت.
حالا سوال من اینه که ایا روشی برای حل برخورد های کشسان در فضای سه بعدی وجود داره؟؟ یعنی مثلا یک قانون پایستگی اضافه ؟ که تعداد معادلات بیشتر بشه ؟ یا کلا هر روشی ؟؟
برخورد های کشسان در فیزیک نیوتونی
-
rohamavation
نام: roham hesami radرهام حسامی راد
محل اقامت: 100 مایلی شمال لندن جاده آیلستون، لستر، لسترشر. LE2
عضویت : سه‌شنبه ۱۳۹۹/۸/۲۰ - ۰۸:۳۴
پست: 3289-
سپاس: 5494
- جنسیت:
تماس:
Re: برخورد های کشسان در فیزیک نیوتونی
در هر برخوردی، تکانه حفظ می شود. اما در یک برخورد الاستیک، انرژی جنبشی نیز حفظ می شود. ذرات 1 و 2 را با جرم m1، m2 و سرعت u1، u2 قبل از برخورد، v1، v2 بعد از برخورد در نظر بگیرید.برخوردهای الاستیک به برخوردهایی گفته می شود که در آنها هم تکانه و هم انرژی جنبشی حفظ می شود. کل انرژی جنبشی سیستم قبل از برخورد برابر است با کل انرژی جنبشی سیستم بعد از برخورد. اگر انرژی جنبشی کل حفظ نشود، آنگاه برخورد را یک برخورد غیر کشسان می نامند.انرژی جنبشی با مجموع مجذورهای همه مولفه های سرعت متناسب است: آن را در حلقه رندر محاسبه کنید تا نشان دهید که انرژی برای این سیستم تا میزان خطاهای گرد کردن شده است.دو جسم با جرم m1 وm2در نظر گرفته شده است و ، بردارهای سرعت v1 ، v2 جهت عادی تماس را پیدا کنید
برخورد در دو یا سه بعدی را می توان مانند یک مورد یک بعدی با کار با مقادیر "عادی" برخورد کرد. برای برخورد با دیوارها، این فقط به معنای امتداد جهت مختصات دکارتی منظم است. برای برخورد بین توپ ها، این به معنای مقادیر با توجه به خط اتصال به مرکز دو توپ است.اگر موقعیت ها با بردارهای x1 و x2 نشان داده شوند، بردار معمولی بین دو توپ است$\mathbf{n} = \frac{\mathbf{x}_1 - \mathbf{x}_2}{| \mathbf{x}_1 - \mathbf{x}_2 |}$با سرعت هایی که با بردارهای v1 و v2 مشخص می شوند، سرعت نسبی برابر است$\mathbf{v}_\text{relative} = \mathbf{v}_1 - \mathbf{v}_2$
و سرعت نسبی در جهت عادی است$\mathbf{v}_\text{normal} = ( \mathbf{v}_\text{relative} \cdot \mathbf{n} ) \mathbf{n}$در زمان برخورد، مولفه‌های معمولی تکانه با هم عوض می‌شوند در حالی که اجزای مماسی به حال خود رها می‌شوند. برای توپ هایی با جرم مساوی، تکانه و سرعت قابل تعویض هستند. سپس می توان شرایط برخورد را نوشت
$\mathbf{v}_1 \rightarrow \mathbf{v}_1 - \mathbf{v}_\text{normal} \qquad \qquad \qquad \mathbf{v}_2 \rightarrow \mathbf{v}_2 + \mathbf{v}_\text{normal}$
اگر جرم توپ ها نابرابر بود، این مقادیر باید در این معادلات ظاهر شوند
برخورد سه بعدی را می توان به طور مشابه با برخورد دو بعدی برخورد کرد. با این حال، به دلیل ابعاد اضافی، اکنون دو زاویه برای تعیین بردار سرعت توپ 2 پس از برخورد وجود دارد. انتخاب این زوایا به عنوان مختصات قطبی راحت است تا مولفه های x- و y- این بردار را بتوان بر حسب جزء z و این زوایا بیان کرد. با این کار، معادلات بقای تکانه و انرژی را می توان به صورت زیر نوشت:
$) m1.vz,1 = m1.vz,1' + m2.Δvz,2'$
$ m1.vx,1 = m1.vx,1' + m2.Δvz,2'.tan(θ).cos(φ)$
$m1.vy,1 = m1.vx,1' + m2.Δvz,2'.tan(θ).sin(φ)$
$m1/2.(vx,12+vy,12+vz,12) = m1/2.(vx,1'2+vy,1'2+vz,1'2) + m2/2.Δvz,2'2.(1+tan2(θ))$
${\displaystyle {\begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\rho \sin \theta \cos \phi \\\rho \sin \theta \sin \phi \\\rho \cos \theta \end{bmatrix}}.}$
اشاره از مرکز (1) به مرکز (2) $\boldsymbol{n} = \frac{ \boldsymbol{\rm pos}_2 - \boldsymbol{\rm pos}_1 }{ | \boldsymbol{\rm pos}_2 - \boldsymbol{\rm pos}_1 | }$ابتدا جرم کاهش یافته سیستم را محاسبه کنید $m_{\rm eff} = \frac{1}{ \frac{1}{m_1} + \frac{1}{m_2} } $
سپس سرعت ضربه را محاسبه کنید $v_{\rm imp} = \boldsymbol{n} \cdot ( \boldsymbol{v}_1 - \boldsymbol{v}_2 )$
اینجا ⋅ حاصلضرب نقطه برداری است، که یک حرکت اسکالر ایجاد می کند
به عنوان سرعت ضربه (نه سرعت).سپس مقدار ضربه را زمانی که ضریب بازگردانی ϵ است محاسبه کنید $J = (1+\epsilon)\, m_{\rm eff}\; v_{\rm imp} $
تغییر سرعت هر جسم در نتیجه ضربه J را پیدا کنید در امتداد تماس عادی n
$\ \Delta \boldsymbol{v}_1 = - \frac{J}{m_1} \boldsymbol{n}$
$\ \Delta \boldsymbol{v}_1 = + \frac{J}{m_2} \boldsymbol{n}$
سرعت های نهایی فقط بردارهای قبل از سرعت به اضافه تغییر در سرعت،$\boldsymbol{v}_i + \Delta \boldsymbol{v}_i$ هستند
.تأیید کنید که بازگشت به عقب کسری از سرعت ضربه $v_{\rm after} =-\epsilon v_{\rm imp}$ است
$n.(v_1+\Deltav_1-v_2+Deltalv_2 =-ε {n}.(v_1-v_2)$
$\boldsymbol{n}\cdot\left(\Delta\boldsymbol{v}_{1}-\Delta\boldsymbol{v}_{2}\right)+v_{{\rm imp}} =-\epsilon\,v_{{\rm imp}}\\$
$\boldsymbol{n}\cdot\left(-\frac{J}{m_{1}}\boldsymbol{n}-\frac{J}{m_{2}}\boldsymbol{n}\right) =-\left(1+\epsilon\right)\,v_{{\rm imp}}\\$
$\left(\boldsymbol{n}\cdot\boldsymbol{n}\right)\left(\frac{1}{m_{1}}+\frac{1}{m_{2}}\right)J =\left(1+\epsilon\right)\,v_{{\rm imp}}\\$
$\left(\frac{1}{m_{1}}+\frac{1}{m_{2}}\right)\left(1+\epsilon\right)\frac{1}{\frac{1}{m_{1}}+\frac{1}{m_{2}}}\,v_{{\rm imp}} =\left(1+\epsilon\right)\,v_{{\rm imp}}\\$
$\left(1+\epsilon\right)\,v_{{\rm imp}} \overset{\checkmark}{=}\left(1+\epsilon\right)\,v_{{\rm imp}}$
مشکل راه حل دو مرحله ای دارد. فرمول های برداری برای هر بعد فضایی معتبر هستند. بنابراین من در مورد کره ها صحبت خواهم کرد، اما همین امر در مورد دایره ها (یا ابرکره ها در فضاهای n بعدی) صدق می کند.
باید تعیین کرد که آیا برخورد بین دو کره/دایره با توجه به موقعیت‌ها، سرعت‌ها و شعاع اولیه آنها اتفاق می‌افتد یا خیر.
هنگامی که زمان برخورد مشخص شد، باید از بقای انرژی و تکانه کل سیستم دو کره استفاده کرد.
مرحله 1 ممکن است بی اهمیت باشد (اگر نیرویی به جز نیروی تماس در برخورد وجود نداشته باشد) یا پیچیده تر باشد، اگر علاوه بر دافعه سخت در تماس، یک میدان نیروی پیوسته نیز بین کره ها وجود داشته باشد. بیایید فرض کنیم که هیچ نیروی پیوسته ای وجود ندارد و کره ها با سرعت ثابتی بین برخوردها حرکت می کنند. در چنین حالتی، زمان تا برخورد یک کره با شعاع $R_1$
که در ${\bf r}^{(0)}_1$ است در t=0 با سرعت ${\bf v}_1$ و یک کره دوم با شعاع $R_2$ در ${\bf r}^{(0)}_2$ در t=0 با سرعت ${\bf v}_2$ ، با جواب واقعی مثبت (در صورت وجود) معادله درجه دوم جبری حاصل از شرطی که در زمان t>0 به دست می آید. مرکز دو کره در فاصله $R_1+R_2$ خواهد بود . از نظر موقعیت ها در زمان t : ${\bf r}_i(t) = {\bf r}^{(0)}_i+{\bf v}_it$شرط است
$|{\bf r}_{12}(t)|=|{\bf r}_1(t)-{\bf r}_2(t)|=R_1+R_2.$با معرفی سرعت نسبی ${\bf v}_{12}={\bf v}_1-{\bf v}_2$
، معادله می شود$|{\bf v}_{12}|^2t^2+2\left( {\bf r}_{12}^{(0)} \cdot {\bf v}_{12}\right)
t + |{\bf r}_{12}^{(0)}|^2-(R_1+R_2)^2=0.$ مرحله 2. برای یافتن رابطه بین سرعت ها پس از برخورد ${\bf v}'_i$
و قبل از برخورد ${\bf v}_i$ ، بیان شرایط برخورد در مرکز قاب جرمی و سپس تبدیل مجدد به فریم آزمایشگاهی راحت است. در مرکز قاب جرمی، شرایط الاستیک مطابق با برابری انرژی جنبشی قبل و بعد از برخورد است، لحظه‌ای دو کره قبل و بعد از برخورد مخالف هستند $m_1 {\bf v}'_1=-m_2{\bf v}'_2$
$m_1 {\bf v}_1=-m_2{\bf v}_2$ شرط کلیدی برای تعیین سرعت‌ها پس از برخورد این است که مؤلفه تکانه هر ذره موازی با صفحه مماس به تماس بین دو کره پس از برخورد ثابت بماند، در حالی که مؤلفه عمود بر عکس است. با در نظر گرفتن اینکه بردار واحد ${\bf \hat r}_{12}=\frac{{\bf r}_{12}}{|{\bf r}_{12}|}$
عمود بر صفحه مماس در نقطه تماس است، این یک تمرین ساده برای به دست آوردن فرمول برای سرعت های نهایی است:
${\bf v}'_i={\bf v}_i - \frac{2m_j}{m_i+m_j}\left( {\bf \hat r}_{ij} \cdot {\bf v}_{ij}\right){\bf \hat r}_{ij}$
اگر فرض کنید که سطوح توپ‌ها بدون اصطکاک هستند، می‌توانید فرض کنید که نیروی برخورد همیشه با سطح کره‌ها در نقطه تماس نرمال عمل می‌کند - که به نوبه خود در امتداد خطی است که روی آن قرار دارد. مراکز کره قرار دارد. بنابراین می‌توانید در اینجا از قوانین حرکت نیوتن با یک ضربه با جهت مشخص و مقدار نامعلوم استفاده کنید.
فراتر از آن، برای هر برخوردی باید با بقای انرژی و حفظ تکانه شروع کنید. از آنجایی که من این کار را فقط برای حالت بدون اصطکاک انجام می دهم، تکانه ای که حفظ می شود فقط تکانه خطی است و شما می توانید هر چرخش توپ ها را نادیده بگیرید.
پس برای هر توپ، یک بردار موقعیت دارید $ x = {x, y, z}$
* و یک بردار سرعت بقای تکانه می گوید که در غیاب هیچ برخورد دیگری، تکانه کل هر دو سیستم توپ در اثر برخورد ثابت می ماند:$m_1 \mathbf v_1 + m_2 \mathbf v_2 = \mathbf p_{12}$
، جایی که p12 تکانه دو توپ با هم است و p1 و p2 جرم های آنها هستند.
بقای انرژی می گوید که در غیاب هر گونه برخورد دیگری، انرژی کل هر دو سیستم توپ در اثر برخورد ثابت می ماند: $m_1 \| \mathbf v_1 \|^2 + m_2 \| \mathbf v_2 \|^2 = u$
، جایی که $\| \mathbf v \|^2 = (\dot x)^2 + (\dot y)^2 + (\dot z)^2$
.این واقعیت که ما سطح توپ بدون اصطکاک را فرض می کنیم به این معنی است که جهت ضربه در لحظه مشخص است، اما اندازه آن ناشناخته است: ضربه روی توپ$\Delta \mathbf p = k\left( \mathbf x_2 - \mathbf x_1 \right)$ است.. x2−x1
جهت می دهد، اجازه می دهد k بودن یک عدد مثبت ناشناخته نشان دهنده این واقعیت است که ما فقط جهت ضربه را می دانیم و باید اجازه دهیم قدر توسط قوانین حفاظت تعیین شود.
اگر t- را بگیرید زمان بلافاصله قبل از برخورد و t+ باشد زمان بلافاصله پس از آن باشد، سپس $\mathbf p_1(t^+) = \mathbf p_1(t^-) + \Delta \mathbf p$
و $\mathbf p_2(t^+) = \mathbf p_2(t^-) - \Delta \mathbf p$ ، جایی که $p=mv$
. به $+ \Delta \mathbf p$ و -$- \Delta \mathbf p$ توجه کنید
، به ترتیب.در این مرحله باید دقیقاً معادلات کافی در مجهولات دقیقاً به اندازه کافی داشته باشید تا سرعت های پایانی خود را از سرعت های ابتدایی خود محاسبه کنید.
برخورد در دو یا سه بعدی را می توان مانند یک مورد یک بعدی با کار با مقادیر "عادی" برخورد کرد. برای برخورد با دیوارها، این فقط به معنای امتداد جهت مختصات دکارتی منظم است. برای برخورد بین توپ ها، این به معنای مقادیر با توجه به خط اتصال به مرکز دو توپ است.اگر موقعیت ها با بردارهای x1 و x2 نشان داده شوند، بردار معمولی بین دو توپ است$\mathbf{n} = \frac{\mathbf{x}_1 - \mathbf{x}_2}{| \mathbf{x}_1 - \mathbf{x}_2 |}$با سرعت هایی که با بردارهای v1 و v2 مشخص می شوند، سرعت نسبی برابر است$\mathbf{v}_\text{relative} = \mathbf{v}_1 - \mathbf{v}_2$
و سرعت نسبی در جهت عادی است$\mathbf{v}_\text{normal} = ( \mathbf{v}_\text{relative} \cdot \mathbf{n} ) \mathbf{n}$در زمان برخورد، مولفه‌های معمولی تکانه با هم عوض می‌شوند در حالی که اجزای مماسی به حال خود رها می‌شوند. برای توپ هایی با جرم مساوی، تکانه و سرعت قابل تعویض هستند. سپس می توان شرایط برخورد را نوشت
$\mathbf{v}_1 \rightarrow \mathbf{v}_1 - \mathbf{v}_\text{normal} \qquad \qquad \qquad \mathbf{v}_2 \rightarrow \mathbf{v}_2 + \mathbf{v}_\text{normal}$
اگر جرم توپ ها نابرابر بود، این مقادیر باید در این معادلات ظاهر شوند
برخورد سه بعدی را می توان به طور مشابه با برخورد دو بعدی برخورد کرد. با این حال، به دلیل ابعاد اضافی، اکنون دو زاویه برای تعیین بردار سرعت توپ 2 پس از برخورد وجود دارد. انتخاب این زوایا به عنوان مختصات قطبی راحت است تا مولفه های x- و y- این بردار را بتوان بر حسب جزء z و این زوایا بیان کرد. با این کار، معادلات بقای تکانه و انرژی را می توان به صورت زیر نوشت:
$) m1.vz,1 = m1.vz,1' + m2.Δvz,2'$
$ m1.vx,1 = m1.vx,1' + m2.Δvz,2'.tan(θ).cos(φ)$
$m1.vy,1 = m1.vx,1' + m2.Δvz,2'.tan(θ).sin(φ)$
$m1/2.(vx,12+vy,12+vz,12) = m1/2.(vx,1'2+vy,1'2+vz,1'2) + m2/2.Δvz,2'2.(1+tan2(θ))$
${\displaystyle {\begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\rho \sin \theta \cos \phi \\\rho \sin \theta \sin \phi \\\rho \cos \theta \end{bmatrix}}.}$
اشاره از مرکز (1) به مرکز (2) $\boldsymbol{n} = \frac{ \boldsymbol{\rm pos}_2 - \boldsymbol{\rm pos}_1 }{ | \boldsymbol{\rm pos}_2 - \boldsymbol{\rm pos}_1 | }$ابتدا جرم کاهش یافته سیستم را محاسبه کنید $m_{\rm eff} = \frac{1}{ \frac{1}{m_1} + \frac{1}{m_2} } $
سپس سرعت ضربه را محاسبه کنید $v_{\rm imp} = \boldsymbol{n} \cdot ( \boldsymbol{v}_1 - \boldsymbol{v}_2 )$
اینجا ⋅ حاصلضرب نقطه برداری است، که یک حرکت اسکالر ایجاد می کند
به عنوان سرعت ضربه (نه سرعت).سپس مقدار ضربه را زمانی که ضریب بازگردانی ϵ است محاسبه کنید $J = (1+\epsilon)\, m_{\rm eff}\; v_{\rm imp} $
تغییر سرعت هر جسم در نتیجه ضربه J را پیدا کنید در امتداد تماس عادی n
$\ \Delta \boldsymbol{v}_1 = - \frac{J}{m_1} \boldsymbol{n}$
$\ \Delta \boldsymbol{v}_1 = + \frac{J}{m_2} \boldsymbol{n}$
سرعت های نهایی فقط بردارهای قبل از سرعت به اضافه تغییر در سرعت،$\boldsymbol{v}_i + \Delta \boldsymbol{v}_i$ هستند
.تأیید کنید که بازگشت به عقب کسری از سرعت ضربه $v_{\rm after} =-\epsilon v_{\rm imp}$ است
$n.(v_1+\Deltav_1-v_2+Deltalv_2 =-ε {n}.(v_1-v_2)$
$\boldsymbol{n}\cdot\left(\Delta\boldsymbol{v}_{1}-\Delta\boldsymbol{v}_{2}\right)+v_{{\rm imp}} =-\epsilon\,v_{{\rm imp}}\\$
$\boldsymbol{n}\cdot\left(-\frac{J}{m_{1}}\boldsymbol{n}-\frac{J}{m_{2}}\boldsymbol{n}\right) =-\left(1+\epsilon\right)\,v_{{\rm imp}}\\$
$\left(\boldsymbol{n}\cdot\boldsymbol{n}\right)\left(\frac{1}{m_{1}}+\frac{1}{m_{2}}\right)J =\left(1+\epsilon\right)\,v_{{\rm imp}}\\$
$\left(\frac{1}{m_{1}}+\frac{1}{m_{2}}\right)\left(1+\epsilon\right)\frac{1}{\frac{1}{m_{1}}+\frac{1}{m_{2}}}\,v_{{\rm imp}} =\left(1+\epsilon\right)\,v_{{\rm imp}}\\$
$\left(1+\epsilon\right)\,v_{{\rm imp}} \overset{\checkmark}{=}\left(1+\epsilon\right)\,v_{{\rm imp}}$
مشکل راه حل دو مرحله ای دارد. فرمول های برداری برای هر بعد فضایی معتبر هستند. بنابراین من در مورد کره ها صحبت خواهم کرد، اما همین امر در مورد دایره ها (یا ابرکره ها در فضاهای n بعدی) صدق می کند.
باید تعیین کرد که آیا برخورد بین دو کره/دایره با توجه به موقعیت‌ها، سرعت‌ها و شعاع اولیه آنها اتفاق می‌افتد یا خیر.
هنگامی که زمان برخورد مشخص شد، باید از بقای انرژی و تکانه کل سیستم دو کره استفاده کرد.
مرحله 1 ممکن است بی اهمیت باشد (اگر نیرویی به جز نیروی تماس در برخورد وجود نداشته باشد) یا پیچیده تر باشد، اگر علاوه بر دافعه سخت در تماس، یک میدان نیروی پیوسته نیز بین کره ها وجود داشته باشد. بیایید فرض کنیم که هیچ نیروی پیوسته ای وجود ندارد و کره ها با سرعت ثابتی بین برخوردها حرکت می کنند. در چنین حالتی، زمان تا برخورد یک کره با شعاع $R_1$
که در ${\bf r}^{(0)}_1$ است در t=0 با سرعت ${\bf v}_1$ و یک کره دوم با شعاع $R_2$ در ${\bf r}^{(0)}_2$ در t=0 با سرعت ${\bf v}_2$ ، با جواب واقعی مثبت (در صورت وجود) معادله درجه دوم جبری حاصل از شرطی که در زمان t>0 به دست می آید. مرکز دو کره در فاصله $R_1+R_2$ خواهد بود . از نظر موقعیت ها در زمان t : ${\bf r}_i(t) = {\bf r}^{(0)}_i+{\bf v}_it$شرط است
$|{\bf r}_{12}(t)|=|{\bf r}_1(t)-{\bf r}_2(t)|=R_1+R_2.$با معرفی سرعت نسبی ${\bf v}_{12}={\bf v}_1-{\bf v}_2$
، معادله می شود$|{\bf v}_{12}|^2t^2+2\left( {\bf r}_{12}^{(0)} \cdot {\bf v}_{12}\right)
t + |{\bf r}_{12}^{(0)}|^2-(R_1+R_2)^2=0.$ مرحله 2. برای یافتن رابطه بین سرعت ها پس از برخورد ${\bf v}'_i$
و قبل از برخورد ${\bf v}_i$ ، بیان شرایط برخورد در مرکز قاب جرمی و سپس تبدیل مجدد به فریم آزمایشگاهی راحت است. در مرکز قاب جرمی، شرایط الاستیک مطابق با برابری انرژی جنبشی قبل و بعد از برخورد است، لحظه‌ای دو کره قبل و بعد از برخورد مخالف هستند $m_1 {\bf v}'_1=-m_2{\bf v}'_2$
$m_1 {\bf v}_1=-m_2{\bf v}_2$ شرط کلیدی برای تعیین سرعت‌ها پس از برخورد این است که مؤلفه تکانه هر ذره موازی با صفحه مماس به تماس بین دو کره پس از برخورد ثابت بماند، در حالی که مؤلفه عمود بر عکس است. با در نظر گرفتن اینکه بردار واحد ${\bf \hat r}_{12}=\frac{{\bf r}_{12}}{|{\bf r}_{12}|}$
عمود بر صفحه مماس در نقطه تماس است، این یک تمرین ساده برای به دست آوردن فرمول برای سرعت های نهایی است:
${\bf v}'_i={\bf v}_i - \frac{2m_j}{m_i+m_j}\left( {\bf \hat r}_{ij} \cdot {\bf v}_{ij}\right){\bf \hat r}_{ij}$
اگر فرض کنید که سطوح توپ‌ها بدون اصطکاک هستند، می‌توانید فرض کنید که نیروی برخورد همیشه با سطح کره‌ها در نقطه تماس نرمال عمل می‌کند - که به نوبه خود در امتداد خطی است که روی آن قرار دارد. مراکز کره قرار دارد. بنابراین می‌توانید در اینجا از قوانین حرکت نیوتن با یک ضربه با جهت مشخص و مقدار نامعلوم استفاده کنید.
فراتر از آن، برای هر برخوردی باید با بقای انرژی و حفظ تکانه شروع کنید. از آنجایی که من این کار را فقط برای حالت بدون اصطکاک انجام می دهم، تکانه ای که حفظ می شود فقط تکانه خطی است و شما می توانید هر چرخش توپ ها را نادیده بگیرید.
پس برای هر توپ، یک بردار موقعیت دارید $ x = {x, y, z}$
* و یک بردار سرعت بقای تکانه می گوید که در غیاب هیچ برخورد دیگری، تکانه کل هر دو سیستم توپ در اثر برخورد ثابت می ماند:$m_1 \mathbf v_1 + m_2 \mathbf v_2 = \mathbf p_{12}$
، جایی که p12 تکانه دو توپ با هم است و p1 و p2 جرم های آنها هستند.
بقای انرژی می گوید که در غیاب هر گونه برخورد دیگری، انرژی کل هر دو سیستم توپ در اثر برخورد ثابت می ماند: $m_1 \| \mathbf v_1 \|^2 + m_2 \| \mathbf v_2 \|^2 = u$
، جایی که $\| \mathbf v \|^2 = (\dot x)^2 + (\dot y)^2 + (\dot z)^2$
.این واقعیت که ما سطح توپ بدون اصطکاک را فرض می کنیم به این معنی است که جهت ضربه در لحظه مشخص است، اما اندازه آن ناشناخته است: ضربه روی توپ$\Delta \mathbf p = k\left( \mathbf x_2 - \mathbf x_1 \right)$ است.. x2−x1
جهت می دهد، اجازه می دهد k بودن یک عدد مثبت ناشناخته نشان دهنده این واقعیت است که ما فقط جهت ضربه را می دانیم و باید اجازه دهیم قدر توسط قوانین حفاظت تعیین شود.
اگر t- را بگیرید زمان بلافاصله قبل از برخورد و t+ باشد زمان بلافاصله پس از آن باشد، سپس $\mathbf p_1(t^+) = \mathbf p_1(t^-) + \Delta \mathbf p$
و $\mathbf p_2(t^+) = \mathbf p_2(t^-) - \Delta \mathbf p$ ، جایی که $p=mv$
. به $+ \Delta \mathbf p$ و -$- \Delta \mathbf p$ توجه کنید
، به ترتیب.در این مرحله باید دقیقاً معادلات کافی در مجهولات دقیقاً به اندازه کافی داشته باشید تا سرعت های پایانی خود را از سرعت های ابتدایی خود محاسبه کنید.
