اول قانون اول ترمودینامیک. مبتنی بر قانون بقای انرژیه که می گوید انرژی ایجاد یا از بین نمیره بلکه می تواند از شکلی به شکل دیگر منتقل بشه
خیر. اگر نیروی خالصی بر جسمی وارد نشه برای حفظ حرکت نه انرژی لازمه و نه نیرو. طبق قانون اول حرکت نیوتن اینرسی..طبق قانون اول حرکت نیوتن هر جسمی که با سرعت ثابت حرکت می کنه هیچ نیروی خارجی خالصی بر آن وارد نمی شه به این معنی که مجموع نیروهای وارد بر جسم باید صفر باشه.نیروهای داخلی می توانند چیزها را به حرکت دربیارن. هیچ چیز نمیگه آنها نمی توانند. درستع که هر نیروی داخلی دارای یک «نیروی برابر و مخالف» است که درونی نیز هست بنابراین حرکت حفظ میشه حداقل هنگام در نظر گرفتن نیروهای داخلی. این همه ربطی به قانون سوم نیوتن دارد و ربطی به قانون اول نیوتن نداره. قانون اول نیوتن در مورد تمایز بین نیروهای داخلی و خارجی چیزی نمیگه
اگر می خواهید قانون اول نیوتن را اعمال کنید تنها چیزی که می گوییم این است که "من در حالت استراحت بودم جعبه به من فشار آورد من یک نیروی خالص را تجربه می کنم بنابراین شروع به حرکت می کنم."نیروی درونی در این زمینه نیرویی نیست که از درون هندسی جسمی وارد بشه. درونی است به این معنا که ناشی از برهمکنش بخش‌هایی از سیستمه که حرکت جمعی آنها (شتاب مرکز جرم آن) را مدنظر دارید.
بنابراین هنگام تجزیه و تحلیل حرکت کل سیستم (جعبه و شخص با هم)، می بینیم که مرکز جرم آن واقعاً شتاب نداشته . اما اگر فقط جعبه را در نظر بگیریم می بینیم که شتاب گرفته است اما نیوتن جای نگرانی نداره زیرا یک نیروی خارجی (دستم) باعث شتاب شده نه اشیا برای همیشه شتاب نخواهند داشت. برای داشتن شتاب باید نیرویی داشته باشید (از F=ma) و فقط در فضا بودن نیرو ایجاد نمی کنه.
چیزی که در فضا ثابت می ماند (کلمه فنی تر: خلاء) سرعته زیرا هیچ اصطکاک گرانش و غیره برای کاهش سرعت جسم وجود ندارد. اگر سرعت ثابت بمونه انرژی جنبشی نیز ثابت میمونه
اگر جسمی در حال شتابه باید به این معنی باشه که توسط نیروی F هدایت می شود یا جرم خود را به انرژی تبدیل می کند.
اگر توسط یک نیرو هدایت شود کار انجام شده توسط نیرو به انرژی جنبشی تبدیل میشه و اگر از جرم خود برای شتاب استفاده کنه در نقطه ای جرم آن صفر می شود (جرم به انرژی جنبشی تبدیل میشه).
انرژی در هر دو مورد حفظ می شود. یک جسم فقط تا زمانی شتاب می گیرد که به آن انرژی داده شود که آن را به انرژی جنبشی تبدیل می کنه.
بیایید بگوییم میدان نیرویی داریم که دائماً بر روی جسم خیالی تأثیر می گذاره. در این صورت جسم شتاب می گیرد تا به سرعت نور برسه. نظریه نسبیت دکتر انیشتن میگه که هیچ جرمی نمی تواند سریعتر از سرعت نور حرکت کنه بنابراین نمی تواند و نمی تواند بی نهایت شتاب بگیره یک جسم فقط زمانی شتاب می گیره که نیرویی بر آن وارد بشه. اگر نیرو برای مدت معینی اعمال بشه (مثلاً یک تقویت از موشک) با توقف نیرو شتاب متوقف میشه. در هر صورت، هر انرژی اضافی که توسط جسمی که شتاب می‌گیرد به دست می‌اد توسط منبع نیرو از دست میره
نقض قانون اول حرکت نیوتن در حرکت فضاپیماها در خلاء فضا
فرض کنید یک موشک در حال استراحت در فضایی است که در آن خلاء کامل وجود دارد و هیچ نیرویی برای تأثیرگذاری بر موشک وجود نداره
در سمت چپ من موشک با یک توپ فلزی در آن دارم. پس از پرتاب توپ به بیرون از موشک طبق قانون اول حرکت نیوتن زیرا هیچ نیرویی روی سیستم تأثیر نمی گذارد$\sum F = 0)$
و سیستم در ابتدا در حالت سکونه مرکز جرم سیستم همچنان در حالت سکونه اگرچه توپ و موشک در جهت مخالف حرکت خواهند کرد. در این مورد می توانیم قانون اول حرکت نیوتن را به این معادله بدم
$m_1 v_1 = m_2 v_2$ (همانطور که ممکنه به عنوان حفظ تکانه تعبیر شود)بنابراین، بسته به جرم موشک (m1) و جرم توپ فلزی (m2) و سرعت توپ هنگام خروج از موشک (v2)
، می توانیم سرعت موشک را محاسبه کنم (v1).اکنون، در سمت راستم همان موشک را دارم اما این بار به جای توپ فلزی یک مخزن گاز مایع (یک گاز واقعی) داریم. پس از باز کردن مخزن گاز در خلاء از موشک خارج می شود و من انتظار دارم که موشک در جهت مخالف حرکت کنه همانطور که فضاپیماهای در خلاء فضا حرکت می کن. فرض کنید جرم گاز مایع در ابتدا دوباره m2باشد
و فرض کنید پس از خروج گاز از مخزن به طور کامل موشک سرعت v1 را دریافت می کنه و جرم موشک (شامل مخزن خالی) دوباره m1 است
. با اعمال مجدد قانون اول حرکت نیوتن در این مورد، می‌توانیم (یا باید بتوانیم) سرعت متوسط (v2) را محاسبه کنیم.
از مجموع جرم گازی که در خلاء جریان یافته و پراکنده شده است، با این حال بدیهی است که منطقاً نمی توان چنین سرعتی را تصور کرد! مولکول های گاز در خلاء فضا در هر جهتی حرکت می کنند. آنها به همان شکلی که یک توپ فلزی حرکت می کند در فضا حرکت نمیکنن. به عبارت دیگر ما نمی توانیم توده ای از گاز را در فضا پرتاب کنیم و در جهت مخالف آن حرکت کنیم.
نتیجه: حرکت فضاپیمای جت در خلاء فضا غیرممکن است!
سوال: دلیل بالا چه اشکالی دارد؟اشتباه کردم: «مولکول‌های گاز در خلأ فضا به هر جهتی حرکت می‌کنند به همان شکلی که یک توپ فلزی حرکت می‌کنه در فضا حرکت نمی‌کنند». من مطمئن نیستم که چرا شما فرض می کنم که گاز یک موشک در همه جهات پخش می شود. شاید شما در حال تصویر کردن تلاطمی هستید که توسط اگزوز موشک در زمانی که موشک برای اولین بار از سکوی پرتاب خارج می‌شود؟ –
اگر تکانه تمام مولکول های گاز را (به صورت برداری) جمع کنید، اندازه حرکت ترکیبی برابر با اندازه موشک و در جهت مخالف خواهد بود. به عبارت دیگر، سرعت مولکول ها از موشک بایاس می شود.
در نظر بگیرید که اگر در اولین مدلم یک شهاب سنگ کوچک با بال برخورد کند چه اتفاقی می افته بعد از اینکه پرتاب شد. مرکز ثقل سیستم را تغییر می دهد اما آیا بر حرکت موشک تاثیر می گذارد؟ این به این دلیل نیست که وقتی توپ از موشک پرتاب می شود دیگر هیچ تأثیری روی اون ندارد. این نیرویی است که قبل از پرتاب به توپ وارد می شود که باعث حرکت موشک میشه. گاز هم همینطوره اگر اتفاقاً بگن پس از پرتاب به یکدیگر برخورد کنید (شاید به دلیل سرعت ناهماهنگ) تأثیری بر حرکت کشتی ندارد.
، همه اینها در مدل نیوتنی صادق است. آنچه من می‌گویم این است که مولکول‌های گاز در یک ابر به هم آویزان شوند، مانند توپ‌های فلزی کوچک به فضای خالی شلیک کنند
مرکز جرم یک ساختار مفید برای مدل های ریاضیه نقض بقای انرژی در هنگام برخورد یک ذره با بخش های مختلف یک میله
یک میله همگن با جرم کل M و طول l شناور در فضای آزاد بدون اینکه هیچ نیرو یا محدودیتی بر آن وارد شود. سپس، در مورد دو سناریو ممکن فکر کنید. در اول، ذره ای با تکانه خطی mv درست در مرکز میله برخورد می کند. در مرحله دوم، همان ذره با تکانه خطی یکسان درست در یکی از انتهای میله برخورد می کند.مورد اول در حالت اول هیچ چرخشی وجود نخواهد داشت فقط حرکت انتقالیوجود دارد. من پایستگی تکانه را اعمال می کنم (جایی که فکر می کنم دو حالت وجود دارد، یکی با ذره که دارای تکانه خطی نهایی $v_f$ است. و دیگری با$-v_f$ ، اما اولی را حذف می کنم).$mv = MV - mv_f \quad \quad V= \frac{m}{M}(v+v_f)$سپس انرژی نهایی:$E_f = \frac{1}{2} MV^2 + \frac{1}{2} mv_f^2 = \frac{m^2}{2M} (v+v_f)^2 + \frac{1}{2} mv_f^2$
مورد دوم در مورد دوم فقط چرخش وجود خواهد داشت (یا من فکر می کنم چنین است اما من واقعاً گیج می شوم، به همین دلیل است که این سناریوها را برای تلاش برای اثبات آن ارائه کرده ام) بدون حرکت انتقالی. مجدداً بقای حرکت را اعمال می کنم $mv = MV - mv_f \quad \quad V= \frac{m}{M}(v+v_f)$
بگذارید توضیح دهم که چه چیزی V در این مورد نشان می دهد. از آنجایی که میله می چرخه تمام نقاط آن سرعت یکسانی ندارن اما از آنجایی که سرعت با شعاع به صورت خطی افزایش می یابد و میله همگن است، اگر سرعت انتها $2V$ باشه (که من مجبورش می کنم اینطور باشد) پس میانگین سرعت کل میله V است . سپس ادامه میدم (ضرب ضربدر L مهم نیست)$I \omega = L = pr = MV l/4 = \frac{ml(v+v_f)}{4}$ بنابراین انرژی نهایی کل سیستم (دارای$I=\frac{1}{12}Ml^2$ است $E_f= \frac{1}{2} \frac{(I\omega)^2}{I} + \frac{1}{2} mv_f^2 = \frac{3m^2}{8M} (v+v_f)^2 + \frac{1}{2} mv_f^2$ بنابراین با مقایسه این دو مورد، تفاوتی در انرژی نهایی وجود داره به ویژه اختلاف $\frac{m^2}{8M} (v+v_f)^2$
، که منطقی نیست.نتیجه گیری این تفاوت می تواند معانی مختلفی داشته باشه و من نمی دانم کدام یک از اینها است یا حتی اگر به چیز دیگری دلالت کند که من به آن فکر نکرده ام. اما قبل از آن، چیزی وجود دارد که من نمی فهمم و پس از آن نیازی به توضیحات دیگری نیست.
همانطور که گفتم میانگین سرعت میله V است پس چرا باید هنگام چرخش سرعت متفاوتی نسبت به زمانی که کل میله در حال پیشروی است داشته باشد؟ در نهایت، جرم حاصلضرب ضربدر سرعت یکسان است. پس این یک چیز است که من نمی فهمم.
اگر اینطور نیست و انرژی جنبشی بنا به دلایلی متفاوت است، در اینجا توضیحاتی برای این تفاوت در انرژی ها فکر کرده ام:
در مورد دوم نیز انرژی جنبشی به شکل انتقال میله وجود دارد، و نه تنها چرخش، به ویژه با انرژی جنبشی انتقالی $\frac{m^2}{8M} (v+v_f)^2$
، اما چرا این مقدار خاص؟در واقع، جدا از چرخش، میله مانند حالت اول دارای انرژی جنبشی انتقالی است و$v_f$
در حالت دوم چیزی است که باعث ایجاد اختلاف می شود، بسیار کوچکتر است، بنابراین در این حالت میله در هنگام برخورد ذره در یکی از انتها انرژی جنبشی بسیار بیشتری نسبت به برخورد آن در مرکز خواهد داشت.هیچ حرکت انتقالی وجود ندارد که با فرضیه من موافق باشد و $v_f$ در مورد دوم بزرگتر از حالت اول خواهد بود.
در حالت دوم هم احرکت انتقالی و هم چرخش وجود خواهد داشت. تکانه خطی و زاویه ای هر دو باید حفظ شوند. –
در هر دو مورد، اگر بقای تکانه خطی را اعمال کنید، رابطه بین سرعت مرکز جرم میله V وجود داره
و سرعت نهایی ذره $(-) v_{\rm f}$ و$V = \frac mM (v+v_{\rm f})$ است .با این حال سرعت های نهایی ذره $v_{\rm f1}$ و $v_{\rm f2}$ و میله $V_1$ و$V_2$
در این دو مورد لزوماً یکسان نیستند.
از آنجایی که هیچ گشتاور خارجی بر روی میله و ذره اثر نمی‌گذاره بقای تکانه زاویه‌ای باید برآورده شود که وقتی در مورد مرکز جرم اعمال می‌شود، $mv\frac L2= mv_{\rm f2} \frac L2 + I_{\rm c}\omega$ به دست می‌آید. جایی که $I_{\rm c}$ ممان اینرسی میله در مورد مرکز جرم و ω سرعت زاویه ای آن است.
انرژی جنبشی نهایی برای حالت دوم $\frac 12 MV_2^2+ \frac 12 m v_{f2}^2 + \frac 12 I_{\rm c}\omega^2$ است.
در حالی که در مورد اول $\frac 12 MV_1^2+ \frac 12 m v_{f1}^2$ بوداگر می خواهید انرژی جنبشی در طول برخورد حفظ بشه سرعت انتقال نهایی میله و ذره در حالت دوم در مقایسه با حالت اول کمتر است.
سوال دوم
اچه زمانی جسم دوار را به عنوان جرم نقطه ای در نظر بگیریم؟
من از شما می‌خواهم این سوال را حل کنید، اما به هر حال برای روشن‌تر شدن این سوال اینجاست:
میله ای به جرم m و طول 2R می تواند حول محوری که از O می گذرد بچرخه در صفحه عمودی یک دیسک به جرم m و شعاع R/2 به انتهای دیگر P متصل می شود از میله و می تواند آزادانه در اطراف P بچرخد. وقتی دیسک در پایین ترین نقطه قرار داره هم میله و هم دیسک دارای سرعت زاویه ای ω هستند . اگر میله با حداکثر زاویه 60 درجه بچرخد با عمودی رو به پایین، سپس ω را پیدا کنید از نظر R و g (همه لولاها صاف هستند).(پاسخ: $\omega = \sqrt{\frac{9g}{16R}}$
حالا، چیزی که من به این نتیجه رسیدم این است که چرخش دیسک مشکل را پیچیده نمی کند زیرا هیچ نیرویی مخالف چرخش آن نیستش و با همان سرعت زاویه ای در سرتاسر می چرخه
بنابراین، جریان حل من این بود که گشتاور را در حدود O بالایی محاسبه کنم
نقطه در یک زاویه دلخواه θ برای کل سیستم (برای کل سیستم زیرا به این ترتیب من نیازی به برخورد با نیروهای لولا روی هر دو بدن ندارم)، سرعت زاویه ای را به عنوان تابعی از g پیدا کنم
و R .اما، برای محاسبه گشتاور من به ممان اینرسی آنها در مورد O نیاز دارم . و مشکل اینجاست.
اگر $Io$ را محاسبه کنم مانند $Io = I(rod\,\,about\,\,O) + [ I(disc\,\,about\,\,its\,\,COM) + m(2R)^2]$، جایی که m جرم دیسک و 2R است
فاصله آن از O است، من جواب نمی گیرم
با این حال، اگر I (دیسک مربوط به COM آن) را نادیده بگیرم و دیسک را به عنوان جرم نقطه ای در P در نظر بگیرم.، راه حل جواب می دهد. چرا باید اینجوری باشه؟ آیا این فقط یک تصادف است یا واقعاً می توانیم این کار را انجام دهیم؟ و چرا می توانیم این کار را انجام دهیم؟
متاسفم برای این واقعیت که در یک مرحله، من به طور تصادفی از L استفاده کردم به جای R و همچنین علامت منفی را فراموش کرده. خوشبختانه این اشتباه در راه حل منتشر نمیشه
من این سوال را به صورت زیر مطرح می کنم:
چرا می توانم MMOI دیسک را هنگام محاسبه انرژی جنبشی سیستم نادیده بگیرم وقتی θ=0 پاسخ سریع این است که KE دیسک بدون توجه به زاویه نوسان یکسانه، زیرا آزادانه می چرخه و گشتاور صفر بر روی آن اعمال میشه بنابراین می توانید آن را وارد کنید، اما باید ω را حفظ کنم حتی زمانی که زاویه نوسان 60 درجه باشد که باعث ایجاد عبارات یکسان در سمت چپ با سمت راست تعادل انرژی می شود.
یا می توانید آن را به کلی نادیده بگیرید و مشکل را ساده کنید. اما از آنجایی که مرکز جرم دیسک در حال حرکت است، $m(2R)^2$ باید گنجانده شود.
