به طور خلاصه میدونم که انتقال انرژی بین دو جسم با سرعت یکسان در همه جهات اتفاق میفته. با فرض یک سیستم حالت پایدار برای یافتن دما باید دو متغیر برابر تنظیم شوند. سرعت جریان گرما از طریق یک میله با ضرب قدرت منبع گرما در فاصله بین منبع گرما و جسم به دست می آید.$P = k A \frac{dT}{dx}/$
تعریف سرعت جریان گرما$\frac{\Delta Q}{\Delta t}=-kA\frac{\Delta T}{\Delta x}$
هدایت گرما در دو جامد با اختلاف رسانایی حرارتی زیاد
در رابط، فرض میکنم معادله تفاضل محدود در رابط باید باشه
$\frac{k_1(T_{i-1}-T_i)}{\Delta x}=\frac{k_2(T_{i}-T_{i+1})}{\Delta x}$یا
$\frac{1}{2}(\rho_1Cp_1+\rho_2Cp_2)\frac{T^{n+1}_i-T^n_i}{\Delta t}=k_1\frac{T^{n+1}_{i-1}-T^{n+1}_i}{\Delta x^2}+k_2\frac{T^{n+1}_{i+1}-T^{n+1}_i}{\Delta x^2}$رسانایی حرارتی 2 جامد 0.5 و 400 و $\rho_1Cp_1$ . و $\rho_2Cp_2$ برابر فرض میکنم. اما وقتی با استفاده از کد زیر (در Matlab) مشکل را حل کردم نتیجه دیگه گرفتم. یعنی عملکرد انتقال حرارت 2 جامد با $k_1=0.5$
و $k_2=400$ بدتر ازموقعی که $k_1=k_2=0.5$ باشه
بنابراین من متعجب هستم که آیا در صورت تفاوت بین $k_1$،و$k_2$ معیار خاصی وجود دارد که باید اعمال شود
:$ρ$و، $C_p$وk به ترتیب چگالی ظرفیت گرمایی و هدایت حرارتی هستن. و زیرنویس های 1،2 مخفف دو ماده هستند. معادله دوم در بالا بر اساس بقای انرژی بر روی حجم کنترل$i-\frac{1}{2}\Delta x \backsim i+\frac{1}{2}\Delta x$ هست
$\rho_1Cp_1\frac{1}{2}A\Delta x\frac{\partial T}{\partial t}+\rho_2Cp_2\frac{1}{2}A\Delta x\frac{\partial T}{\partial t}=(k_1A{\frac{\partial T}{\partial x}})_{x\rightarrow i^-}+(k_2A{\frac{\partial T}{\partial x}})_{x\rightarrow i^+}$جایی که L.H.S. نرخ تغییر انرژی در داخل حجم کنترل، R.H.S است. شار حرارتی تزریق شده به حجم کنترل است و A
مساحت واحد است.
$clear all
L=1;
d=0.5;%model dimension
dx=d/40;%grid size
GN=d/dx+1;%interface position
N=L/dx+1; %total grid number
rho1=900;
cp1=2000;
k1=0.5;
rho2=900;
cp2=2000;
k2=400;
a1=k1/(rho1*cp1);
a2=k2/(rho2*cp2);%thermomechanical properties
Time=100000; %total time
dt=1;%time step
alpha=dx^2/dt;
T0=273.15+25;%initial temperature
Tb=273.15+100;%boundary temperature
Ntime=round(Time/dt);%time steps
theta=zeros(Ntime,N);%temperature field history
T=T0*ones(1,N);%initial temperature
T(:,1)=Tb;%LHS B.C.
T2=T;
R=1;
for p=1:1:Ntime
p
theta(p,:)=T;
while (R>10e-5)
T3=T2;
for i=2:1:GN-1
T2(i)=(a1*(T2(i-1)+T2(i+1))+alpha*T(i))/(alpha+2*a1);
end
T2(GN)=(k1*T2(GN-1)+k2*T2(GN+1))/(k1+k2);
for i=GN+1:1:N-1
T2(i)=(a2*(T2(i-1)+T2(i+1))+alpha*T(i))/(alpha+2*a2);
end
T2(N)=(a2*(T2(N-1)+T2(N-1))+alpha*T(N))/(alpha+2*a2);
R=max(abs(T3-T2)) ;
end
T=T2;
R=1;
end
t$
هدایت حرارتی به عنوان انتقال انرژی ناشی از حرکت مولکولی تصادفی در یک گرادیان دما تعریف میشه متمایز از انتقال انرژی توسط همرفت و کار مولکولیه چون شامل جریان های ماکروسکوپی یا تنش های داخلی نمیشه جریان انرژی ناشی از هدایت حرارتی به عنوان گرما طبقه بندی میشه و توسط بردار کمی سازی میشه${\displaystyle \mathbf {q} (\mathbf {r} ,t)}$طبق قانون دوم ترمودینامیک گرما از دمای بالا به پایین جریان داره${\displaystyle \mathbf {q} (\mathbf {r} ,t)}$متناسبه با گرادیان میدان دما ${\displaystyle T(\mathbf {r} ,t)}$یعنی${\displaystyle \mathbf {q} (\mathbf {r} ,t)=-k\nabla T(\mathbf {r} ,t),}$
من یک بلوک از ماده 1 و یک بلوک از ماده 2 دارم. آنها با یکدیگر در تماس هستند و رابطی از ناحیه A را به اشتراک میگذارند.
ماده 1 با دمای T1(t) به عنوان یک خازن جرمی رفتار میکنه. ماده 2 دارای توزیع دمایی T2 (x,t) است. در زمان t = 0، T1 > T2، با T2 در ابتدا برای همه x ثابته
چگونه می توانم Q'(t) سرعت انتقال حرارت از ماده 1 به ماده 2 را به دلیل رسانایی بر حسب T1(t) و/یا T2(x,t) تعیین کنم؟
فرض میکنم k2 رسانایی حرارتی ماده 2 شناخته شده است. (آیا برای حل مشکل باید k1 یا هر ثابت دیگری را نیز بدانم من می دانم که معادله معمول برای انتقال حرارت رسانا از طریق یک جسم منفرد است
$Q'(x,t) = k*A*\frac{dT(x,t)}{dx}$
بنابراین من در ابتدا فرض کردم که سرعت انتقال حرارت از ماده 1 به ماده 2 ساده است$Q'(t) = k2*A*\frac{dT2(x = 0,t)}{dx}$
اگر ابتدا موردی را در نظر بگیرم که T1 با زمان ثابته و متوسط 2 از نظر ضخامت نیمه نامتناهی است (یا با ضخامت محدوده اما برای زمان های نسبتاً کوتاه) راه حل برای مشخصات دمای وابسته به زمان در محیط 2 هم:$\frac{T_2-T_{2,\infty}}{T_1-T_{2,\infty}}=\operatorname{erfc}\left({\frac{x}{\sqrt{4\alpha t}}}\right)$
که در اون erfc تابع خطای تکمیلی$T_{2,\infty}$ است
دمای محیط 2 در زمان صفر (و همچنین در فواصل دور از مرز) و$\alpha$ انتشار حرارتیه. از این معادله میدونم که شار حرارتی در مرز بین دو محیط $q\equiv-k\frac{\partial T_2}{\partial x}=\frac{k}{\sqrt{\pi}\alpha t}(T_1-T_{2,\infty})$
چرا رسانایی حرارتی بزرگتر گرادیان دمایی کمتری ایجاد میکنه
من امروز به قانون فوریه در انتقال حرارت فکر میکردم و به دلایلی فقط روابطی را که به ما میده را درک نمیکنم. فوریه به ما میگه که اگر سرعت انتقال حرارت ثابت نگه داشته بشه هدایت حرارتی بزرگتر گرادیان دمایی کمتری را ایجاد میکنه
من دلیل فیزیکی پشت این قضیه رو نمیفهمیدم یا فقط تعریف رسانایی گرمایی را اشتباه درک میکردم.
من فکر میکردم که از آنجایی که رسانایی حرارتی سهولت انتقال گرما از طریق یک ماده است رسانایی حرارتی بالا به این معنیه که گرما به راحتی منتقل میشه بنابراین یک طرف ماده در دمای بسیار بیشتری نسبت به طرف دیگر قرار دارد و یک گرادیان دمایی بزرگ ایجاد میشه. در واقع این در واقع برعکسه
این دقیقا همان آنالوگ مقاومت الکتریکیه یک اتصال با مقاومت کم اختلاف ولتاژ کمی دارد مقاومت بالا به این معنی است که شما اختلاف پتانسیل بالایی برای همان جریان دریافت می کنید.
شار حرارتی $Q [W/m^2]$ از طریق گرادیان دما و ضریب هدایت حرارتی λ تعیین میشه مثل این: $Q=\lambda\cdot(T_2-T_1)/L.$
اگر اختلاف دما را ثابت نگه دارم این شاره که با افزایش λ افزایش مییابه . در صورتی که دو جیم با سرعت بالا با یک لایه رسانای گرما جامد از هم جدا شوند امکان پذیره
اگر شار را ثابت نگه دارم دیگر نیازی به اختلاف دمای زیاد برای تامین اون ندارم زیرا رسانایی بالا مقاومت حرارتی ماده را کاهش میده. مقاومت حرارتی متناسب با $1/\lambda$است
. چنین وضعیتی زمانی امکان پذیره که یک منبع حرارتی با توان معین از بیرون خنک بشه هرچه رسانایی عایق آن بیشتر باشه منبع سردتر نسبت به دمای بیرونی هستش
من به قانون فوریه نگاه کردم
$\vec q = -k \nabla T$بنابراین از تحلیل ابعادی پایه با فرض اینکه شار گرما و فاصله ای که گرادیان در آن رخ میده را میدونم اگر رسانایی حرارتی زیاد باشه اختلاف دما باید کم باشه
چگونه معادله حرارت مواد مرکب با رسانایی حرارتی متفاوت را به صورت عددی حل کنم؟
من معادله گرما را با شرایط مرزی وابسته به زمان به صورت عددی در یک سیستم دو بعدی با استفاده از طرح ADI حل میکنم.روش ضمنی جهت متناوب در جبر خطی عددی روش ضمنی جهت متناوب (ADI) یک روش تکراری است که برای حل معادلات ماتریس سیلوستر استفاده میشه همچنین برای حل عددی معادلات دیفرانسیل جزئی سهموی و بیضوی استفاده میشه و روشی کلاسیکه که برای مدل‌سازی هدایت گرما و حل معادله انتشار در دو یا چند بعد استفاده میشه.برای این سوال رسانایی گرما را ثابت فرض کنم و سیستم 1 بعدی را فرض کنم بنابراین
$\rho c_p \frac{\partial T}{\partial t} = \lambda \frac{\partial^2 T}{\partial x^2}.$این خیلی خوب عمل میکنه اما اکنون سعی میکنم ماده دوم را معرفی کنم. این یکی از نظر ظرفیت گرمایی و چگالی کمی متفاوت است، اما رسانایی گرمایی بسیار متفاوتی داره یعنی یک تغییر مرحله ای در λ.
در طرح ADI چگونه باید به صورت عددی با آن برخورد کرد؟ من میتونم به روشهای مختلفی فکر کنم:
دو ماده را به‌عنوان حوزه‌های مستقل در نظر بگیرم و آنها را با یک شرط مرزی با محاسبه جریان گرما در داخل و خارج از فصل مشترک بر حسب دما در طرف دیگر رابط در آخرین مرحله زمانی به هم متصل کنم. از یک تفاوت رو به جلو ساده برای آن در هر دو طرف رابط استفاده کنم
آن را به عنوان یک دامنه در نظر بگیرم و از یک گسسته سازی بسیار خوب در مقایسه با مواد همگن رابط را ببندم. از این روش استفاده کنم$\lambda_{left} \frac{T_i - T_{i-1}}{\Delta x_i} = \lambda_{right} \frac{T_j - T_{j+1}}{\Delta x_j},$جایی که $i$و$j$ به جای ADI استاندارد برای آن نقاط، نقاط چپ و راست رابط هستند.
فرض هدایت حرارتی ثابت را کنار بگذارم و از آن استفاده کنم $\rho c_p \frac{\partial T}{\partial t} = \frac{\partial \lambda}{\partial x}\frac{\partial T}{\partial x} + \lambda \frac{\partial^2 T}{\partial x^2}.$ اما برای انجام این کار باید مشتق لامبدا را در موقعیت پله تقریبی کرد یعنی یک مشخصه ناشناخته عرض s معرفی کرد.من میدونم معادله گرمای تعمیم یافته
$\frac{\partial T}{\partial t}=\nabla\cdot\left(\alpha\nabla T\right)$
اگر $\alpha$ از نظر فضایی مستقله سپس میتونم آن را از عملگر دیفرانسیل بیرون بکشم و معادله 1خودمو را به دستبیارم. اگر $\alpha$
از نظر مکانی وابستیه سپس از نظر عددی در یک بعد من باید
$\frac{T^{n+1}_i-T^n_i}{dt}=\frac1{dx^2}\left[\alpha_{i+\frac12}\left(T^n_{i+1}-T^n_{i}\right)-\alpha_{i-\frac12}\left(T^n_i-T^n_{i-1}\right)\right]$جایی که$\alpha_{i+\frac12}=\frac12\left(\alpha_{i+1}+\alpha_{i}\right)$و همه اصطلاحات دیگر معنای عادی خود را دارند. گسترش به روش های 2 بعدی یا ضمنی باید از اینجا بی اهمیت باشه
