در نظر گرفتن FEA به عنوان یک فرآیند چند مرحله ای فیلتر که از طریق آن یک مسئله مهندسی دنیای واقعی به نتایج مفید تبدیل می شود می تواند مفید باشد. هدف از هر مرحله فیلتر حذف اطلاعات اضافی یا غیر ضروری و در عین حال حفظ یک نمایش دقیق و مفید از برخی پدیده های فیزیکی است.
اولین فیلتر در این فرآیند چند مرحله ای نظریه مهندسی است. تئوری مهندسی به ما اجازه می دهد تا با زیرمجموعه ای ناقص از اطلاعات، یک نمایش ریاضی معتبر از یک مسئله دنیای واقعی ایجاد کنیم. مرحله دوم نظریه اجزای محدود است. این همان چیزی است که قبلا در این پست بررسی کردیم. نظریه اجزای محدود مجموعه ای از تقریب ها و مصالحه های خود را در بالای نظریه مهندسی معرفی می کند. مرحله سوم ورودی کاربر است. این احتمالاً مهمترین و محدود کننده ترین فیلتر در فرآیند مدل سازی است. مدل های ما یک راه حل تقریبا درست را برای مسئله اشتباه باز می گردانند. مرحله بعدی خود کد المان محدود است. این اجرای واقعی تئوری اجزای محدود است. کد نتایجی را برمی گرداند که برای مفید بودن باید تفسیر شوند.
راه اندازی مدل
اکنون که درک اولیه ای از ریاضیات پشت FEA و همچنین چارچوبی برای تفکر در مورد مدل های FE به طور کلی داریم، می توانیم به راهنمایی های عملی برای ساخت مدل های مفید بپردازیم. ما روی برنامه‌ها یا رابط‌های المان محدود خاص تمرکز نخواهیم کرد، بنابراین این راهنمایی باید به طور گسترده قابل اجرا باشد. چند سوال کلیدی وجود دارد که به فکر کردن در مورد هر مدل المان محدودی که ایجاد می کنید کمک می کند
کاهش پیچیدگی
ما می توانیم انتظار داشته باشیم که منابع خطا به صورت تصاعدی با پیچیدگی مدل های ما افزایش یابد. همچنین، توانایی ما برای استدلال در مورد این مدل‌ها و استخراج تفاسیر مفید از داده‌های به‌دست‌آمده به‌شدت توسط پیچیدگی مدل مهار می‌شود. شما باید تلاش کنید تا مدل هایی با پیچیدگی بسازید که قادر به درک و واجد شرایط بودن آن هستید. این اصل به طور گسترده برای تجزیه و تحلیل خارج از عناصر محدود اعمال می شود. پاسخ صحیح با وضوح پایین مفیدتر از پاسخ نادرست با وضوح بالا است. بر این اساس، اولین سوالی که باید از خود بپرسید این است که چگونه می توانم پیچیدگی مدل خود را تا حدی کاهش دهم که بتوانم به نتایج اطمینان بالایی داشته باشم؟
جریان از کنار یک استوانه - روش پروجکشن - شرایط مرزی
من قصد دارم کدی بنویسم که جریان عبور از یک استوانه را حل کند و سعی کنم خیابان گرداب فون-کارمان را ببینم. من ناویر استوکس دوبعدی چسبناک و تراکم ناپذیر را با استفاده از روش طرح ریزی حل می کنم. شکل زیر زیر مجموعه ای از مرز مورد نظر من را نشان می دهد.
من در مورد جدا کردن سرعت و فشار برای روش طرح ریزی گیج هستم. از آنجایی که ما فشار و سرعت را جدا می کنیم، برای مثال شرایط مرزی فشار در سطح سیلندر چگونه باید باشد؟ مشکل این است که ما یک مجموعه کاملاً جدید از شرایط مرزی برای تنظیم داریم. چگونه قرار است تعیین شوند؟، اما در واقع یک شرط مرزی خوب برای فشار در معادله تراکم ناپذیر ناویر-استوکس وجود دارد که (تقریباً) از خود معادلات مشتق شده است. برای حرکات سیال تحت شرایط بدون لغزش u=0 روی مرز و با نیروی جسمf، شرط مرزی فشار شکل می گیرد$\frac{\partial p}{\partial \mathbf{n}} =
-\nu \mathbf{n}\cdot( \nu \nabla\times\nabla\times \mathbf{u}) +\mathbf{n}\cdot\mathbf{f}.$منظور من از این این است
حل منظم معادلات تراکم ناپذیر ناویر-استوکس، و (ii) معادلات ناویر-استوکس در صورتی که شرایط بدون واگرایی جایگزین شود، به خوبی در حالت قرار می گیرند. $\nabla\cdot\mathbf{u}=0$ توسط معادله پواسون برای فشار با شرایط مرزی بالا.این واقعیت که شرط مرزی ضروری است از هویت برداری ناشی می شود$-\nabla\times\nabla\times \mathbf{u} = \Delta\mathbf{u}-\nabla\nabla\cdot\mathbf{u}.$
البته $\nabla\cdot\mathbf{u}=0$ برای راه حل دقیق Navier-Stokes، اما این به معنای ∇⋅u نیست را می توان در تئوری موقعیت خوب یا در مراحل میانی در روش های طرح ریزی نادیده گرفت.دلیل عمیق‌تر برای ظاهر شدن اصطلاح curl-curl این است که سهم آن در گرادیان فشار دقیقاً از شکست لاپلاسین در رفت‌وآمد با تجزیه هلمهولتز ناشی می‌شود.پاسخ به شرایط مرزی فیزیکی میدان سرعت بستگی دارد. از آنجایی که شما از معادلات تراکم ناپذیر ناویر-استوکس استفاده می کنید، بر خلاف معادلات اویلر، شرط$\mathbf{u} \cdot \mathbf{n} = 0$ در سطح سیلندر مشکل را تعیین نمی کند. در مقابل، یک شرط مرزی معمولی برای جریان ویسکوز از یک سیلندر u=0 است در مرز؛ این حالت بدون لغزش است.البته، از نظر فیزیکی، هیچ شرط مرزی برای فشار وجود ندارد، اما ماهیت روش طرح ریزی ما را ملزم می کند که یک شرط مرزی عددی ارائه دهیم. با فرض یک مرز سیلندر بدون لغزش، شرایط مرزی مناسب در به روز رسانی فشار ϕ پس از آن است$\frac{\partial \phi}{\partial \mathbf{n}} = 0.$به عبارت دیگر، به روز رسانی فشار ϕ باید یک شرط مرزی نویمان در سراسر مرز سیلندر داشته باشد.برای اینکه بفهمید چرا چنین است، موارد زیر را در نظر بگیرید. در روش طرح ریزی، مقدار $\mathbf{u}^n$ داده می شود
برای میدان سرعت در مرحله زمانی n، ما معمولاً معادلات ناویر-استوکس را با استفاده از یک عبارت فشار تاخیری حل می کنیم تا$\mathbf{u}^*$. سپس با پرتاب کردن قسمت تراکم ناپذیر حاصل به جلو قدم برداریم،
$\mathbf{u}^{n+1} = \mathcal{P}\mathbf{u}^*.$استفاده از تجزیه هلمهولتز برای نوشتن $\mathbf{u}^* = \nabla \phi + \mathbf{v}$، جایی که v بدون واگرایی است، می توانیم به روز رسانی را به عنوان بازنویسی کنیم$\mathbf{u}^{n+1} = \mathbf{u}^* - \Delta t \nabla \phi^{n+1}.$با توجه به واگرایی دو طرف و توسل دوباره به تجزیه هلمهولتز، به دست می آوریم$\mathbf{u}^{n+1} = \mathbf{u}^* - \Delta t \nabla \phi^{n+1}.$که معادله ای است که برای تعیین تصحیح فشار حل می کنیم.در یک مرز بدون لغزش می‌توانیم حاصل ضرب نقطه‌ای هر دو طرف به‌روزرسانی سرعت را با بردار معمولی مرز n بگیریم.
بدست آوردن$\mathbf{u}^{n+1}\cdot\mathbf{n} = \mathbf{u}^*\cdot\mathbf{n} - \Delta t \mathbf{n}\cdot\nabla \phi.$
اما از زمان $\mathbf{u}^{n+1}$ الزاماً از شرط مرزی بدون لغزش تبعیت می کند،$\mathbf{u}^{n+1} = 0$ داریم در مرز علاوه بر این، از زمانی که$\mathbf{u}^*$
با اعمال شرط مرزی بدون لغزش به دست آمد، ما داریم که $\mathbf{u}^* = 0$ در مرز نیز این ما را با این محدودیت می‌گذارد که در مرز$\frac{\partial \phi}{\partial \mathbf{n}} = \Delta t \mathbf{n}\cdot\nabla \phi = 0.$
