استخراج معادلات نیوتن اویلر

[rohamavation]

من در جستجوی یک نسخه ساده شده از استخراج معادلات نیوتن- اویلر (هم انتقالی و هم چرخشی) برای یک جسم صلب (بلوک سه بعدی) هستم که دارای فزیم ثابت بدنه است و مرکز جرم جسم در مرکز آن نیست. از جاذبه من می توانم مشتقات ابتدایی را برای همان سیستم پیدا کنم وقتی مرکز جرم در مرکز ثقل باشد، اما نه برای سیستم مورد نظرم.
بستگی به این دارد که ممان جرمی تانسور اینرسی را از قبل تعریف کرده باشید یا خیر.
اگر می دانید اینرسی جسمم $I_{body}$ است
و ماتریس چرخش 3x3 E است
سپس بردار تکانه زاویه ای در مرکز ثقل C هستش
$\vec{H}_C = \left( E I_{body} E^\top \right) \vec{\omega}$
و بردار تکانه خطیه$\vec{L} = m \vec{v}_C$
گشتاور جرمی تانسور اینرسی در امتداد مختصات در مرکز ثقل $I_C = E I_{body} E^\top$ هست.
که سرعت چرخش$\vec \omega$ را تبدیل می کند
به مختصات محلی، ضرب در $I_{body}$ خوب من معادلات حرکت در مرکز ثقل از مجموع نیروها و گشتاورها برابر با نرخ تغییر تکانه تعریف میکنم
$\sum \vec{F} = \dot{\vec{L}}$
$\sum \vec{M}_C = \dot{\vec{H}}_C$
یا$\sum \vec{F} = m \vec{a}_C$
$\sum \vec{M}_C = I_C \vec{\alpha} + \vec{\omega} \times I_C \vec{\omega}$
از آنجایی که مشتق زمانی تکانه زاویه ای در یک فریم دوار $\dot{\vec{H}_C} = \frac{\partial \vec{H}_C}{\partial t} + \vec{\omega} \times \vec{H}_C$ است.
توجه داشته باشید که$\dot{\vec{\omega}} = \vec{\alpha}$
و $\dot{\vec{\omega}} = \vec{\alpha}$
.حال برای توصیف معادلات در یک فریم A نه در C از تبدیل های زیر استفاده کنم (با موقعیت نسبی $\vec{c} =\vec{r}_C - \vec{r}_A$
.$\vec{a}_C = \vec{a}_A + \vec{\alpha} \times \vec{c} + \vec{\omega} \times (\vec{\omega} \times \vec{c})$
$\sum \vec{M}_C = \sum \vec{M}_A - \vec{c} \times \sum \vec{F}$
بنابراین در نهایت معادلات حرکت یک جسم صلب همانطور که توسط یک فریم A که در مرکز ثقل C نیستش$\boxed{ \begin{aligned}
\sum \vec{F} &= m \vec{a}_A - m \vec{c}\times \vec{\alpha} + m \vec{\omega}\times(\vec{\omega}\times\vec{c}) \\
\sum \vec{M}_A &= I_C \vec{\alpha} + m \vec{c} \times \vec{a}_A - m \vec{c} \times \vec{c} \times \vec{\alpha} +\vec{\omega} \times I_C \vec{\omega} + m \vec{c} \times \left( \vec{\omega} \times (\vec{\omega} \times \vec{c}) \right)
\end{aligned} }$
و$\sum \bf{f}_A = I_A \bf{a}_A + \bf{p}$
$\begin{pmatrix} \sum \vec{F} \\ \sum \vec{M}_A \end{pmatrix} =
\begin{bmatrix} m & -m \vec{c}\times \\ m \vec{c}\times & I_C - m \vec{c}\times \vec{c}\times \end{bmatrix} \begin{pmatrix} \vec{a}_A \\ \vec{\alpha} \end{pmatrix} + \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ \vec{c}\times & 1 \end{bmatrix}
\begin{pmatrix} m \vec{\omega}\times(\vec{\omega}\times\vec{c}) \\ \vec{\omega}\times I_C \vec{\omega} \end{pmatrix}$
به 0 و 1 بالا توجه کنید
ماتریس های 3x3 و $\vec{c}\times$ هستند
عملگر محصول متقابل 3x3 است که توسط
$\vec{ \begin{pmatrix} x\\y\\z \end{pmatrix} }\times = \begin{vmatrix} 0 & -z & y \\ z & 0 & -x \\ -y & x & 0 \end{vmatrix}$
اکنون ماتریس بزرگ 6x6 که ضرب شتاب را ضرب می کند، اینرسی فضایی در A است.