چرا یک جسم همیشه حول مرکز جرم خود می چرخد؟

[rohamavation]

چه دلیلی وجود داره که نیرویی که بر جسم صلب وارد میشه باعث بشه که به دور مرکز جرمش بچرخه؟
چرا یک جسم همیشه حول مرکز جرم خود می چرخد؟
هر نیرویی که به جسم وارد میشه گشتاوری را در اطراف نقطه مرجع ایجاد میکنه اما اگر همه نیروهای دیگر (گرانش و غیره) را نادیده بگیرم جسم میچرخه اگر و فقط اگر گشتاور نسبت به مرکز جرم صفر نباشه؟ چگونه میتونم این را ثابت کنم؟ چرا مرکز جرمه و نقطه دیگری نیستش؟
اگر گشتاور اطراف CoM صفر باشه باز هم می توانم بی نهایت نقاط دیگر را پیدا کنم به طوری که گشتاور اطراف همه آنها صفر نیست اما بدنه اصلا نمیچرخه.
من میتونم مرکز جرم را نقطه ای در نظر بگیرم که توزیع جرم جسم در اطراف آن کم و بیش یکسانه. بنابراین اگر جسم را با نوک تعادل وزن در این مرحله در تعادل وزن نگه دارم جسم کاملاً متعادله. حال یک کره جامد یکنواخت را در نظر میگیرم خوب که مرکز جرم آن در مرکز هندسی قرار داره. حالا آن را میچرخونم میبینم که به نظر میرسه تمام نقاط به جز مرکز در دایره های متحدالمرکز با یک محور مشترک حرکت میکنند در حالی که مرکز فقط در یک مسیر مستقیم حرکت میکنه. از آنجایی که هیچ حرکت چرخشی نداره بهترین frame of reference برای درک حرکت چرخشی ذرات دیگر هستش
برای پاسخ به این سوال ابتدا باید در نظر بگیرم که تکانه خطی و زاویه ای چگونه تعریف میشه. (در اینجا نقطه C مرکز جرم را مشخص میکنه).
تکانه خطی حاصل ضرب جرم اسکالر با سرعت خطی جسم صلب در مرکز جرمه $\mathbf{p} = m \mathbf{v}_C$
تکانه زاویه ای در مرکز جرم به عنوان حاصل ضرب گشتاور جرمی تانسور اینرسی در مرکز جرم و بردار سرعت دورانی تعریف میشه اینم میدونم
$\mathbf{L}_C = \mathrm{I}_C \boldsymbol{\omega}$
دلیل این تفاوت اینه که تکانه خطی حرکت مرکز جرم را توصیف میکنه و تکانه زاویه ای حرکت حول مرکز جرم را توصیف میکنه. این جدایی به طور طبیعی از معادلات خارج میشن که حرکت تمام ذرات روی یک جسم صلب را خلاصه میکنه.
وقتی تعاریف فوق را قبول کردم خوب حالا من میبینم نیروی خالص برابره با مشتق زمانی تکانه خطی
$\sum \mathbf{F} = \frac{{\rm d}}{{\rm d}t} \mathbf{p} = m \frac{{\rm d}}{{\rm d}t} \mathbf{v}_C = m \, \mathbf{a}_C$
گشتاور خالصNet torque در مورد مرکز جرم مشتق زمانی تکانه زاویه ای در مورد مرکز جرمه
$\sum \boldsymbol{\tau} = \frac{{\rm d}}{{\rm d}t} \mathbf{L}_C = \mathrm{I}_C \left( \frac{{\rm d}}{{\rm d}t} \boldsymbol{\omega} \right) +\left( \frac{{\rm d}}{{\rm d}t} \mathrm{I}_C \right) \boldsymbol{\omega} = \mathrm{I}_C \boldsymbol{\alpha} + \boldsymbol{\omega} \times \mathrm{I}_C \boldsymbol{\omega}$
بنابراین نکته کلیدی دوستان هوپایی من در اینجا اینه که نیروی صفر خالص باعث میشه مرکز جرم شتاب نداشته باشه (سرعت ثابت = قانون 1 نیوتن) و بنابراین یک گشتاور خالص جسمی را حول مرکز جرم میچرخونه. دو عبارت زیر نسبت به یکدیگر درست و دوگانه هستند (اگر یکی درست باشه دیگری نیز باید درست باشه).خوب هر دو نتیجه تعریف مرکز جرم هستند.دیگه
یک گشتاور خالصNet torque یک rigid body را در حدود مرکز جرم شتاب میده
نیرویی که از مرکز جرم عبور میکنه با انتقال خالص جسم را اکسلریشن میده
. پس همیشه میتونم حرکت یک rigid body ریجید بادی را به یک تبدیل و یک چرخش در حدود یک نقطه تجزیه کنم. اگر نقطه را به عنوان CM انتخاب کنم همه چیز راحت تره، به عنوان مثال. انرژی جنبشی تقریباً به دو بخش خطی و چرخشی تقسیم میشه
من مثال بزنم میتونم بگم که توپی که به پایین سقوط میکنه در واقع حول یک نقطه بسیار دور میچرخه. این فقط خیلی خوب نیستش، بنابراین ما "چرخش" را به این شکل تعریف نمیکنیم.
سادشو بگم بتون
این چیزی که به اسم "قانون حفظ جنبش" معروفه. این قانون میگه که "اگه هیچ نیرویی از بیرون به یه چیزی که بسته شده نیفته، مقدار حرکتش (یعنی ضربدر جرم و سرعت تمام قسمتهای جسم) ثابته." یعنی اگه هیچ نیرویی به یه سیستم بسته نشده نیاد، حرکتش ثابت می‌مونه.
وقتی یه نیرو به یه جسم صلب می‌خوره و این نیرو از یه نقطه روی جسم عبور می‌کنه (مثلاً برخورد از یه طرف جسم)، این نیرو باعث تغییر حرکت جسم میشه. اگه این نیرو یه گشتاور (نیروی چرخان) هم ایجاد کنه، جسم شروع به چرخش می‌کنه. به عبارت دقیق‌تر، گشتاور برابره با میزان نیرو ضربدر فاصله از نقطه‌ای که نیرو اعمال می‌شه تا مرکز جسم.
اگه گشتاور غیرصفر باشه، جسم شروع به چرخش می‌کنه و به دور مرکز جرمش میچرخه.
اوکی، بیاین بیشتر توضیح بدم. حالا فرض کنید یه چیزی مثل یک توپ روی زمینه. این توپ خودش یک سیستمه. حالا اگر هیچ نیرویی به توپ وارد نشه و هیچ نیروی خارجی ازش خارج نشه، مقدار حرکت توپ ثابت می‌مونه. یعنی اگر توپ در حالت استراحته، همچنان در حالت استراحت می‌مونه و اگر در حرکته، همچنان در حرکت باقی می‌مونه.
حالا فرض کنید یک نیرو به توپ وارد میشه، مثلاً با یک پرتاب قوی. این نیرو باعث تغییر حرکت توپ میشه. اگر این نیرو یک گشتاور (نیروی چرخان) هم ایجاد کنه، توپ شروع به چرخش می‌کنه. این گشتاور برابره با ضربدر نیرو در فاصله از نقطه‌ای که نیرو روی توپ عمل می‌کنه تا مرکز جرم توپ.
اگر این گشتاور غیرصفر باشه، توپ به دور مرکز جرمش می‌چرخه. اینجاست که قانون حفظ جنبش میاد به کمک. چون نیروهای خارجی محدود هستند و هیچ نیرویی از توپ خارج نمی‌شه، مقدار حرکت توپ در جهت خاصی (سرعت و جهت حرکت) ثابت می‌مونه. اما با چرخش توپ، شکل حرکتش تغییر می‌کنه. زمانی که نیرو به یک نقطه خاص از توپ (مثلاً یک طرف) عمل می‌کنه و گشتاور ایجاد می‌شه، توپ شروع به چرخش می‌کنه. بیشتر گشتاور، بیشتر چرخش.
قانون حفظ جنبش به ما میگه که مقدار حرکت توپ در جهت مشخصی ثابت می‌مونه، یعنی تمامی اجزاء توپ حول مرکز جرمش در چرخه‌ای مشخص حرکت می‌کنند. مهمترین نکته اینه که حتی اگر یک قسمت از توپ برخورد بخوره و حرکت تغییر کنه، این تغییر در حرکت به سرعت به سایر قسمت‌ها منتقل می‌شه به طوری که کل توپ به دور مرکز جرمش چرخش می‌کنه.
یه مثال عملی میتونه تصویر یک فرفره باشه. اگر شما یک نیرو (مثل باد) به یک پره از فرفره وارد کنید، فرفره شروع به چرخش می‌کنه. حالا تصور کنید این چرخ‌نما مثل توپه و قانون حفظ جنبش براش صادقه. به همین دلیل، حرکت تغییری که در یک قسمت از توپ رخ میده، به سرعت به سایر قسمت‌ها منتقل می‌شه و توپ به دور مرکز جرمش میچرخه.

[rohamavation]

در اصل به مفهوم‌های اساسی در دینامیک و حرکت چرخشی جسم‌های صلب مرتبط هستند. اجازه بدهید توضیح دقیق‌تری در این مورد بدهم.
تاثیر نیروها و گشتاورها:
اگر یک نیرو یا گشتاور به یک نقطه خاص از یک جسم صلب وارد شود، این باعث چرخش جسم می‌شود. این گشتاور با توجه به قانون دینامیک اساسی، که می‌گوید گشتاور (تورک) نسبت به یک نقطه برابر با محصول نیرو در خط فاصله از آن نقطه است، ایجاد می‌شود.
اگر همه نیروهای دیگر (مثل گرانش) را نادیده بگیریم و تنها به نیروها و گشتاورهای اطراف مرکز جرم توجه کنیم، حرکت چرخشی جسم اطراف مرکز جرم توسط این نیروها و گشتاورها توسعه پیدا می‌کند.
گشتاور نسبت به مرکز جرم:
اگر گشتاورها نسبت به مرکز جرم (CoM) صفر باشند، مرکز جرم در حالت تعادل است. این به این معناست که تکانه زاویه‌ای در مرکز جرم ثابت است.
گشتاورهای دیگر نیاز است که نسبت به نقاط دیگر محاسبه شوند. اما با توجه به تعریف مرکز جرم که به صورت مرکزی است که اگر تمام جرم در آن جا جمع شود، خواص جرمی جسم حفظ می‌شود، نشان داده می‌شود که تحلیل حرکت چرخشی با تمرکز بر مرکز جرم ساده‌تر است.
تعادل و وجود نقاط دیگر:
اگر گشتاور اطراف CoM صفر باشد، این معنا نمی‌دهد که مرکز جرم در حالت تعادل است. به جای آن، تکانه زاویه‌ای در مرکز جرم ثابت است.
انتخاب مرکز جرم به عنوان نقطه مرجع می‌تواند به سادگی تحلیل‌ها را تسهیل کند. این انتخاب به این دلیل مهم است که در زمان‌های کوتاهی، جرم‌های مختلف جسم به یک نقطه مرکزی تمایل دارند که مرکز جرم نامیده می‌شود.
مرکز جرم در جسم هندسی:
اگر جسم هندسی یکنواخت باشد (مثلاً یک کره جامد) و مرکز جرم در مرکز هندسی قرار داشته باشد، هنگام چرخش، تمام نقاط به دور مرکز جرم در حرکت می‌آیند. این مرکز به عنوان نقطه‌ای انتخاب می‌شود که جرم به طور یکنواخت در اطراف آن توزیع شده باشد.
در نهایت، در تحلیل دینامیکی و حرکت چرخشی، انتخاب نقطه مرجع یا مرکز جرم بسیار به تسهیل تحلیل‌ها کمک می‌کند و باعث ساده‌تر شدن معادلات می‌شود.
هر نیرویی که به یک قطعه از یه جسم صلب برخورد کنه، یه چرخش توش ایجاد می‌کنه. اگر همه نیروها و گشتاورهای دیگه رو نادیده بگیریم و فقط به نیروها و گشتاورها حول مرکز جرم نگاه کنیم، جسم شروع به چرخش می‌کنه.
اگر گشتاورها حول مرکز جرم نسبت به زمان صفر باشن، مرکز جرم در حالت تعادله. یعنی تکانه زاویه‌ای در مرکز جرمش ثابته. اگر گشتاورهای دیگه رو نادیده بگیریم و فقط به گشتاورهای حول مرکز جرم نگاه کنیم، جسم چرخش نخواهد خورد.
اگه گشتاورها حول مرکز جرم صفر باشن، این یعنی مرکز جرم در حالت تعادله. اما باید گشتاورهای حول نقاط دیگه رو هم بررسی کنیم. اگه جسم یک شکل هندسی یکنواخت باشه و مرکز جرمش دقیقاً در مرکز هندسی باشه، وقتی جسم چرخش پیدا می‌کنه، همه نقاط به دور مرکز جرم می‌چرخند.
به عبارت ساده، تحلیل‌های دینامیکی و چرخشی ساده‌تر میشن وقتی مرکز جرم رو به عنوان نقطه مرجع در نظر بگیریم.

[MRT]

باید تابعی پیدا کنی که با چند داده جرم و شعاع (چگالی) و... جرم سماوی، حرکت وضعی آن را ارائه کند. می تونی این مقاله را بخونی

https://ki2100.com/physics/electro_gravity.htm