در حالی که اگه با یک بردار قطبی مواجه باشم با رابطه زیر مواجه میشم:
اما اثبات اینکه چطور بردار های محوری همراه با محور های مختصاتی می چرخند بسیار سادست. هر بردار محوری طبق تعریف برابر است با حاصل ضرب خارجی دو بردار قطبی دیگه. به عنوان مثال، تکانه زاویه ای برابر هست با:
خب اگه تحت تبدیلی جهت تمام محور های مختصاتی 180 درجه چرخیده (محور ها قرینه شدن) و L به 'L تبدیل بشه، و ازونجایی که r و P قطبی هستند داریم:
همونطور که می بینید علامت 'L در دستگاه مختصاتی جدید تغییری نکرده و بنابرین تکانه زاویه ای محوری هست.
اما مشکل از جایی شروع میشه که من میتونم تمام بردار هایی که در فضای دکارتی تعریف شده هستند رو به شکل ضرب خارجی دو بردار دلخواه دیگه بنویسم. به عبارت دیگه در صورتی که فردی ادعا کنه بردار جا به جایی یا همون r قطبی هست، من آنن مخالفت می کنم و میگم خیر، ازونجایی که بردار r رو میشه به شکل ضرب خارجی دوبردار دیگه نوشت (بردار r بر بینهایت صفحه در مسیر خودش عموده. کافیه دو بردار دلخواه از هر کدوم از این بینهایت صفحه انتخاب کنم!) و سپس طبق اثبات بالا، نشون میدم که حتی r هم قطبی نیست. با چنین شیوه ای میشه نشون داد تمام بردار های عالم محوری هستند و قطبی نداریم اصلا. مشکل کجاست؟ این سوال ممکنه خیلی ساده به نظر بیاد ولی زود ازش نگذرید، چندان هم ساده نیست.