الان شدیداً درگیرِ طراحی یه پارادوکس توی نسبیت هستم که مجالِ توضیحِ اون اینجا نیست! ولی حینِ طراحی این پارادوکس متوجه موضوعِ عجیبی درباره ی فواصل شتابدار توی نسبیت شدم که هضمش برام کمی سخته. البته محاسباتِ مربوط به این مسئله، در عینِ سادگی، کمی طولانیه که این طولانی بودن، احتمالِ خطا در محاسبات رو زیاد می کنه. با اینکه محاسبات اولیه ی خودم موضوعی عجیب و تا حدی نامعقول رو توی نسبیت نشون می ده ولی ممکنه من یه جای محاسبات یا استدلالاتم دچار اشتباه شده باشم و عملاً ایرادی در کار نباشه. گفتم این سوال رو اینجا مطرح کنم تا دوستان هم روش فکر کنن.
فرض کنید دوتا موشکِ نقطه اییِ کاملاً مشابه، با فاصله ی dA از هم قرار گرفتن. ناظری (A) بین این موشک ها و نزدیک به موشک قرمز قرار داره. این ناظر، دو پرتوی نور رو به شکل هم زمان به سمت دو موشک شلیک می کنه و موشک ها با دریافتِ سیگنال، موتورهاشون رو روشن و با شتابِ ثابتِ a شروع به حرکت می کنن. دو علامت یا سوراخِ نقطه ای (ضربدرها در شکل زیر) کمی دورتر و بر سرِ راه موشک ها قرار گرفتن (علامتِ سیاه به فاصله ی xA از موشکِ قرمز قرار گرفته) که فاصله ی اون ها هم از هم دقیقاً dA هست. وقتی هر موشکِ شتابدار به علامتِ هم رنگِ خودش می رسه موتورش رو به شکل آنی خاموش می کنه و با سرعتِ ثابتِ v به حرکت خودش ادامه می ده. حالا سوال اینه که فاصله ی موشک ها از همدیگه بعد از اینکه هر دو موشک به سرعت ثابت رسیدن چقدره؟ (از دید ناظرِ A)
[دقت کنید که با فاصله ی موشک ها از هم درحینِ شتابگیری کاری نداریم.]
دقت کنید که چون ناظر به موشکِ قرمز نزدیک تره، این موشک سیگنال نوری رو زودتر از موشک سیاه دریافت و موتورش رو روشن می کنه. برای همین، حرکت موشک ها از دیدِ ناظرِ A ناهمزمانه و همین ناهمزمانی باعث میشه که ملاقات موشک ها با سوراخ ها یا علامت ها هم ناهمزمان بشه. امّا فواصل ناظرِ A از موشک ها (pA و qA) یه خاصیتی داره که الان توضیحش می دم!
فرض کنید که ناظرِ دیگه ای (B) با سرعتِ ثابتِ u به صورتی که توی شکل زیر نشون داده شده، بر فراز و در راستای علامت ها و موشک ها داره حرکت می کنه. میشه ثابت کرد که اگه pA و qA نسبتی رو که در شکل نشون داده شده، داشته باشن، از دیدِ ناظرِ B، برعکسِ ادعای ناظرِ A، رسیدنِ سیگنال های نوری و شتابگیری موشک ها هم زمان هست. در اصل، ناظرِ B ادعا می کنه که با اینکه فواصل بینِ موشک ها (قبل از دریافت سیگنال ها) و فاصله ی علامت ها از هم با ضریبِ لورنتس منقبض میشه ولی موشک ها همزمان موتوراشون رو روشن می کنن و بنابراین با هم به سوراخ ها رسیده و همزمان هم موتوراشون رو خاموش می کنن. از دیدِ ناظرِ B، ظاهراً مهم نیست که سوراخ ها چقدر به موشک ها نزدیک یا از اونا دور باشن. یعنی این ناظر قائله که مستقل از xA و همینطور مستقل از اینکه موشک ها با چه شتابی حرکت کنن، همزمان به علامت ها می رسن و همزمان با سرعت های ثابت به حرکت خودشون ادامه میدن و فاصله ی اون ها از هم همواره ثابته (این فاصله معادله با عکسِ گاما در dA هست).
ولی محاسباتِ اولیه یِ من نشون می ده که از دیدِ ناظرِ A فاصله ی نهاییِ موشک ها نه تنها به شتاب موشک ها، بلکه به فاصله ی xA هم وابسته ست! این موضوع شاید در وهله ی اول عجیب به نظر نرسه ولی واقعیت چیزِ دیگه ایه:
معادلات نشون می ده که ظاهراً ناظرِ A می تونه با دستکاریِ شتابِ a و فاصله ی xA موشک ها رو همواره به یه سرعتِ ثابتِ v برسونه درحالی که در هر دستکاری، مقادیر متفاوتی رو برای فاصله ی نهاییِ بین موشک ها محاسبه کنه! و این هم در حالیه که ناظرِ B به ازاءِ دستکاریِ a و dx هیچ تغییری رو در فاصله ی نهاییِ موشک ها محاسبه نمی کنه. (لطفاً رویِ این موضوع بیشتر فکر کنید تا متوجه معیوب بودنِ این نتیجه گیری بشید.) ایرادِ کار کجاست؟
دقت کنید که محاسباتِ مربوط به این مسئله بیش از اونکه نسبیتی باشه، نیوتُنیه! یعنی محاسباتِ مربوطه رو فقط باید از دیدِ ناظرِ A و با استفاده از دینامیکِ معمولی برای نقاطی با شتابِ ثابت بنویسید و فقط این موضوع رو در نظر داشته باشید که سرعتِ نهاییِ موشک ها (v) زیرِ سرعتِ نور باشه. درضمن، با دیدگاهِ ناظرانِ داخل موشک ها اصلاً کاری نداریم چون به علتِ شتابدار بودنِ موشک ها، این ناظرا نالَخت محسوب می شن.