شعاع شوارتزشیلد

مدیران انجمن: parse, javad123javad

ارسال پست
شلدون کوپر

عضویت : جمعه ۱۳۹۹/۶/۲۱ - ۱۶:۵۳


پست: 5



شعاع شوارتزشیلد

پست توسط شلدون کوپر »

درود دوستان

کسی میتواند روابط ریاضی که با آن به رابطه شوارتزشیلد می رسیم را توضیح بدهد؟ کمی ساده هم باشد بهتر هست.چون دلیلی برای انقدر بودن این شعاع می خواستم.

نمایه کاربر
Paradoxy

نام: داود حاجي تقي تهراني

عضویت : دوشنبه ۱۳۹۳/۱۰/۲۲ - ۲۲:۱۷


پست: 2160

سپاس: 1191

Re: شعاع شوارتزشیلد

پست توسط Paradoxy »

روش های مختلفی وجود داره. مثلا با نمادهای کریستفول از روی تانسور ریچی که خودش از معادله نسبیت عام پیدا میشه، متریک رو بدست میارن و بعد جایی که متریک سینگولار میشه رو به عنوان شعاع شوارتز میشناسن. اما همچین حجمی از مطالب رو نمیشه توی هوپا توضیح داد. خودمم دو سال از نسبیت عام دور بودم و میتونم بگم چیز زیادی ازش حالیم نیست.

برای همین یک روش "کاملا غلط" که به جواب درست میرسه رو بهتون معرفی میکنم. این روش یکم شهودی کمک میکنه به درک شعاع شوارتز شیلد و نحوه محاسبه اون. اما همچنان روش نادرستی هست و فاقد اعتباره!
انرژی جنبشی یک ذره برابره با $ k = 0.5mv^2 $. انرژی پتانسیل گرانشی برابره با $U = -\frac{GmM}{r}$. ماکسیموم سرعتی که یک ذره میتونه داشته باشه، سرعت نوره. (در واقع یکم کمتر از سرعت نور، خود سرعت نور هم دست نیافتنی هست). بنابرین بیشترین انرژی جنبشی ای که یک ذره میتونه داشته باشه هستش $ k = 0.5mc^2 $. حالا فرض کنیم یک ذره، از سطح ستاره یا سیاره ای میخواد پرتاب بشه و به بینهایت دور بره. برای این منظور، باید انرژی جنبشی کافی داشته باشه تا به انرژی پتانسیل گرانشی غلبه کنه. مثلا وقتی ما یک توپ رو هوا میندازیم، توپ بر میگرده به دستمون چون انرژی کافی برای گریز از گرانش نداره. اما یک راکت، انرژی جنبشی بالایی داره که میتونه به انرژی پتانسیل غلبه کنه.
بنابرین حداکثر انرژی جنبشی ممکن برای یک ذره، برای فرار از سطح یک سیاره یا ستاره رو میشه برابر قرار داد با انرژی پتانسیل.

$$ U + K = 0 $$
$$ \frac{GmM}{r} = 0.5mc^2$$
پس داریم
$$ r = \frac{2GM}{c^2}$$
حالا اگر r کوچکتر از این مقداری باشه که بدست آوردیم، چه اتفاقی میوفته؟ خب اون موقع انرژی پتانسیل U (چون r توی مخرجه) مقدار بزرگتری میشه. برای غلبه بهش، نیاز به انرژی جنبشی بیشتری داریم. اما چون نهایت انرژی جنبشی یک ذره $ k = 0.5mc^2 $ هست و بیشتر از اون دست نیافتنیه (از نظر تئوری)، پس نتیجه میگیریم هیچ ذره ای از ستاره ای که شعاعش، کمتر از r بدست اومده ما هست، نمیتونه فرار کنه. حتی نور هم نمیتونه فرار کنه، چون سرعت نور رو توی معادله گذاشتیم. پس ستاره که r ش کوچکتر از اون مقدار باشه، یک سیاه چاله هست.

حالا چرا این روش کاملا غلطه؟ خب چون سیستمی که با سرعت نزدیک به سرعت نور حرکت میکنه دیگه معادله انرژی جنبشیش $ k = 0.5mv^2 $ نیست و نمیشه از یه رابطه کلاسیکی ساده استفاده کرد. اگر با رابطه مدرنش هم بریم، دیگه به این شعاع شوارتز شیلد نمیرسیم. بنابرین بلکل این روش غلطه. ولی خب به نحوی داره جواب درست میده و از نظر مفهومی حداقل، منطقیه.

شلدون کوپر

عضویت : جمعه ۱۳۹۹/۶/۲۱ - ۱۶:۵۳


پست: 5



Re: شعاع شوارتزشیلد

پست توسط شلدون کوپر »

ممنون smile039

ارسال پست